3.8弧长及扇形的面积 同步课堂 2025-2026学年浙教版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学“弧长与扇形面积”核心内容，从圆周长公式出发，逐步推导出弧长与扇形面积的计算方法，再延伸至弓形、不规则图形及综合应用问题，形成由基础到拓展的学习支架，逻辑清晰，层层递进。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大素养融合。例如题型1通过点P运动路径问题引导学生抽象几何关系，培养空间观念；题型2中渐开线规律探究激发创新意识，强化推理能力；题型10结合反比例函数与圆的交点，训练模型意识与数据表达能力。课中可辅助教师精准讲解难点，课后便于学生查漏补缺，巩固知识体系，提升解题策略多样性。

3.8弧长及扇形的面积 讲解目录 【知识点1】弧长的计算 1 【知识点2】扇形面积的计算 1 【题型1】求某点的弧形运动路径长度 2 【题型2】求弧长中的规律问题 7 【题型3】求圆心角 14 【题型4】圆与二次函数综合 15 【题型5】计算图形中扇形的面积 22 【题型6】计算弓形的面积 25 【题型7】计算扇形中不规则图形的面积 31 【题型8】计算线段、图形扫过的面积 35 【题型9】求弧长 38 【题型10】圆与反比例函数综合 44 知识讲解 【知识点1】弧长的计算 （1）圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【知识点2】扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S=πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型专练 【题型1】求某点的弧形运动路径长度 【典型例题】如图，内接于，，的半径为8，点Q是上一动点，点P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（　　） A. B.2π C. D. 【答案】C 【解析】连接， ∵点P为的中点， ∴， ∴点P在以为直径的上运动， 设与交于点， 则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径为的长， ∵，的半径为8， ∴，， ∴点P所经过的路径长为， 故选：C． 【举一反三1】如图，在菱形中，，，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点A运动到点时，点的运动路径长是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，取的中点O，连接、相交于点H，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴点G在以O为圆心2为半径的圆上运动， 当点E与点A重合时，点G与点H重合；当点E与点B重合时，点G与点B重合， ∴点G在以O为圆心2为半径的圆弧上运动， ∵O、H分别为、的中点， ∴， ∴， ∴, ∴． 故选：A． 【举一反三2】如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，于F．当点E从点D出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长为           . 【答案】 【解析】连接AG．AC， ∵于F， ∴点F 在以AC为直径的圆上， ∵点E从点D到点C， ∴点F从点A到点C，即点F的运动轨迹是以AC为直径的圆的周长的一半， ∵，半径为2， ∴， 在Rt△AOC中，， 则以AC为直径的圆的周长的一半是． 故答案为：. 【举一反三3】在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是．    (1)画出关于原点对称的； (2)画出将绕点顺时针旋转所得到的，并求出点旋转到点所经过的路径长． 【答案】解：（1）如图，即为所作，    （2）如图，即为所作， 由勾股定理得，， 所以，点旋转到点所经过的路径长． 【举一反三4】等边三角形的边长为，在，边上各有一个动点E，F，满足，连接，相交于点P．    (1)的度数； (2)当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长； (3)连接，直接写出长度的最小值． 【答案】解：（1）∵为等边三角形， ∴，， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴． ∴． （2）如图1，    ∵，, ∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为的中点的时候，点P经过劣弧的中点，此时为等腰三角形，且， ∵点P经过劣弧上，, ∴当点P经过优弧上，， ∴，即， 又∵， ∴， 点P的路径是； （3）如图2，    ∵，, ∴点P的路径是一段弧， ∴当点E运动到的中点时，长度的最小， 即点P为的中心， 过B作于， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∴长度的最小值是2． 【题型2】求弧长中的规律问题 【典型例题】如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为四边形是正方形，且， 所以为圆心的圆的半径为1， 则； 同理可得， ； ； ； ， 依次类推， (为大于1的正整数)， ． 故选：A． 【举一反三1】如图，将一个半径为1 cm的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2020周后圆心所经过的路径长为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，圆心滚动一周路径为长为， ∴滚动2020周后圆心所经过的路径长， 故选：D． 【举一反三2】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】三角形是等边三角形，边长为1, ，, 第一段圆弧圆心角：， 第二段圆弧圆心角：， 以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧）， , , 以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 所以蚊香的长度为， 故选：B． 【举一反三3】如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为四边形是正方形，且， 所以为圆心的圆的半径为1， 则； 同理可得， ； ； ； ， 依次类推， (为大于1的正整数)， ． 故选：A． 【举一反三4】曲线L在直角坐标系中的位置如图所示，曲线L是由半径为2，圆心角为120°的（O是坐标原点，点A在x轴上）绕点A旋转180°，得到；再将绕点旋转180°，得到；……依次类推，形成曲线L，现有一点P从O点出发，以每秒个单位长度的速度，沿曲线L向右运动，则点A的坐标为      ；在第2020 s时，点P的坐标为      ．    【答案】; 【解析】如图，设的圆心为，过点作于．      由题意，， ， ，， ， ， ， 的长，点的运动路径， 又， 点在轴上，的长， 此时． 故答案为，． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；…按此做法进行下去，其中的长           ． 【答案】 【解析】连接，，，，…，如图所示： ∵是上的点， ∴， ∵直线解析式为， ∴， ∴为等腰直角三角形，即轴， 同理，垂直于轴， ∴的长为圆的周长， ∵以为圆心，为半径画圆，交x轴正半轴于点，以为圆心，为半径画圆，交x轴正半轴于点，以此类推， ∴， ∴， ∴时，的长为， 故答案为：． 【举一反三6】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为      ． 【答案】 【解析】∵斐波那契数列为1，1，2，3，5，… 则第6步半径为； 第7步半径为； 第8步半径为； ∴第8步所画扇形的弧长， 故答案为：． 【题型3】求圆心角 【典型例题】如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）    A.（）° B.（）° C.（）° D.（）° 【答案】D 【解析】设∠ABC的度数大小由60变为n， 则AC=，由AC=AB， 解得n=, 故选D． 【举一反三1】如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（        ） A.15度 B.16度 C.20度 D.24度 【答案】C 【解析】∵一弧长是其所在圆周长的， ∴, ∴, ∴这条弧长所对的圆心角为, 故选：C. 【举一反三2】起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10 cm，当物体向上提升3π cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设半径OA绕轴心旋转的角度为n°, 根据题意可得, 解得n=54, 即半径OA绕轴心旋转的角度为54°, 故选A． 【举一反三3】在半径为的圆上有一段弧，弧长是，则该弧所对的圆周角的度数为        ． 【答案】 【解析】根据弧长的公式， 得到：， 解得， 故圆周角为, 故答案为：． 【举一反三4】已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为，求圆心角的度数． 【答案】解：圆心角的度数． 【题型4】圆与二次函数综合 【典型例题】如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为C“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为（      ） A.3 B. C. D. 【答案】D 【解析】连接CM， ∵抛物线的解析式为， ∴点D的坐标为（0，-3）， ∴OD=3， 令y=0，则，解得：或， ∴A（-1，0），B（3，0）. ∴AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0）， ∴MC=2，OM=1， 在Rt△COM中，, ∴， 即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长． 故选：D. 【举一反三1】已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】抛物线的图象与x轴交于点、， 设抛物线的解析式为， ， 顶点坐标为， ,以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图， ， 解得， 故选：A. 【举一反三2】抛物线过点、、，平行于x轴的直线交抛物线于点、D，以为直径的圆交直线于点、，则的值是（　　） A.2 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】由题意可得：、， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴， 如图，为直径的中点， 连接，过点作于，则，， 则， ∴． 故选：B． 【举一反三3】如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式为             ． 【答案】y=x2-4x+3 【解析】过点C作CH⊥AB于点H，则AH=BH， ∵C（2，）， ∴CH=， ∵半径为2， ∴AH=BH=＝1， ∵A（1，0），B（3，0）， ∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3， 故答案为：y=x2-4x+3． 【举一反三4】如图，抛物线通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点和，它的顶点为A，以点O为圆心，长为半径作圆，在第四象限内与抛物线交于点C，连接，则图中阴影部分的面积为        ．    【答案】 【解析】∵抛物线m经过点和，∴抛物线m的对称轴为直线，∵抛物线通过平移得到抛物线m，∴设抛物线m的解析式为，将代入，得，解得，∴抛物线m的解析式为，顶点A的坐标为，连接、，如解图，由勾股定理得.由圆的对称性或垂径定理，可知点C的坐标为，∴阴影部分的面积=半圆的面积的面积.    【举一反三5】民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作． (1)求抛物线解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 【答案】解：（1）由题意知抛物线的顶点为，且过，， 设抛物线解析式为：， ，解得：， 抛物线解析式为：， 如图：圆心为，连接， 设，则， ， ， 在中，， 由勾股定理可得：， ， 解得：， 的半径为； （2）锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高， 加水后水面水的最大深度为， 水面距锅沿的竖直高度为， 当时，， 解得， 水面宽度为； （3）对于抛物线，如图所示： 当时，， ； 对于，如图所示： 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个． 【举一反三6】一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”如图所示，已知点A，B，C，D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线对应的解析式为y＝x2﹣，求CD的长． 【答案】解：令， 解得x=1或-1， 即AB=2， 故CO=1， 令x=0，解得， 即， 所以． 【题型5】计算图形中扇形的面积 【典型例题】如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选C． 【举一反三1】如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为（　　）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】边形的外角和， 图中阴影部分的面积之和， 故选：B． 【举一反三2】如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过B点作垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故选：A． 【举一反三3】如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是   ． 【答案】 【解析】由图可得，5个扇形的圆心角之和为：, 则五个阴影部分的面积之和． 故答案为：． 【举一反三4】已知：如图，AB为的直径，点C、D在上，且，，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】解：（1）∵AB为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （2）∵AB为直径，， ∴， ∴． 【题型6】计算弓形的面积 【典型例题】如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠C＝150°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为     ． 【答案】π﹣ 【解析】连接OE，作OH⊥BE于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4，∠ABC＝180°﹣∠C＝30°， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE＝30°， ∴OH＝OB＝1，∠BOE＝120°， 由勾股定理得，BH＝＝， ∴阴影部分的面积＝﹣×2×1＝π﹣， 故答案为π﹣． 【举一反三3】如图所示，水平放置的圆柱形进水管道的截面半径为6 m，其中水面的高为3 m．则截面上有水面的面积是      m2．    【答案】（） 【解析】如图，连接,，过点O作，垂足为D，则，, 则中，, ∴， ∴，, ∴, ∴扇形面积=，, 水面面积=,    故答案为：（）. 【举一反三4】如图，是的直径，点C、D均在上，，弦． (1)求的直径． (2)求的长和阴影面积． 【答案】解：（1）是的直径， ， 和是所对的圆周角， ， ， 即的直径是． （2）如图所示，连接，作交于点E． 由题意知，，， 是等边三角形， ， 的长． ，， ， ， ， 又， 阴影面积， 即的长为，阴影面积为． 【举一反三5】如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．    (1)证明：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】解：（1）∵弦绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）设的半径为， 由（1）知：是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， 解得：， ∴图中阴影部分的面积： ， ∴图中阴影部分的面积为． 【题型7】计算扇形中不规则图形的面积 【典型例题】如图，边长为的等边三角形的外心为点G，以点G为圆心，长为半径作半圆，直径交于点D，以为邻边作矩形交半圆于点E，将半圆在下方的部分沿向上翻折，使得点F与点G重合，则图中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】连接，如图示： ∵边长为的等边三角形，矩形， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴阴影部分的面积和即为得面积， ∴， 故选：A． 【举一反三1】如图，是的直径，是的弦，，沿弦折叠后恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】作于点，交于点，连接，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，即， 解得，， ， 弓形的面积是：， 新月形阴影部分的面积为：， 故选：D． 【举一反三2】如图，在矩形中，，对角线的交点为，分别以为圆心 ，的长为半径画弧，两条圆弧恰好都经过点，则图中阴影部分的面积为         ． 【答案】 【解析】如图，作于， 由题意可得：，， 四边形是矩形，， ，，， ， 、都是等边三角形， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【举一反三3】求阴影部分的面积，如图，正方形的边长是厘米，是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积． 【答案】解：如图所示，利用割补法把箭头所示阴影部分转移到空白部分，则阴影部分的面积正方形的面积个等腰直角三角形的面积， ∴阴影部分的面积为平方厘米， 答：四个扇形的弧围成的阴影部分面积是平方厘米． 【题型8】计算线段、图形扫过的面积 【典型例题】如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（ ） A.12π B.24π C.6π D.36π 【答案】B 【解析】∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°， ∴图中阴影部分的面积是： S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O==24π． 故选B． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；；按此规律，则为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意、、、、都是等腰直角三角形， ，，，， ，，，， ； ， ， 故选：A． 【举一反三2】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，使斜边过点，则线段扫过的面积为      ． 【答案】 【解析】∵，，， ∴BC=4，CA==； 根据旋转的性质，得，， ∴△是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴=8π． 故答案为：8π． 【举一反三3】如图，在矩形中，已知，将矩形绕点A旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积      ． 【答案】 【解析】设， 则， ， 扫过的图形为扇环， 面积， 故答案为：． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点逆时针旋转90°后得到．    (1)画出． (2)求旋转过程中线段所扫过的面积． 【答案】解：（1）将绕点逆时针旋转后得到，如图：    即为所求． （2），， 线段扫过的图形的面积为． 【题型9】求弧长 【典型例题】如图，的半径为4，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，连接，过点O作于点C，交于点D， 由题意，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同法可证， ∴， ∴的长=． 故选：C． 【举一反三1】某仿古墙上原有一个矩形的窗洞，现要将它改为一个圆弧形的窗洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后窗洞的圆弧长是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】连接，相交于点O， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点O为圆心， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴改建后窗洞的圆弧长， 故选：A． 【举一反三2】如图是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为，，，且米；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米，甲车由A口驶入立交桥，以的速度行驶，从G口驶出用时（    ）秒． A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】弧的长为（米），米， 甲车由A口驶入立交桥，以的速度行驶，从口驶出用时（秒）． 故选：A． 【举一反三3】如图，是正方形和正六边形的外接圆，的直径为12，则的长为      ． 【答案】 【解析】连接，，，如图所示， 四边形为正方形，多边形为正六边形， ，， ， 的长为． 故答案为：． 【举一反三4】如图，点A，B，C在半径为4的上，．若，则长为______________．    【答案】 【解析】连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【举一反三5】如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 【答案】解：（1）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）连接，如图， 由（1）得， ∵， ∴， ∴的长． 【举一反三6】如图，以的一边为直径作交于点，，与边的交点恰好为的中点，连结． (1)求证：． (2)若，求弧的长． 【答案】解：（1）∵， ∴， 由题意知，四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵点为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴半径为， ∴， ∴弧的长为． 【题型10】圆与反比例函数综合 【典型例题】如图，有反比例函数，的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（　　） A.π B.2π C.4π D.条件不足，无法求 【答案】B 【解析】根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出：图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，∵圆的半径是2，∴图中阴影部分的面积是．故选B． 【举一反三1】如图，反比例函数的一个分支与有两个交点，且平分这个圆，以下说法正确的是（        ） A.劣弧等于 B.反比例函数的这个分支平分圆的周长 C.反比例函数的这个分支平分圆的面积 D.反比例函数图象必过圆心 【答案】B 【解析】A．A，两点连线为圆的直径，弧为半圆，所对圆心角为，不是，故这个选项错误； B．反比例函数的这个分支平分，即反比例函数的这个分支把的周长平分，故这个选项正确； C．反比例函数的这个分支能平分周长，所以A，两点连线为圆的直径，这个分支就不能把的面积平分，故这个选项错误； D．反比例函数的这个分支不可能过圆心，否则无法平分圆，故这个选项错误． 故选B． 【举一反三2】如图，的斜边OB落在x轴上，，，以O为圆心．OB长为半径作弧交OC的延长线于点D，过点C作，交圆弧于点E．若反比例函数的图像经过点E，则k的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，可得四边形CMHE是矩形， ∵，， ∴， ∴OE=4， ∵，CM⊥OB， ∴， ∵四边形CMHE是矩形， ∴EH=CM=2， ∴， ∴， 将代入得：， 解得：， 故选：C. 【举一反三3】如图，点A在反比例函数图像上，以为直径的圆交该双曲线于点，交轴于点，若，则该圆的直径长是          ． 【答案】 【解析】连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示： ∵OA是圆的直径, ∴∠ABO=∠ACO=90°, ∴, ∴, ∵, ∴OC=OB, ∵CD⊥y轴于点D, ∴BD=OD, 设点A的坐标为，则，, ∵CD⊥y轴于点D，且点C在的图象上， ∴点C的坐标为, ∴, 化简，得, 解得或（舍去）, 则A的坐标为, ∴, 故答案为：. 【举一反三4】如图，以点为圆心，半径为的圆与的图像交于点，若，则的值为       ．      【答案】 【解析】如图，过点B作BM⊥x轴，过点A作AN⊥y轴，    ∵点B、A均在反比例函数的图象上，OA=OB， ∴点B和点A关于y=x对称， ∴AN=BM，ON=OM， ∴△BOM≌△AON， ∴∠BOM=∠AON=, ∵, ∴∠BOM==30°， 设B（a，b），则OM=a=2×=，BM=b=2×=1， ∴k=ab=×1=, 故答案为． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A为顶点，作边长为4的正方形，点B、C分别在y轴和x轴上，反比例函数图象上另一点D向右作正方形，以点C为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值． (2)求正方形的边长． (3)请直接写出图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】解：（1）∵四边形是正方形，边长为4， ∴点． 将点代入到中，得:，解得∶． （2）设正方形的边长为m，则点D的坐标为． 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴正方形的边长为； （3）由（2）正方形的边长为， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 【举一反三6】在平面直角坐标系中，动点为函数图像上的任意一点，点和点的坐标分别为．现给出如下定义：以线段为直径的圆称为点A的“反比例伴随圆”， （1）在图中，点A坐标为，请画出点A的“反比例伴随圆”，并写出与轴的交点坐标； （2）在点A运动过程中，直接写出其“反比例伴随圆”半径的取值范围； （3）点A由运动到的过程中，直接写出其对应的“反比例伴随圆”扫过的面积S． 【答案】解：（1）如图所示： 与x轴交于点D，E, ∵A（2，）即a=2，b=, ∴B（0，），C（0，-2）, ∴直径BC=-（-2）=, ∴r=, ∴=，=-2=, ∴OD==3, ∴D（3，0）E（-3，0）, ∴与x轴交于点的坐标为（3，0）（-3，0）. （2）直径=BC==, ∴r=, ∵A（a，b）在上, ∴,即, ∵=6, ∴rmin=, ∴r≥3. （3）∵，, ∴，, ∴, , =, ∴S=S圆+=18π+72. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.8弧长及扇形的面积 讲解目录 【知识点1】弧长的计算 1 【知识点2】扇形面积的计算 1 【题型1】求某点的弧形运动路径长度 2 【题型2】求弧长中的规律问题 4 【题型3】求圆心角 6 【题型4】圆与二次函数综合 7 【题型5】计算图形中扇形的面积 9 【题型6】计算弓形的面积 11 【题型7】计算扇形中不规则图形的面积 13 【题型8】计算线段、图形扫过的面积 14 【题型9】求弧长 15 【题型10】圆与反比例函数综合 18 知识讲解 【知识点1】弧长的计算 （1）圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【知识点2】扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S=πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型专练 【题型1】求某点的弧形运动路径长度 【典型例题】如图，内接于，，的半径为8，点Q是上一动点，点P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（　　） A. B.2π C. D. 【举一反三1】如图，在菱形中，，，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点A运动到点时，点的运动路径长是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，于F．当点E从点D出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长为           . 【举一反三3】在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是．    (1)画出关于原点对称的； (2)画出将绕点顺时针旋转所得到的，并求出点旋转到点所经过的路径长． 【举一反三4】等边三角形的边长为，在，边上各有一个动点E，F，满足，连接，相交于点P．    (1)的度数； (2)当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长； (3)连接，直接写出长度的最小值． 【题型2】求弧长中的规律问题 【典型例题】如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，将一个半径为1 cm的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2020周后圆心所经过的路径长为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（    ） A. B. C. D. 【举一反三4】曲线L在直角坐标系中的位置如图所示，曲线L是由半径为2，圆心角为120°的（O是坐标原点，点A在x轴上）绕点A旋转180°，得到；再将绕点旋转180°，得到；……依次类推，形成曲线L，现有一点P从O点出发，以每秒个单位长度的速度，沿曲线L向右运动，则点A的坐标为      ；在第2020 s时，点P的坐标为      ．    【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；…按此做法进行下去，其中的长           ． 【举一反三6】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为      ． 【题型3】求圆心角 【典型例题】如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）    A.（）° B.（）° C.（）° D.（）° 【举一反三1】如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（        ） A.15度 B.16度 C.20度 D.24度 【举一反三2】起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10 cm，当物体向上提升3π cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】在半径为的圆上有一段弧，弧长是，则该弧所对的圆周角的度数为        ． 【举一反三4】已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为，求圆心角的度数． 【题型4】圆与二次函数综合 【典型例题】如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为C“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为（      ） A.3 B. C. D. 【举一反三1】已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】抛物线过点、、，平行于x轴的直线交抛物线于点、D，以为直径的圆交直线于点、，则的值是（　　） A.2 B.4 C.5 D.6 【举一反三3】如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式为             ． 【举一反三4】如图，抛物线通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点和，它的顶点为A，以点O为圆心，长为半径作圆，在第四象限内与抛物线交于点C，连接，则图中阴影部分的面积为        ．    【举一反三5】民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作． (1)求抛物线解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 【举一反三6】一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”如图所示，已知点A，B，C，D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线对应的解析式为y＝x2﹣，求CD的长． 【题型5】计算图形中扇形的面积 【典型例题】如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为（　　）    A. B. C. D. 【举一反三2】如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是   ． 【举一反三4】已知：如图，AB为的直径，点C、D在上，且，，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【题型6】计算弓形的面积 【典型例题】如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠C＝150°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为     ． 【举一反三3】如图所示，水平放置的圆柱形进水管道的截面半径为6 m，其中水面的高为3 m．则截面上有水面的面积是      m2．    【举一反三4】如图，是的直径，点C、D均在上，，弦． (1)求的直径． (2)求的长和阴影面积． 【举一反三5】如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．    (1)证明：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【题型7】计算扇形中不规则图形的面积 【典型例题】如图，边长为的等边三角形的外心为点G，以点G为圆心，长为半径作半圆，直径交于点D，以为邻边作矩形交半圆于点E，将半圆在下方的部分沿向上翻折，使得点F与点G重合，则图中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，是的直径，是的弦，，沿弦折叠后恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为（     ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在矩形中，，对角线的交点为，分别以为圆心 ，的长为半径画弧，两条圆弧恰好都经过点，则图中阴影部分的面积为         ． 【举一反三3】求阴影部分的面积，如图，正方形的边长是厘米，是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积． 【题型8】计算线段、图形扫过的面积 【典型例题】如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（ ） A.12π B.24π C.6π D.36π 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；；按此规律，则为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，使斜边过点，则线段扫过的面积为      ． 【举一反三3】如图，在矩形中，已知，将矩形绕点A旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积      ． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点逆时针旋转90°后得到．    (1)画出． (2)求旋转过程中线段所扫过的面积． 【题型9】求弧长 【典型例题】如图，的半径为4，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】某仿古墙上原有一个矩形的窗洞，现要将它改为一个圆弧形的窗洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后窗洞的圆弧长是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为，，，且米；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米，甲车由A口驶入立交桥，以的速度行驶，从G口驶出用时（    ）秒． A.5 B.6 C.7 D.8 【举一反三3】如图，是正方形和正六边形的外接圆，的直径为12，则的长为      ． 【举一反三4】如图，点A，B，C在半径为4的上，．若，则长为______________．    【举一反三5】如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 【举一反三6】如图，以的一边为直径作交于点，，与边的交点恰好为的中点，连结． (1)求证：． (2)若，求弧的长． 【题型10】圆与反比例函数综合 【典型例题】如图，有反比例函数，的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（　　） A.π B.2π C.4π D.条件不足，无法求 【举一反三1】如图，反比例函数的一个分支与有两个交点，且平分这个圆，以下说法正确的是（        ） A.劣弧等于 B.反比例函数的这个分支平分圆的周长 C.反比例函数的这个分支平分圆的面积 D.反比例函数图象必过圆心 【举一反三2】如图，的斜边OB落在x轴上，，，以O为圆心．OB长为半径作弧交OC的延长线于点D，过点C作，交圆弧于点E．若反比例函数的图像经过点E，则k的值是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，点A在反比例函数图像上，以为直径的圆交该双曲线于点，交轴于点，若，则该圆的直径长是          ． 【举一反三4】如图，以点为圆心，半径为的圆与的图像交于点，若，则的值为       ．      【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A为顶点，作边长为4的正方形，点B、C分别在y轴和x轴上，反比例函数图象上另一点D向右作正方形，以点C为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值． (2)求正方形的边长． (3)请直接写出图中阴影部分的面积．（结果保留） 【举一反三6】在平面直角坐标系中，动点为函数图像上的任意一点，点和点的坐标分别为．现给出如下定义：以线段为直径的圆称为点A的“反比例伴随圆”， （1）在图中，点A坐标为，请画出点A的“反比例伴随圆”，并写出与轴的交点坐标； （2）在点A运动过程中，直接写出其“反比例伴随圆”半径的取值范围； （3）点A由运动到的过程中，直接写出其对应的“反比例伴随圆”扫过的面积S． 学科网（北京）股份有限公司 $