专题 3.7 正多边形（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 3.7 正多边形 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】正多边形定义 1 【知识点二】正多边形与圆 1 二.题型分类精析 1 （一）基础篇 1 【★题型1】正多边形定义辨析 1 【★题型2】求正多边形相关的角 3 【★题型3】求正多边形边长、面积、外接圆半径 5 【★题型4】正多边形和圆与尺规作图 7 （二）培优篇 9 【★★题型5】正多边形与外接圆的综合求值 9 【★★题型6】正多边形与外接圆的综合证明 13 【★★题型7】正多边形与外接圆的综合——尺规作图 17 二．同步练习​ 20 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 20 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 30 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】正多边形定义 我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形. 【知识点二】正多边形与圆 经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接正多边形.任何正多边形都有一个外接圆. 二.题型分类精析 （一）基础篇 【★题型1】正多边形定义辨析 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示图形是正多边形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，掌握正多边形的定义是解题的关键．根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案． 解：A．是等腰三角形，不是正多边形，故A不符合题意； B．是圆角矩形，不是正多边形，故B不符合题意； C．是正五边形，故C符合题意； D．是一般六边形，不是正多边形，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【答案】D 【分析】本题考查了命题，正多边形的定义和性质．正多边形必须各边相等且各角相等；中心对称性取决于边数；圆内接多边形各角相等不一定为正多边形；正多边形的半径即其外接圆半径，据此进行逐项分析，即可作答． 解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题意； B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合题意； D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意； 故选：D 【变式2】（2024·上海·模拟预测）下列关于正多边形说法正确的数量为（    ） （1）正多边形一定是轴对称图形   （2）正多边形一定是中心对称图形 （3）正多边形的中心角与其一个外角的度数相等 （4）正多边形的外角和与其边数成正比 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查正多边形、中心对称图形、轴对称图形，根据正多边形的定义及性质、中心对称图形的定义、轴对称图形的定义，即可求得答案． 解：（1）说法正确； （2）正多边形不一定是中心对称图形，例如正五边形不是中心对称图形，说法错误； （3）正边形的中心角与其一个外角的度数均为，说法正确； （4）正多边形的外角和为，与其边数不成正比，说法错误； 说法正确的为（1）（3）． 故选：B． 【★题型2】求正多边形相关的角 【例题2】（23-24九年级上·全国·单元测试）正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的旋转对称问题，根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答． 解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形， ∴顶点处的周角被分成四个相等的角，， ∴这个正方形绕着它的中心旋转的整数倍后，就能与它自身重合， 因此这个角度至少是． 故选C． 【变式1】（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，正五边形内接于，点F是劣弧的中点，连接，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，连接，可求出的度数，再由垂径定理的推论可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∵点F是劣弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是正五边形的边上的动点（与点不重合），连接，则的度数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正五边形以及圆周角定理，解题的关键是掌握正五边形的性质以及圆周角定理． 正五边形的中心角为，进而可以求出，得出的度数的取值范围即可． 解：如图，连接， ∵正五边形的中心角为， ， 点P与点A，E不重合， ∴的度数的取值范围是． 故答案为：． 【小结归纳】 【★题型3】求正多边形边长、面积、外接圆半径 【例题3】（24-25九年级上·天津·期末）正六边形的周长为6，则正六边形的半径为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解． 解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形， 而三角形的边长就是正六边形的半径， 又∵正六边形的周长为6， ∴正六边形边长为， ∴正六边形的半径等于1． 故答案为：1． 【变式1】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意证明为等边三角形，得出，即可得解． 解：如图，连接、， ∵，， ∴为等边三角形， ∵的半径等于3，即， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）边长为2的正四边形内接于，则该正四边形的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，理解正多边形的边长与其外接圆的关系是解题的关键；正四边形即正方形内接于圆时，其外接圆半径等于正方形对角线的一半． 解：正四边形的对角线长为，则其内接圆的半径为； 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·月考）已知正六边形的半径为4，则它的面积是（　　） A． B．12 C． D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形面积的计算，解决此题的关键把正六边形分成六个全等的等边三角形；根据正六边形的性质把六边形分成6个等边三角形，进而得到答案； 解：如图所示；正六边形，其中心为G，连接点G与各顶点，过G作于F， 由正六边形的性质可知：正六边形分成6个全等的等边三角形， ∵， ∴， 根据勾股定理可知：， ∴ ∴， 故选：C． 【★题型4】正多边形和圆与尺规作图 【例题4】（2022·陕西·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见分析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点拨】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 【变式1】．（2025·陕西·模拟预测）补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 【答案】45；8，图见分析 【分析】本题主要考查了中心角，圆和正多边形，尺规作图， 先求出中心角，并作出8个点，再隔一个点依次连接，可得答案. 解：步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画的角，与圆相交于8个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 画出图形如图所示． 答案为：45；8． 【变式2】如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解． 【分析】（1）利用数形结合的思想求出正方形的边长即可解决问题； （2）根据，寻找点G，利用勾股定理求出即可． 解：（1）解：正方形如图所示： （2）解：以为顶角的等腰三角形如图所示： ． 【点拨】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． （二）培优篇 【★★题型5】正多边形与外接圆的综合求值 【例题5】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为 °． 【答案】75 【分析】本题考查圆周角定理、三角形外角性质，解题思路是利用圆周角定理求出相关角的度数，再结合三角形外角性质计算；考查的知识点是圆周角定理、三角形外角性质，用到的思想是转化思想，方法是角度转化法，技巧是将所求角转化为已知图形的角的和，解题关键是利用圆周角定理求出相关角的度数，易错点是对圆周角与圆心角的关系理解不清导致角度计算错误． 解：∵正方形内接于， ∴正方形的每条边对应的圆心角为，对应的圆周角为， ∵正三角形内接于， ∴正三角形的每条边对应的圆心角为，对应的圆周角为 连接， ∵是的外角， ∴， ∵是边对的圆周角， ∴, ∵是边对的圆周角， ∴ ∴ 故答案为． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形性质，圆内接四边形性质，根据多边形是正五边形，求出，进而得到，再结合圆内接四边形性质求解，即可解题． 解：多边形是正五边形， ， ， ， ； 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，根据正六边形的性质可求．在中通过解直角三角形可得，从而，即可求解． 解：连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a， ∵六边形是正六边形，，是其对角线， ∴，平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点J是正六边形的对角线的交点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将的圆周6等分，则圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的判定与性质等知识，连接、、、、，先判断六边形是的内接正六边形，则，根据中心角定义求出，则可求出，故A、O、E三点共线，即是的直径，同理可得是的直径，根据直径所对的圆周角是直角以及矩形的判定可得出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，即可求解． 解：连接、、、、，如图所示： 由题意知：A、B、C、E、F、G把分成六等分， ∴六边形是的内接正六边形， ∴，， ∴， ∴A、O、E三点共线，即是的直径， ∴， 同理是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为， 故答案为：． 【★★题型6】正多边形与外接圆的综合证明 【例题6】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． （1）求的度数； （2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】（1）；（2）12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 解：（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，，，分别是直径为的圆O的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，给出下面四个结论：①圆O的直径为4；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①② C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，等边三角形的判定及性质，圆的基本性质等；连接、、，交于，由圆与正多边形的关系，，，结合等边三角形的判定及性质和勾股定理等逐一判断，即可求解． 解：连接、、，交于， ，，分别是直径为的圆O的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边， ，，，， 是等边三角形，， ， ， 故①②正确； ∵，， ， ， ， ， ， 故③错误； ∵， ， ， ∴， 故④正确； ①②④正确； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． （1）求证：； （2）连接，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 【★★题型7】正多边形与外接圆的综合——尺规作图 【例题7】（2020九年级下·山东青岛·学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】见分析 【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可． 解：如图，四边形ABCD即为所求作． 【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式1】如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见分析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 【变式2】（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： （1）请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； （2）请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 解：（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点拨】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2025·广西南宁·模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形中心角度数，掌握正n边形中心角的计算公式是解题的关键． 用除以正多边形的边数，计算即可． 解： 故选：C． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、、、，由题意可得，，，由圆周角定理计算得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图：连接、、、， 由题意可得：，，， ∴， ∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆与正多边形，掌握正六边形边长与其外接圆半径的关系是解题关键． 正六边形每条边长都相等，它的外接圆半径等于其边长． 解：根据题意，正六边形的边长为，则其周长为． 故选：D． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，正多边形和圆的综合，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出，再证明等边三角形，从而可求得正六边形地基的周长． 解：∵，， ∴等边三角形， ∴， ∴这个正六边形地基的周长为， 故选：D． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关性质定理． 根据正五边形的性质，可得，进而得到图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 解：由题可得，，，， ，， ， 图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 故答案为：C． 6．（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正六边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键．连接、，根据正六边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 解：连接、，如图所示： 正六边形内接于， ， P是圆上任意一点，， 根据圆周角定理，， 故选：D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）将一个正五边形绕其中心至少旋转 °就能和本身重合． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的性质，正五边形是旋转对称图形，其最小旋转角度等于中心角的度数． 正五边形的中心角为 ，故绕其中心至少旋转 就能和本身重合． 解：正五边形的中心角为 ，故绕其中心至少旋转就能和本身重合． 故答案为： 8．（20-21九年级上·陕西延安·期末）如图，是内接正n边形的一条边，点C是上一点，连接，，则n的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正多的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 解：连接， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 9．（25-26九年级上·北京·月考）如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 将正六边形分成六个边长相等的正三角形，则正多边形的半径为正三角形的边长，据此计算正六边形的面积即可． 解：根据题意得，正六边形可以分成六个边长相等的正三角形， 则正多边形的半径为正三角形的边长， 即正三角形的边长为6，高为， 因此，正六边形的面积为， 故答案为：． 10．（2021九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点拨】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 11．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 12．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，正n边形两条对角线、的延长线交于点P，若，则n的值是 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了正多边形与圆的相关知识及平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，，得，进而可得正n边形中心角为，即可求得边数． 解：连接，， 多边形是正n边形， ， ， ∴所对的圆心角为， ∴所对的圆心角为， 正n边形中心角为， ， 故答案为：15． 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的含义． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可. （2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正边形的每个中心角都等于,进行计算即可解答． 解：（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7. （2）解：由（1）可得该多边形是正七边形， 中心角的度数． 14．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 【答案】证明见详解 【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，证明，即可得出． 解：证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ， ， ． 15．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． （1）求的直径的长； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 解：（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 16．（17-18九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）． （1）求的度数； （2）若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 解：（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）已知圆内接正六边形的半径为，则该内接正六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆内接正多边形的性质以及正六边形面积的计算，正三角形面积公式：对于边长为的正三角形，其面积．关键在于理解圆内接正六边形的半径与边长的关系，以及将正六边形的面积转化为六个全等正三角形面积之和的方法．由于圆内接正六边形的半径等于它的边长，所以可先求出正六边形的边长．然后将正六边形分割成六个全等的正三角形，通过计算一个正三角形的面积，再乘以，即可得到正六边形的面积． 解：∵圆内接正六边形的半径为， ∴每个等边三角形的边长为． ∵等边三角形的面积公式为 ， ∴一个三角形的面积为 = = ． ∴正六边形的面积为 ． 故答案为 C． 2．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质，平行线间的距离相等．解题的关键在于正确作出辅助线确定阴影部分面积． 如图，连接，，，交点为，设与的距离为，根据正六边形的性质以及平行线间距离相等可得则，进而可求，同理可求的值，计算求解即可． 解：如图，连接，，，交点为， 由正六边形可得，即，， 设与的距离为， 则， ∵， ∴， 同理可得， ∴空白部分的面积为， 故选：B． 5．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，的直角三角形的特点，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质与的直角三角形的特点可得的长，根据三角形的面积公式即可求得正八边形的面积，即可求解． 解：圆的内接正八边形的面积可以看成8个全等的等腰三角形组成， ∴等腰三角形的顶角为， 设圆的半径为1， 如图为其中一个等腰三角形， 过点作交于点， ∵， ∴， 则中，， ∵， ∴， 即， ∴ 故正八边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正八边形面积近似估计的面积可得的估计值为． 故选：A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正八边形的一边．则以为边的内接正多边形的边数为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，先求得，的度数，然后利用除以度数，根据所得的结果进行分析即可得． 解：∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴以为边的内接正多边形的边数为24． 故答案为：24． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据已知条件推出是解题的关键．连接、、，根据题意可得，，利用角的和差得到，即可求出的值． 解：如图，连接、、， ∵为的内接正三角形的一边， ∴， ∵为的内接正四边形的一边， ∴， ∴， ∵是圆内接正边形的一边， ∴， 故答案为：12． 9．（24-25九年级下·吉林长春·月考）正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、圆与正多边形，熟练掌握圆与正多边形的性质是解题关键．连接，先得出是这个正多边形的外接圆，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 解：如图，连接， ∵点为正多边形的中心， ∴是这个正多边形的外接圆， 由圆周角定理得：， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正九边形的两条邻边分别与相切于点、，点在上，连接、，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据正九边形的性质求出内角的度数，再根据切线的性质得到，由三四边形的内角和是求出的度数，由周角的定义以及圆周角定理进行计算即可． 解：如图，连接，， 正九边形的两条邻边分别与相切于点、， ， 又正九边形的一个内角， ， ， 故答案为：． 11．（2021九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 解：连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点拨】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 12．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，点O为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为3，则点O到的距离的长为 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、含30度直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图，连接，由题意可得 ，；根据等边对等角以及三角内角和定理可得；再是等边三角形可得、，易得，然后根据含30度直角三角形的性质求解即可． 解：如图，连接， ∵点O为正六边形的中心，正六边形的边长为3， ∴ ，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图： （1）如图1，作已知圆的一条直径； （2）如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，等边三角形的判定与性质，度角对的弦是直径，垂径定理，同弧对的圆周角相等等知识，理解并掌握对应知识点是解题的关键． （1）法一：在圆中作弦，作弦的垂直平分线交圆于点C和点D，连接即可； 法二：在圆中作弦，过点F作弦的垂线交圆于点G，连接即可； （2）法一：在中作直径，作半径的垂直平分线交圆于点B和点C，连接，即可； 法二：在中作直径，以D为圆心，为半径作交于点B和点C，连接，即可． 解：（1）解：直径如图所示； （2）解：如图所示，即为所求． 14．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． （1）求的度数； （2）求正六边形与正方形的面积比． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质． （1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数； （2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比． 解：（1）解：连接， ∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，设正六边形的边长为． ∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为的等边三角形， ∴，， ∴正方形的面积为， ∴， 正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为． 15．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 16．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）我们可以用构图的方法研究一些几何问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知正方形，E是延长线上一点，连接，作，交于点F．求证∶． 【方法迁移】 （2）如图②，已知，点P在的内部，求作正方形，使点Q，N分别在上，点M在的内部且点M在点P的右侧．（含边）． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，若， ，点P到的距离为1，直接写出所作正方形的边长． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）． 【分析】（1）先根据正方形的性质证明可得，再根据等量代换即可证明结论； （2）根据正方形的性质、垂直平分线的性质进行尺规作图即可完成作答； （3）如图：过P作，交于点L，交于点F，过Q作于点K，过Q作于点E，再利用等腰直角三角形和三垂直全等得到线段长，再利用勾股求解即可． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：如图，正方形即为所求； 作法： 1．过点P向作垂线段； 2．以垂线段为边向右侧正方形； 3．延长，交于点Q； 4．连接，以点P为圆心，为半径画弧，交于点N； 5．以为边作正方形，则正方形即为所求； （3）解：如图：过P作，交于点L，交于点F，过Q作于点K，过Q作于点E， 同理可得：， ∵， ∴， ， ∴， 在中， 综上，正方形边长为． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.7 正多边形 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】正多边形定义 1 【知识点二】正多边形与圆 1 二.题型分类精析 1 （一）基础篇 1 【★题型1】正多边形定义辨析 1 【★题型2】求正多边形相关的角 2 【★题型3】求正多边形边长、面积、外接圆半径 3 【★题型4】正多边形和圆与尺规作图 3 （二）培优篇 4 【★★题型5】正多边形与外接圆的综合求值 4 【★★题型6】正多边形与外接圆的综合证明 5 【★★题型7】正多边形与外接圆的综合——尺规作图 6 二．同步练习​ 7 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 7 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 11 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】正多边形定义 我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形. 【知识点二】正多边形与圆 经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接正多边形.任何正多边形都有一个外接圆. 二.题型分类精析 （一）基础篇 【★题型1】正多边形定义辨析 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示图形是正多边形的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【变式2】（2024·上海·模拟预测）下列关于正多边形说法正确的数量为（    ） （1）正多边形一定是轴对称图形   （2）正多边形一定是中心对称图形 （3）正多边形的中心角与其一个外角的度数相等 （4）正多边形的外角和与其边数成正比 A．1 B．2 C．3 D．4 【★题型2】求正多边形相关的角 【例题2】（23-24九年级上·全国·单元测试）正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，正五边形内接于，点F是劣弧的中点，连接，则的度数是 ． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是正五边形的边上的动点（与点不重合），连接，则的度数的取值范围是 ． 【★题型3】求正多边形边长、面积、外接圆半径 【例题3】（24-25九年级上·天津·期末）正六边形的周长为6，则正六边形的半径为 ． 【变式1】（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【变式2】（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）边长为2的正四边形内接于，则该正四边形的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·月考）已知正六边形的半径为4，则它的面积是（　　） A． B．12 C． D．24 【★题型4】正多边形和圆与尺规作图 【例题4】（2022·陕西·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【变式1】．（2025·陕西·模拟预测）补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 【变式2】如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上； （2）在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长． （二）培优篇 【★★题型5】正多边形与外接圆的综合求值 【例题5】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为 °． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将的圆周6等分，则圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为 ． 【★★题型6】正多边形与外接圆的综合证明 【例题6】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． （1）求的度数； （2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，，，分别是直径为的圆O的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，给出下面四个结论：①圆O的直径为4；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①② C．①②④ D．②③④ 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． （1）求证：； （2）连接，求的度数． 【★★题型7】正多边形与外接圆的综合——尺规作图 【例题7】（2020九年级下·山东青岛·学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【变式1】如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【变式2】（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： （1）请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； （2）请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（2025·广西南宁·模拟预测）青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（25-26九年级上·福建福州·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）将一个正五边形绕其中心至少旋转 °就能和本身重合． 8．（20-21九年级上·陕西延安·期末）如图，是内接正n边形的一条边，点C是上一点，连接，，则n的值为 ． 9．（25-26九年级上·北京·月考）如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为 ． 10．（2021九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 11．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 12．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，正n边形两条对角线、的延长线交于点P，若，则n的值是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 14．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 15．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． （1）求的直径的长； （2）求的度数． 16．（17-18九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）． （1）求的度数； （2）若的半径为8，求正方形的边长． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）已知圆内接正六边形的半径为，则该内接正六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正八边形的一边．则以为边的内接正多边形的边数为 ． 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为 ． 9．（24-25九年级下·吉林长春·月考）正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为 ． 10．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，正九边形的两条邻边分别与相切于点、，点在上，连接、，则的度数为 ． 11．（2021九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 12．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，点O为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为3，则点O到的距离的长为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图： （1）如图1，作已知圆的一条直径； （2）如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 14．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． （1）求的度数； （2）求正六边形与正方形的面积比． 15．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 16．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）我们可以用构图的方法研究一些几何问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知正方形，E是延长线上一点，连接，作，交于点F．求证∶． 【方法迁移】 （2）如图②，已知，点P在的内部，求作正方形，使点Q，N分别在上，点M在的内部且点M在点P的右侧．（含边）． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，若， ，点P到的距离为1，直接写出所作正方形的边长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $