第13章 三角形 单元测试卷-【金榜设计】2025-2026学年新教材八年级上册数学单元与月考综合测试卷（人教版2024）

绝密★启用前 金榜设计一单元与月考综合测评卷 人教版 八年级上册《第十三章三角形》单元测试卷 (时间：100分钟满分：120分) 注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，26小题，满分120分，考试时间100分钟。 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。答在试卷 上的答案无效。（备注：本试卷备有答题卡，供学生选用） 一。选择题（共12小题，每小题3分，共36分.） 1.下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是 ( A.2,3,4B.5,7,7 C.5,6,12 D.6,8,10 2.等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm,则这个三角形的周长为 A.13cm B.17cm C.22cm D.17cm或22cm 3.等腰三角形两边的长分别为3cm和5cm,则这个三角形的周长是 A.11cm B.13cm C.11cm或13cm D.不确定 4.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（) A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 5.如图，AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4Cm2,则△ABM的面积为() 第1页（共26页） A.8cm2 B.4cm2 C.2cm2 D.以上答案都不对 6.如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°， 那么∠3是 () E 3 A.59 B.60° C.56 D.22° 7.如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB=6,CD=3,则△ABD与△ACD的 周长之差为 () D A.2 B.3 C.4 D.6 8.如图，直线l∥m∥n,等边△ABC的顶点B,C分别在直线n和m上，边BC与直线n所 夹的角为∠1=29°，则∠2的度数为 () m n B 1 A.29° B.41° C.31 D.30° 9.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③AB:BC:AC=3:4: 5;④∠A=∠B=∠C,能确定△ABC是直角三角形的条件有 () 第2页（共26页） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高.那么图中与∠A相等的角是() D A.∠B B.∠ACD C.∠BCD D.∠BDC 11.定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰 三角形的周长为16cm,一边长为6cm,则它的“优美比”k为 () A.月 B. C.或 D.或 12.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,∠ACB的外角平分线所在的直 线与∠ABC的平分线相交于点D,与∠ABC的外角平分线相交于点E,则下列结论正确的 有 () ①LB0C=90°+2∠A: ②LD=2LA: ③∠E+∠BOC=180°： ④∠E+∠DCF=90°+∠ABD 0 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二。填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 13.等腰三角形的底角为72°，顶角的度数为 14.如图，△ABC中，若沿图中虚线剪去∠B后，∠1+∠2=280°，则∠B= 第3页（共26页） 2 B 15.如图，共有 个三角形. B CD E 16.已知a,b,c是三角形的三条边，则化简a-b+c-lc-a-bl= 17.在△ABC中，∠C=20°，AD为BC边上的高，且∠DAB=30°，则∠BAC的度数 为. 18.如图，已知∠MON=30°，点A1,A2,A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线 OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=2,则△A4B4A5的 边长是一· B3M B2 B 0A1A2 A3 三.解答题（共8小题，共66分） 19.(6分)已知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，求它的各个内角的度数. 第4页（共26页） 20.(6分)如图，在△ABC中，∠B=40°，AE是∠BAC的平分线，∠ACD=120°，求∠ AEC的度数. E C D 21.(8分)已知a,b,c分别为△ABC的三边，且满足a+b=3c-2,a-b=2c-6. (1)求c的取值范围； 第5页（共26页） (2)若△ABC的周长为12，求c的值. 22.(8分)在△ABC中，AB=AC,DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为9cm与 15cm两部分，求三角形各边长. 第6页（共26页） 23.(9分)如图，AD是△ABC的高，点E、F在AC、AB上，DE∥AB,∠BAC=90°，∠C =50°. (1)求∠CDE的度数： (2)若∠BDF=∠BAD,求证：DF∥AC. E B 第7页（共26页） 24.(9分)如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC. (1)若∠C=70°，∠B=30°，求∠DAE的度数； (2)若∠C-∠B=30°，求∠DAE的度数. E D C 第8页（共26页） 25.(10分)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,∠ACD与 ∠B有什么关系？为什么？ (2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AC,AB上，且∠ADE=∠B, 判断△ADE的形状是什么？为什么？ 第9页（共26页） (3)如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，AB⊥BD,点C,B, E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？ D B 图① 图② 图③ 第10页（共26页）金榜设计一单元与月考综合测评卷 详解答案 1、【分析】根据三角形三边关系定理判断即可. 【解答】解：.5+6<12， .三角形三边长为5,6,12不可能成为一个三角形， 故选：C 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大 于第三边是解题的关键. 2、【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为4cm,底边长为9cm时：当等腰三角形的 腰长为9cm,底边长为4cm时；然后分别进行计算即可解答. 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为4cm,底边长为9cm时， .4+4=8<9, .不能组成三角形： 当等腰三角形的腰长为9cm,底边长为4cm时， .这个三角形的周长=9+9+4=22(cm); 综上所述：这个三角形的周长为22cm, 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关 键。 3、【分析】分3cm是腰长与底边两种情况讨论求解， 【解答】解：①3cm是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、5cm, 能组成三角形，周长=3+3+5=11cm, ②3cm是底边长时，三角形的三边分别为3cm、5cm、5cm, 能组成三角形，周长=3+5+5=13cm, 综上所述，这个等腰三角形的周长是11cm或13cm. 故选：C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判 断是否能组成三角形. 第12页（共26页） 4、【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题， 【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户. 故选：A. 【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键， 5、【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形解答即可. 【解答】解：，'AM是△ABC的中线，△ABC的面积是18cm2, .△ABM的面积=3×4=2cm2. 故选：C. 【点评】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等得到三角形的中线 把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键， 6、【分析】根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠ CAB,再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可 得解。 【解答】解：.BE为△ABC的高， .∴.∠AEB=90 .∠C=70°，∠ABC=48°， ∴.∠CAB=62°， .AF是角平分线， .∠1=号∠CAB=31°， 在△AEF中，∠EFA=180°-31°-90°=59°. ∴.∠3=∠EFA=59°， 故选：A. 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定 理并准确识图是解题的关键， 7、【分析】根据三角形的中线，周长的计算得到BC=2CD=6,AC=4,根据△ABD的周 长为AB+BD+AD,△ACD的周长为AC+CD+AD,得到△ABD与△ACD的周长之差为AB -AC,由此即可求解. 【解答】解：△ABC的周长为16， ∴.AB+AC+BC=16, 第13页（共26页） ,AD是BC边上的中线， ∴.BD=CD=3,则BC=6, ∴.AC=16-AB-BC=16-6-6=4, .'△ABD的周长为AB+BD+AD,△ACD的周长为AC+CD+AD, ..AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=AB-AC=6-4=2, 故选：A. 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形中线的定义是关键， 8、【分析】根据等边三角形性质得∠ACB=60°，再根据平行线性质得∠DCB=∠1=29°， ∠2=∠ACD,进而根据∠ACD=∠ACB-∠DCB即可得出答案. 【解答】解：如图所示： m n D B 21 ,△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=60°， .直线l∥m∥n,∠1=29°， ∴.∠DCB=∠1=29°，∠2=∠ACD, ∴.∠ACD=∠ACB-∠DCB=60°-29°=31°， ∴.∠2=∠ACD=31°. 故选：C. 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质， 平行线的性质是解决问题的关键， 9、【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，b,c满 足α2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可. 【解答】解：①.'∠A+∠B=∠C, ∴.∠A+∠B+∠C=2∠C=180°， .∠C=90°， .△ABC是直角三角形： 第14页（共26页） ②∠A:∠B:∠C=1:2:3, 设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x, ∴.x+2x+3x=180, 解得：x=30°， ∴.∠C=30°×3=90°， .△ABC是直角三角形： ③.AB:BC:AC=3:4:5, 设AB=3k,则BC=4k,AC=5k, .'.AB2+BC2=AC2, ∴.△ABC是直角三角形； ④.∠A=∠B=∠C, ∴.∠A+∠B+∠C=3∠A=180, 解得：∠A=60°， .∴.∠B=∠C=60°， ∴.△ABC不是直角三角形； ∴.能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③共3个， 故选：C. 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的 逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平方 的和等于最大边的平方才能做出判断： 10、【分析】根据直角三角形中两锐角的关系解答即可. 【解答】解：.'在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B, 又.在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠B, .∠A=∠BCD 故选：C. 【点评】主要考查了三角形的内角和是180度.求角的度数常常要用到“三角形的内角和 是180°这一隐含的条件.本题还用到了同角的余角相等. 11、【分析】分两种情况：等腰三角形的腰长和底边长都有可能是6cm,由等腰三角形的“优 美比”的定义，即可求解 【解答】解：当等腰三角形的腰长是6cm时， 第15页（共26页） ∴.等腰三角形底边长是16-2×6=4(cm), 6+4>6,满足三角形三边关系， “此时等腰三角形的“优美比”k=急二手 当等腰三角形的底边长是6cm时， .等腰三角形腰长是，×(16-6)=5(cm), 5+5>6,满足三角形三边关系， ·此时等腰三角形的“优美比”= :等腰三角形的“优美比”k=或号 故选：C 【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论， 12、【分析】先根据角平分线定义求出把∠1+∠2，并用∠A表示出来，然后根据三角形内 角和定理求出∠BOC,判断①的正误即可； 先根据外角角平分线的定义和邻补角的定义，把∠3用∠ACB表示出来，再根据三角形外 角的性质，把∠D用∠1和∠3表示出来，最后根据三角形的内角和把∠D用∠A表示出来， 然后判断②的正误即可； 根据角平分线定义、邻补角定义和对顶角的性质，分别把∠5和∠6用∠ABC和∠ACB表 示出来，然后利用三角形内角和求出∠E,再根据①中所求∠BOC,求出∠E+∠BOC,判 断③的正误即可； 根据角平分线的定义求出∠ABD,∠DCF,然后求出∠DCF-∠ABD,90°-∠E,最后根 据计算结果进行判断即可. 【解答】解：如图所示： ,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O, L1=ABC,∠2=ACB, .∠1+∠2 -ABC+ACB =(ABC+ACB) =2(180°-LA) 第16页（共26页） =90°-3A, .∠1+∠2+∠B0C=180°， ∴.∠B0C=180°-（∠1+∠2） =180°-(90°-号∠A) =1800-90°+54A =90°+2A, 故①的结论正确； .∠ACB的外角平分线所在的直线与∠ABC的平分线相交于点D, ∴L3=3LACP=2(180°-LACB)=90°-3∠ACB, .'∠3=∠1+∠D, .∠D=∠3-∠1 =90°-3LACB-∠ABC =90°-2(LACB+LABC) =90°-3(180°-∠A) =A, 故②的结论正确： ,BE是∠MBF的角平分线， ∴.L5=∠MBF=3(180°-∠ABC)=90°-2ABC, 由②可知：∠3=90°-二∠ACB, 46=23=90-吉ACB, ∴.∠5+∠6 =90°-3∠ABC+90-3ACB =180°-2(LABC+LACB) =180°-3(180°-∠A) 第17页（共26页） =90+3A, .∠5+∠6+∠E=180°， ∴.∠E=180°-（∠5+∠6） =180°-(90°+3∠4A) =90-54A, 由①可知∠B0C=LB0C=90°+2LA, ∴.∠E+∠BOC =90°-A+90°+4A =180°， 故③的结论正确： ,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O, .∠ABD=∠1=2LABC, 由②可知：∠DCF=∠3=90-ACB, ∴.∠DCF-∠ABD =90°-3LACB-ABC =90°-(LACB+LABC) =90°-2(180°-LA) =90°-90°+3A =3A, 由③得：∠E=90°-A, ∴.90°-∠E =90°-(90°-2A) =34A, ∴.∠DCF-∠ABD=90°-∠E,即∠E+∠DCF=90°+∠ABD, 故④的结论也正确， 第18页（共26页） 综上可知：结论正确的有4个， 故选：D 0 B 51 3 6\C M 【点评】本题主要考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的定 义，正确识别图形，理解角与角之间的数量关系 13、【分析】已知给出了一个底角为72°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为 180°即可解答本题， 【解答】解：因为其底角为72°，所以其顶角为：180°-72°×2=180°-144°=36°. 故答案为：36°. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，关键是三角形内角和定理的 熟练掌握 14、【分析】由平角定义得∠1+∠BMN+∠2+∠BNM=360°，再求出∠BMN+∠BNM=80°， 然后由三角形内角和定理即可得出结论， 【解答】解：如图..∠1+∠BMN=180°，∠2+∠BNM=180°， ∴.∠1+∠BMN+∠2+∠BNM=360°， .∠1+∠2=280°， .∠BMN+∠BWM=360°-280°=80°， .∠B=180°-（∠BMN+∠BNM)=180°-80°=100°， 故答案为：100°. A 3 N 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及平角的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解 题的关键， 第19页（共26页） 15、【分析】按照从左到右的顺序，分单个的三角形和复合的三角形找出所有的三角形，然 后再计算个数. 【解答】解：三角形有：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF,△ABD、△ACE、△ADF,△ ABE、△ACF,△ABF共十个. 【点评】本题难点在于找出复合三角形的个数，按照一定的顺序找即可做到不重不漏 16、【分析】直接利用三角形三边关系得出a-b+c>0,c-a-b<0,进而利用绝对值的性 质化简得出答案。 【解答】解：.a,b,c是三角形的三条边， .a-b+c>0,c-a-b<0, 故原式=a-b+c+c-a-b =2c-2b 故答案为：2c-2b. 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，正确得出三边关系是解题关键， I7、【分析】分两种情况讨论：当高在△ABC的内部时，根据∠BAC=∠CAD+∠DAB计算 即可；当高在△ABC的外部时，根据∠BAC=∠CAD-∠DAB计算即可. 【解答】解：①当高在△ABC的内部时，如图 B ,AD为BC边上的高， ∴.∠ADB=90°， ,∠C=20°， .∠CAD=90°-20°=70°， .∠DAB=30°， ∴.∠BAC=∠CAD+∠DAB=70°+30°=100°； ②当高在△ABC的外部时，如图 A 第20页（共26页） .AD为BC边上的高， .∠ADB=90°， .∠C=20°， .∠CAD=90°-20°=70°， .∠DAB=30°， .∠BAC=∠CAD-∠DAB=70°-30°=40°； 故∠BAC的度数为100°或40°， 故答案为：100°或40°. 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角的计算，熟练掌握三角形内角和定理是解题的 关键。 18、【分析】首先根据等边三角形的性质得∠B1A1A2=60°，进而得∠MON=∠OB1A1=30°， 再根据等腰三角形的性质得OA1=A1B1=AA2=2,故得△A1B1A2的边长为2，同理得△ A2B2A3的边长为4，△A3B3A4的边长为8，以此规律可得△A4B4A5的边长. 【解答】解：，△A1B1A2为等边三角形， .∠B1A1A2=60°， .∠OA1B1=180°-∠B1A1A2=120°， 又∠MON=30°， ∴.∠OB1A1=180°-∠OA1B1-∠MON=180°-120°-30°=30°， ∴.∠MON=∠OB1A1=30°， .OA1=A1B1=A1A2=2, .△AB1A2的边长为2， 同理：△A2B2A3的边长为4，△A3B3A4的边长为8，△A4B4A5的边长为16. 故答案为：16. 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三 角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键。 19、【分析】设等腰三角形的底角是x,由三角形内角和定理得到3x+2x=180°，求出x= 36°，即可得到等腰三角形的各内角度数、 【解答】解：设等腰三角形的底角是x, 由题意得到：3x+2x=180°， .x=36°， 第21页（共26页）