1.4.1 课时3 空间中直线、平面的垂直同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1 课时3空间中直线、平面的垂直 【基础巩固】 1．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（ ） A． B． C． D． 2．如图，在棱长为的正方体中，已知 ，若，则（ ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）在正方体中，是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ） A．平面 B． C．四面体的体积为定值 D．存在点，使得平面平面 6．设直线的方向向量，平面的法向量，若，则_________. 7．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则__________． 8．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点，为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【能力拓展】 9．如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（ ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 10．（多选）如图，在棱长为的正方体中，点满足 ，则下列说法正确的是（ ） A．若，则平面 B．若，则点的轨迹长度为 C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面 11．如图所示，正八面体的棱长为，点为正八面体内(含表面)的动点，，则的取值范围为_________. 【素养提升】 12．如图，在三棱柱中，，，是棱的中点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 课时3空间中直线、平面的垂直 【基础巩固】 1．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以，所以，解得.故选：B. 2．如图，在棱长为的正方体中，已知，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则，， 因为，所以，即，解得.故选：D. 3．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 4．如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点、， ，， 由于，则，可得， ，则， . 故选：C. 5．（多选）在正方体中，是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ） A．平面 B． C．四面体的体积为定值 D．存在点，使得平面平面 【答案】AB 【解析】对于A，因为，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以，故B正确； 对于C，因为平面，， 所以与平面相交，即点到平面的距离不是定值， 因为，为定值，所以四面体的体积不为定值，故C错误； 对于D，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则，，，，设， 则，，，， 设平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 若存在点，使得平面平面， 则， 因为，所以无解， 所以不存在点，使得平面平面，故D错误. 故选：AB. 6．设直线的方向向量，平面的法向量，若，则_________. 【答案】 【解析】因为直线的方向向量，平面的法向量，， 所以，所以，解得.故答案为：. 7．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则__________． 【答案】 【解析】如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面的法向量为 则 令，得,所以， 设，则，又平面，则， 所以，解得，，所以. 故答案为：. 8．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点，为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【解析】(1)在三棱柱中，底面，平面， ，，为的中点，， ， 平面，平面， 平面，平面平面； (2)以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，设，则，，，若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 【能力拓展】 9．如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（ ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【答案】B 【解析】 如图建系，设正方体的棱长为. 对于A，易得， 因是的中点，故，点在上，设， 则， 平面的法向量可取为， 由，解得，即存在，使得平面， 此时，点恰为的中点，故A正确； 对于B，由上建系，则， 由，可知与不垂直，故B错误； 对于C，如图，取的中点为，连接，易得， 因，则得，故有，则， 又平面平面，平面平面， 故即为平面与平面的截线， 又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确； 对于D，由上建系，因为的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由，可得， 故平面平面，即D正确. 故选：B. 10．（多选）如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ） A．若，则平面 B．若，则点的轨迹长度为 C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面 【答案】ABD 【解析】 对于A，若，则，则点在线段上，如上图. 因平面平面，且平面平面，平面平面， 故因平面，平面，故平面，同理可证平面， 因平面，平面，且，故有平面平面， 又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，若，则（为的中点）如上图. 又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，若，则，所以. ，所以点在线段上（如上图）.假设，则， 即，化简得， 该方程无解，所以不存在，故C错误； 对于D，如上图，设为的中点， 当时，则，即， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则， . 所以. 假设平面，则， 即，解得.故D正确. 故选： . 11．如图所示，正八面体的棱长为，点为正八面体内(含表面)的动点，，则的取值范围为_________ 【答案】 【解析】设交于点，且，的中点为， 因为 ， 则，即， 可知点的轨迹是过点且与直线垂直的平面， 如图，以为坐标运算，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，则， 可得，可得， 直线上的点满足，结合可得， 可知直线与平面的交点为， 同理可得：平面与直线的交点依次为 ， 又因为， 注意到，则， 即，可知平面， 当点为与平面的交点时，取到最小值， 可设， 可得，结合可得，即， 则，所以取到最小值， 检验可知：当点为时，取到最大值， 所以取到最大值； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 【素养提升】 12．如图，在三棱柱中，，，是棱的中点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】见解析 【解析】(1)如图，取中点，连接. ∵,∴, ∵,,, ∴与全等， ∴，∴， ∵，、平面， ∴平面， ∵平面，∴. (2)不存在，理由如下： 由(1)得，平面， ∵平面， ∴平面平面， 如图，过点作于点. ∵平面平面，平面， ∴平面 由题意得， ∴，设三棱柱的高为， ∵三棱锥的体积为， ∴三棱锥的体积为，即， ∴，即， ∴，∴点为中点. 取中点，则，∴. 故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ∴， ，，. 设，则， ∴， 要使平面，则需且， 由得，，解得， 由得，，解得， 由两个方程解出值不同可得在棱上不存在点使得平面. 第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $