3.7正多边形 同步课堂讲义2025-2026学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“正多边形与圆”的核心知识点，从正多边形的定义、中心角、边数计算到概念辨析层层递进，构建起“图形特征—数量关系—逻辑推理”的学习支架，帮助学生建立几何直观与抽象能力。 资料设计亮点突出，融合数学眼光、思维与语言三大核心素养，如通过典型例题引导学生观察正六边形中顶点刻度差与距离的关系，体现几何直观与数据意识，又在求中心角和边数时强化运算能力和推理意识。课中可辅助教师精准讲解难点，课后便于学生查漏补缺，巩固知识结构，提升综合应用能力。

3.7正多边形 讲解目录 【知识点1】正多边形和圆 1 【题型1】求正多边形的中心角 1 【题型2】求正多边形的边数 7 【题型3】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析 12 知识讲解 【知识点1】正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系      把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念      ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．      ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．      ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．      ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型专练 【题型1】求正多边形的中心角 【典型例题】将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（    ） A.8 B. C. D.4 【举一反三1】每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知正五边形内接于，连结相交于点，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三4】如图，正五边形内接于，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接、，，垂足为G，等于        度． 【举一反三5】如图，已知正六边形，对角线，交于点，点，分别是，的中点，则的值为        ． 【举一反三6】如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为          ． 【举一反三7】如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为      度． 【题型2】求正多边形的边数 【典型例题】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【举一反三1】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A.12 B.16 C.20 D.24 【举一反三2】一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A.8 B.12 C.3 D.6 【举一反三3】一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A.14 B.18 C.16 D.20 【举一反三4】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A.12 B.16 C.20 D.24 【举一反三5】如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝     ． 【举一反三6】如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为      ． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为         ． 【举一反三7】如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是       ． 【举一反三8】一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为      ． 【题型3】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析 【典型例题】下列说法错误的是（     ） A.正多边形每个内角都相等 B.正多边形都是轴对称图形 C.正多边形都是中心对称图形 D.正多边形的中心到各边的距离相等 【举一反三1】下列正多边形中，一个内角为的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】下列正多边形中，内角和是的是（    ） A.   B.   C.   D.   【举一反三3】下列是正多边形的是（   ） A.六条边都相等的六边形 B.四个角都是直角的四边形 C.四条边都相等的四边形 D.三条边都相等的三角形 【举一反三4】下列正多边形中，一个内角为的是（    ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.7正多边形 讲解目录 【知识点1】正多边形和圆 1 【题型1】求正多边形的中心角 1 【题型2】求正多边形的边数 7 【题型3】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析 12 知识讲解 【知识点1】正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系      把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念      ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．      ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．      ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．      ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型专练 【题型1】求正多边形的中心角 【典型例题】将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（    ） A.8 B. C. D.4 【答案】B 【解析】设正六边形的中心为O，连接，如图，过A作于点G， ∵顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4， ∴， ∵多边形为正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，, ∵， ∴，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， 即与之间的距离为． 故选：B． 【举一反三1】每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】正六边形的中心角的度数为， ∴绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转； 故选D． 【举一反三2】如图，已知正五边形内接于，连结相交于点，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】连接OA、OB、OC、OD、OE，如图，则∠COD=∠AOB=∠AOE=， ∴∠BOE=144°， ∴，， ∴. 故选：C. 【举一反三3】若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵正多边形的一个外角为， ∴正多边形的边数为， ∴这个正多边形的中心角的度数是， 故选：． 【举一反三4】如图，正五边形内接于，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接、，，垂足为G，等于        度． 【答案】54 【解析】连接OC，OD， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠COD=， ∴∠CPD=∠COD=36º， ∵， ∴∠DGP=90º， ∴∠PDG=90º-∠CPD=90º-36º=54º， 故答案为：54º． 【举一反三5】如图，已知正六边形，对角线，交于点，点，分别是，的中点，则的值为        ． 【答案】 【解析】连接，如图所示： ∵在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∵在正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设正六边形的边长为， ∴， 根据勾股定理得：， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【举一反三6】如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为          ． 【答案】 【解析】连接，，，， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴，， ∵恰好是⊙的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴的度数为84°. 【举一反三7】如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为      度． 【答案】12 【解析】连接AO，如图， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=360°÷6=60°， ∵多边形AHIJK是正五边形， ∴∠AOH=360°÷5=72°， ∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°， 故答案为：12． 【题型2】求正多边形的边数 【典型例题】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】如图，连接， 四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形， 点在上，且是和的角平分线，， ， ， ， 恰好是圆O的一个内接正边形的一边， ， 故选：D． 【举一反三1】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】D 【解析】连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴， ∵是内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【举一反三2】一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A.8 B.12 C.3 D.6 【答案】B 【解析】，解得． 这个正多边形的边数为12． 故选：B． 【举一反三3】一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(   ) A.14 B.18 C.16 D.20 【答案】D 【解析】∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为， ∴该正多边形的边数为：，故D正确． 故选：D． 【举一反三4】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】D 【解析】连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴， ∵是内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【举一反三5】如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝     ． 【答案】9 【解析】∵正n边形的中心角＝＝40°， n＝＝9． 故答案为9． 【举一反三6】如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为      ． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为         ． 【答案】（1）120° （2）12 【解析】（1）连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三7】如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是       ． 【答案】5 【解析】中心角的度数=， ， ， 故答案为：5． 【举一反三8】一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为      ． 【答案】10 【解析】∵一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合， ∴ n的值为：， 故答案为：10. 【题型3】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析 【典型例题】下列说法错误的是（     ） A.正多边形每个内角都相等 B.正多边形都是轴对称图形 C.正多边形都是中心对称图形 D.正多边形的中心到各边的距离相等 【答案】C 【解析】A、正多边形每个内角都相等，根据正多边形的定义得出此选项正确，不符合题意； B、正多边形都是轴对称图形，根据正多边形的性质得出，此选项正确，不符合题意； C、正多边形都是中心对称图形，当边数为奇数时，正多边形不是中心对称图形，故此选项错误，符合题意； D、根据正多边形中心为正多边形内切圆与外接圆圆心，故正多边形的中心到各边的距离相等，此选项正确，不符合题意． 故选C． 【举一反三1】下列正多边形中，一个内角为的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、正方形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意； B、正五边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意； C、正六边形的一个外角为，所以其内角为，故符合题意； D、正八边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意； 故选C． 【举一反三2】下列正多边形中，内角和是的是（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】C 【解析】∵n边形的内角和公式为， ∴当， 则． ∴五边形的内角和等于． 故选：C． 【举一反三3】下列是正多边形的是（   ） A.六条边都相等的六边形 B.四个角都是直角的四边形 C.四条边都相等的四边形 D.三条边都相等的三角形 【答案】D 【解析】∵六条边都相等的六边形的六个角不一定相等，故A错误； ∵四个角都是直角的四边形的四条边不一定相等，故B错误； ∵四条边都相等的四边形的四个角不一定相等，故C错误； ∵三条边都相等的三角形是等边三角形，它的三个角都相等，故D正确， 故选：D． 【举一反三4】下列正多边形中，一个内角为的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、正方形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意； B、正五边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意； C、正六边形的一个外角为，所以其内角为，故符合题意； D、正八边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意； 故选C． 学科网（北京）股份有限公司 $