2.1 等式性质与不等式性质讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】用不等式(组)表示不等关系 3 【题型2】作差法比较大小 4 【题型3】重要不等式 6 【题型4】等式性质与不等式的性质 7 【题型5】利用不等式的性质证明不等式 8 【题型6】利用不等式的性质求代数式的取值范围 9 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 二、作差法比较大小 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是负数，那么a<b，反过来也对.这个基本事实可以表示为 a>b⇔a-b>0； a=b⇔a-b=0； a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 三、等式性质与不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 2.利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. 3.(1)若a>b>0，则0<<； 若a<b<0，则0>>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】用不等式(组)表示不等关系 （2023秋•曲阜市月考）下列说法正确的是　　典例 A．某人月收入不高于2000元可表示为“” B．某变量不超过可表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．小明的身高，小华的身高，则小明比小华矮表示为“” 【答案】 【分析】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案． 【解答】解：对于，某人收入不高于2000元可表示为，错误； 对于，变量不超过可表示为，正确； 对于，变量至少为可表示为，错误； 对于，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，错误． 故选：． 方法点拨 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式. 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 【变式1】大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量满足关系为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024春•霍邱县期中）某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度满足关系为　　 A． B． C． D． 【变式3】某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案： 方案为一次性投资500万元； 方案为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元， 列出不等式表示“经年之后，方案的投入不少于方案的投入”． 【题型2】作差法比较大小 （2025春•高新区月考）设，，则　　典例 A． B． C． D．与的大小与有关 【答案】 【分析】根据作差法比较大小即可． 【解答】解：因为， 所以． 故选：． 方法点拨 作差法比较两个实数大小的基本步骤 【变式1】（2025春•绵阳月考）已知，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•固始县期末）已知，，则　　 A． B． C． D．，的大小与有关 【变式3】（2024秋•浏阳市期末）若，，则与的关系是　　 A． B． C． D．与的值有关 【题型3】重要不等式 （2024秋•黄陵县期中）不等式中等号成立的条件是　　典例 A． B． C． D． 【分析】利用配方法等价转化原不等式，进而可知时等号成立． 【解答】解：， 等价于， 当且仅当时等号成立． 故选：． 方法点拨 一般地，∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 【变式1】（2024秋•秦州区期中）现给出三个不等式：①；②；③．其中恒成立的不等式共有　　个． 【变式2】已知，是实数，则，，的大小关系是 　　． 【变式3】（2024秋•洪山区月考）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母，的不等式表示出来　　 A． B． C． D． 【题型4】等式性质与不等式的性质 （2024秋•四川期末）已知，则下列说法错误的是　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用不等式的性质可判断选项；利用作差法可判断选项． 【解答】解：对于选项，因为，则，错； 对于选项，因为，则，对； 对于选项，因为，可得，对； 对于选项，因为，则， 所以，，对． 故选：． 方法点拨 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质. (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【变式1】（2024秋•浦东新区期末）若实数，，满足，，则　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•广东期末）若则下列不等式中一定成立的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024秋•重庆期末）若，，，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【题型5】利用不等式的性质证明不等式 （2025•石景山区开学）已知实数，满足，．典例 （Ⅰ）求和的取值范围； （Ⅱ）证明：． 【答案】的取值范围是；的取值范围是． 详见解答过程． 【分析】结合不等式的性质即可求解； 利用作差法即可证明． 【解答】解：（Ⅰ）因为，， 由不等式性质可得，． 因为，所以． 综上，的取值范围是；的取值范围是． （Ⅱ）证明：． 因为，，所以，， 所以． 方法点拨 (1)利用不等式的性质对不等式的证明，其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件. (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 【变式1】（2024秋•西城区期末）已知实数，满足，． （Ⅰ）求和的取值范围； （Ⅱ）证明：． 【变式2】（2024秋•广安区月考）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，，求证：． 【变式3】（2024秋•修文县期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【题型6】利用不等式的性质求代数式的取值范围 （2024秋•衡阳县期末）已知实数，满足，，则范围是， ．典例 【答案】，． 【分析】根据题意化简出，然后利用不等式的可加性求出的取值范围． 【解答】解：设，即， 可得，解得，，所以， 根据，，可得，，相加得． 故答案为：，． 方法点拨 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【变式1】（2024秋•汕尾期末）已知，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2025春•丽江期中）已知，满足，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2025春•阳江月考）已知实数，满足，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】用不等式(组)表示不等关系 3 【题型2】作差法比较大小 5 【题型3】重要不等式 7 【题型4】等式性质与不等式的性质 9 【题型5】利用不等式的性质证明不等式 11 【题型6】利用不等式的性质求代数式的取值范围 14 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 二、作差法比较大小 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是负数，那么a<b，反过来也对.这个基本事实可以表示为 a>b⇔a-b>0； a=b⇔a-b=0； a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 三、等式性质与不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 2.利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. 3.(1)若a>b>0，则0<<； 若a<b<0，则0>>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】用不等式(组)表示不等关系 （2023秋•曲阜市月考）下列说法正确的是　　典例 A．某人月收入不高于2000元可表示为“” B．某变量不超过可表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．小明的身高，小华的身高，则小明比小华矮表示为“” 【答案】 【分析】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案． 【解答】解：对于，某人收入不高于2000元可表示为，错误； 对于，变量不超过可表示为，正确； 对于，变量至少为可表示为，错误； 对于，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，错误． 故选：． 方法点拨 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式. 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 【变式1】大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量满足关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知结合不等关系即可判断． 【解答】解：大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量满足关系为． 故选：． 【变式2】（2024春•霍邱县期中）某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度满足关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】理解“限高”的含义是“”即可得出． 【解答】解：“限高4.5米”的意义为“”， 故选：． 【变式3】某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案： 方案为一次性投资500万元； 方案为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元， 列出不等式表示“经年之后，方案的投入不少于方案的投入”． 【分析】执行方案，第一年投资5万元，第二年投资15万元，，第年投资万元，从而写出故经年之后，方案的总投入为，从而得到不等式． 【解答】解：执行方案， 第一年投资5万元， 第二年投资15万元， 第三年投资25万元， 第年投资万元， 故经年之后，方案的总投入为， 故经年之后，方案的投入不少于方案的投入可表示为 ， 即． 【题型2】作差法比较大小 （2025春•高新区月考）设，，则　　典例 A． B． C． D．与的大小与有关 【答案】 【分析】根据作差法比较大小即可． 【解答】解：因为， 所以． 故选：． 方法点拨 作差法比较两个实数大小的基本步骤 【变式1】（2025春•绵阳月考）已知，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用作差法判断即可． 【解答】解：因为，， 所以， 所以． 故选：． 【变式2】（2024秋•固始县期末）已知，，则　　 A． B． C． D．，的大小与有关 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可． 【解答】解：由题意可得， 当即或时，，当即时，， 当即时，，故、的大小与有关． 故选：． 【变式3】（2024秋•浏阳市期末）若，，则与的关系是　　 A． B． C． D．与的值有关 【答案】 【分析】利用作差法比较数的大小即可． 【解答】解：因为，， ， 所以． 故选：． 【题型3】重要不等式 （2024秋•黄陵县期中）不等式中等号成立的条件是　　典例 A． B． C． D． 【分析】利用配方法等价转化原不等式，进而可知时等号成立． 【解答】解：， 等价于， 当且仅当时等号成立． 故选：． 方法点拨 一般地，∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 【变式1】（2024秋•秦州区期中）现给出三个不等式：①；②；③．其中恒成立的不等式共有　　个． 【分析】①取特值可推翻；②由恒成立变形可得原式恒成立；③平方法可证恒成立． 【解答】解：①当时，，故不是恒成立； ②要证恒成立，只需恒成立， 即证恒成立，即恒成立， 显然恒成立，故原式恒成立； ③要证，只需， 只需，即证，显然该式成立，故原式成立． 故答案为：2 【变式2】已知，是实数，则，，的大小关系是 　　． 【答案】 【分析】运用作差法直接比较即可． 【解答】解：，， 又，， 故答案为：． 【变式3】（2024秋•洪山区月考）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母，的不等式表示出来　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积． 图（2）是一个矩形，面积． 可得：． 故选：． 【题型4】等式性质与不等式的性质 （2024秋•四川期末）已知，则下列说法错误的是　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用不等式的性质可判断选项；利用作差法可判断选项． 【解答】解：对于选项，因为，则，错； 对于选项，因为，则，对； 对于选项，因为，可得，对； 对于选项，因为，则， 所以，，对． 故选：． 方法点拨 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质. (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【变式1】（2024秋•浦东新区期末）若实数，，满足，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得解． 【解答】解：因为，， 则，，故错误； 由，结合等式性质可知，故错误； 由可知，所以，即， 又，所以，故正确． 故选：． 【变式2】（2024秋•广东期末）若则下列不等式中一定成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】举特例可判断选项，，，构造函数可判断选项． 【解答】解：对于，取，则，选项错误； 对于，由于函数在上单调递增， 又，则，选项正确； 对于，取，，则，选项错误； 对于，，，则，选项错误． 故选：． 【变式3】（2024秋•重庆期末）若，，，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用不等式的性质，和通过取特殊值即可得出． 【解答】解：．，不成立， ．，根据不等式的基本性质，，，故正确 ．，，不成立， ．时，，不成立． 故选：． 【题型5】利用不等式的性质证明不等式 （2025•石景山区开学）已知实数，满足，．典例 （Ⅰ）求和的取值范围； （Ⅱ）证明：． 【答案】的取值范围是；的取值范围是． 详见解答过程． 【分析】结合不等式的性质即可求解； 利用作差法即可证明． 【解答】解：（Ⅰ）因为，， 由不等式性质可得，． 因为，所以． 综上，的取值范围是；的取值范围是． （Ⅱ）证明：． 因为，，所以，， 所以． 方法点拨 (1)利用不等式的性质对不等式的证明，其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件. (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 【变式1】（2024秋•西城区期末）已知实数，满足，． （Ⅰ）求和的取值范围； （Ⅱ）证明：． 【答案】的范围为，的范围为； （Ⅱ）详见解答过程． 【分析】（Ⅰ）由已知结合不等式的性质即可分别求解； （Ⅱ）利用比较法即可证明． 【解答】解：因为实数，满足，， 所以，， 所以的范围为，的范围为； 证明：因为，， 所以，， ， 所以． 【变式2】（2024秋•广安区月考）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据条件，利用不等式的运算性质，即可求解； （2）根据条件，通过作差，得到，即可证明结果． 【解答】解：（1）因为，得到，又， 所以． （2）证明：因为，， 则， 所以． 【变式3】（2024秋•修文县期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解． 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证． 【解答】（1）解：因为 ， 所以； （2）证明：因为，可得，则，即， 又，由不等式的性质可证得． 【题型6】利用不等式的性质求代数式的取值范围 （2024秋•衡阳县期末）已知实数，满足，，则范围是， ．典例 【答案】，． 【分析】根据题意化简出，然后利用不等式的可加性求出的取值范围． 【解答】解：设，即， 可得，解得，，所以， 根据，，可得，，相加得． 故答案为：，． 方法点拨 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【变式1】（2024秋•汕尾期末）已知，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先由题意得，进而求得即可求解． 【解答】解：因为，，所以，即， 所以，则， 所以． 故选：． 【变式2】（2025春•丽江期中）已知，满足，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知结合不等式性质即可求解． 【解答】解：因为， 又，满足， 所以，， 所以， 即． 故选：． 【变式3】（2025春•阳江月考）已知实数，满足，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用不等式性质得到，得到答案． 【解答】解：由可得， 由可得， 故． 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $