1.4.1 课时1 空间中直线、平面的向量表示同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 课时1空间中直线、平面的向量表示 【基础巩固】 1．已知向量都是直线的方向向量，则的值是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，向量共线，则， 所以.故选：B. 2．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为平面的法向量，所以且. 因为：；； .所以ACD都不是. 因为，，所以B正确. 故选：B 3．已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量，故选：A． 4．已知为平行四边形外的一点，且，则下列结论正确的是（ ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的余弦值为 D．平面的一个法向量为 【答案】C 【解析】，，， 所以与不共线，故A错误； ，同向的单位向量为，故B错误； ，故，故C正确； 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，则，故D错误． 故选：C 5．（多选）已知空间向量，，则（ ） A．平面的一个法向量为 B． C．若向量，则点不在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】AD 【解析】因为，， 所以平面的一个法向量为，故A正确；， 所以，故B错误； 因为， 所以点在平面内，故C错误； ，所以与平行的一个单位向量为或，故D正确.故选：AD. 6．如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是__________.（填序号） 【答案】①②③ 【解析】不妨设正方体的棱长为，则按照图中坐标系可知， 于是，,故① ，② 正确； 因平面，而， 故 可作为平面的法向量，即③正确； 在正方体中，因平面,平面， 则，易得，又，故平面， 而，即可作为平面的法向量，故④错误. 故答案为：①②③. 7．已知在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】依题意，，设平面的法向量为， 则，令，得，依题意，，则， 则，当且仅当时取等号， 由，解得， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 8．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为的正三角形，底面是菱形，，是的中点，是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量. 【答案】（答案不唯一）. 【解析】连接，因为是边长为的正三角形，，为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面. 连接，因为，，所以是等边三角形，又为的中点，所以.综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示： 由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 【能力拓展】 9．已知正方体的棱长为，点是上底面正方形的中心，点是正方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，则， 设（），则， 因为是平面的一个法向量， 所以， 即， 对于A，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以A错误， 对于B，若在上，则，符合题意，所以在上，所以B正确， 对于C，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以C错误， 对于D，若在上，则，不符合题意，所以不在上，所以D错误， 故选：B 10．已知点在水平面内，从出发的三条两两垂直的线段位于的同侧，若到的距离分别为，则的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由两两垂直，取空间的一个基底， 设是平面的一个单位法向量，依题意，可使与的夹角都是锐角， 则存在唯一的有序实数组，使得， 显然在方向上的投影向量的长度分别为， 于是，即，则，即， 同理，因此， 而，所以， 因此， 所以． 故选：A 11．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)设平面与棱交于点，求的值. 【答案】见解析 【解析】(1)平面，平面，， 又，且，平面. 平面. (2)在线段上取点，使， 连接，则，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 设. ，. 设平面的法向量为， ，， ，令，则. ，即，解得， 即. 【素养提升】 12．在长方体中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为__________. 【答案】 【解析】 如图，连接，，且以为原点建立空间直角坐标系， 故，，，， 设，且已知，， 故，， 即是的中点，是的三等分点， ，，，， ，的轨迹方程为平面， 故轨迹长度即为该平面与长方体六个平面的交线长度之和， 联立方程组，得， 当时，，令，则， 故此时在面内轨迹长度为， 联立方程组，得到， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，可得， 当时，当时， 故此时轨迹长度为， 联立方程组，可得， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，可得， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，， 可得， 当时，当时， 故此时轨迹长度为， 综上，轨迹长度为. 故答案为：. 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1 课时1空间中直线、平面的向量表示 【基础巩固】 1．已知向量都是直线的方向向量，则的值是（ ） A．或 B． C． D． 2．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（ ） A． B． C． D． 4．已知为平行四边形外的一点，且，则下列结论正确的是（ ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的余弦值为 D．平面的一个法向量为 5．（多选）已知空间向量，，则（ ） A．平面的一个法向量为 B． C．若向量，则点不在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 6．如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是__________.（填序号） 7．已知在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则的最小值为__________． 8．如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为的正三角形，底面是菱形，，是的中点，是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量. 【能力拓展】 9．已知正方体的棱长为，点是上底面正方形的中心，点是正方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（ ） A． B． C． D． 10．已知点在水平面内，从出发的三条两两垂直的线段位于的同侧，若到的距离分别为，则的值为（ ） A．1 B． C． D．2 11．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)设平面与棱交于点，求的值. 【素养提升】 12．在长方体中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为__________. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$