精品解析：江西省赣州市南康区八中片区2020-2021学年九年级上学期 期中联考数学试题

八中片区2020~2021学年度第一学期期中测试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本卷共六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息．3．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（ ） A B. C. D. 4. 若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣2 5. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（　　） A. （3，） B. （3，-） C. （，） D. （，-） 6. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 关于x的方程无实数根 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 二次函数的最大值是__________． 8. 在平面直角坐标系中，点M(a+1,2),N(-3,b-1)关于原点对称，则ab=_____. 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 10. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____． 11. 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸． 12. 如图，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的坐标为____________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程 （1） （2） 14. 如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形． 15. 2020年疫情期间，某地教育局出台《中小学线上教学工作实施方案》，推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学．据统计，第一批次公益课受益的学生为4万人，第三批次公益课受益的学生为万人，每个批次受益学生人数的平均增长率相同． （1）求每个批次的平均增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批次公益课受益的学生将达到多少万人？ 16. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是AC弧的中点，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，画出△ABC中AC边上的中线； （2）在图2中，画出△ABC中AB边上中线． 17. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）． （1）求A，C两点坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围． （2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． （1）求证： （2）试判断四边形的形状，并说明理由 19. 关于x的一元二次方程有实数根 （1）求m的取值范围 （2）若两根为、且，求m的值 20. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE=AB； （2）若AB=10，BC=6，求CD的长． 五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 赣县田村素称“灯彩之乡”，田村花灯源于唐代，盛于宋朝，迄今已有1300多年历史了，某公司生产了一种田村花灯，每件田村花灯制造成本为20元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）、每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示： 销售单价x（元） 30 31 32 40 销售量y（件） 40 38 36 20 （1）根据表中数据的规律、分别写出每日销售量y（件）、每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）． （2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 【操作发现】 （1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD度数是______． 【类比探究】 （2）如图2，在等腰直角三角形ABC内取一点P，使∠APB=135°，将△ABP绕顶点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'．请猜想BP与CP'有怎样的位置关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在等腰直角三角形ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC．求证：PC+PA＞PB． 六、（本大题12分） 23. 在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y=ax2+bx（a≠0）的特征点坐标． （1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它的特征点坐标； （2）若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示： ①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为 ； ②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式； ③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八中片区2020~2021学年度第一学期期中测试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本卷共六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息．3．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 3. 如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角的性质及圆心角与弧的关系，熟练掌握圆周角的性质及圆心角与弧的关系是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 4. 若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解. 【详解】根据题意得，， 所以． 故选A． 【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质. 5. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（　　） A. （3，） B. （3，-） C. （，） D. （，-） 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB的度数，又由将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA的度数，然后在Rt△B′OF中，利用三角函数即可求得OF与B′F的长，则可得点B′的坐标． 解：过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F， ∴∠BE0=∠B′FO=90°， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA∥BC，∠AOB=∠AOC， ∴∠AOC+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠AOC=60°， ∴∠AOB=30°， ∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′=75°，OB′=OB=， ∴∠B′OF=45°， Rt△B′OF中， OF=OB′•cos45°=×=， ∴B′F=， ∴点B′的坐标为：（，-）． 故答案为D． 【详解】详解片段 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质与三角函数的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 6. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 关于x的方程无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；时，，可对C进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A正确，该选项不符合题意； ∵有图可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 故选项B正确，该选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，， 即， ∵， ∴， 故选项C错误，该选项符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根， 故选项D正确，该选项不符合题意；． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 二次函数的最大值是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】二次函数的顶点式在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在时有最大值. 【详解】解：∵， ∴有最大值， 当时，有最大值8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键. 8. 在平面直角坐标系中，点M(a+1,2),N(-3,b-1)关于原点对称，则ab=_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据两点关于原点的对称，横纵坐标都互为相反数，求得a、b的值，再代入计算即可. 【详解】根据两点关于原点的对称，横纵坐标都互为相反数， ∵已点M(a+1，2)，N(-3，b-1)关于原点对称， ∴a+1=3，b-1=-2， ∴a=2，b=-1， ∴a b =． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征，熟知两点关于原点的对称，横纵坐标都互为相反数是解题的关键. 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解不等式，同时还应注意二次项系数不能为． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 10. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°，BC=AD=3， ∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG， ∴EF=BC=3，AE=AB， ∵DE=EF， ∴AD=DE=3， ∴AE==3， ∴AB=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键． 11. 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸． 【答案】26． 【解析】 【分析】设的半径为，在中，，则有，解方程即可. 【详解】设的半径为． 在中，， 则有， 解得， ∴的直径为26寸， 故答案为26． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型. 12. 如图，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切时，圆心P的坐标为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握切线的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键；当与x轴相切时，则可知点到x轴的距离为2，然后可把或2代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：当与x轴相切时，则可知点到x轴的距离为2，所以点P的纵坐标的绝对值为2， ∴当时，则有，解得：，此时点P的坐标为； 当时，则有，解得：，此时点P的坐标为或； 综上所述：当与x轴相切时，圆心P的坐标为或或； 故答案为或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据公式法可求解方程； （2）根据因式分解法可求解方程． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ∴或， ∴． 14. 如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定及圆周角定理，根据圆周角定理可得，，进而可求证结论，熟练掌握圆周角定理及等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：， ，， 是等边三角形． 15. 2020年疫情期间，某地教育局出台《中小学线上教学工作实施方案》，推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学．据统计，第一批次公益课受益的学生为4万人，第三批次公益课受益的学生为万人，每个批次受益学生人数的平均增长率相同． （1）求每个批次的平均增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批次公益课受益的学生将达到多少万人？ 【答案】（1）10% （2）5.324万 【解析】 【分析】（1）设每批次的增长率为，根据一批次公益课受益的学生为4万人，第三批次公益课受益的学生为万人，列出方程，解出方程，即可； （2）根据题（1）求出的增长率，根据，即可求出第四批的人数． 【小问1详解】 解：设每批次的增长率为 ∴第二批次的人数为： ∴第三批次的人数为： ∴ 解得：，（舍去） ∴ ∴增长率为． 【小问2详解】 ∵增长率为 ∴第四批的人数：万人 故第四批次公益课受益的学生将达到万人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，列出方程，解一元二次方程． 16. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是AC弧的中点，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，画出△ABC中AC边上的中线； （2）在图2中，画出△ABC中AB边上中线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中线的画法解答即可； （2）由（1）作出AC边的中线BE，过AO的直线交BC于M，设AM与BE交于点G，过CG的直线交AB于点F，则CF就是AB边上的中线． 【详解】（1）如图1所示，BE即为所求； （2）如图2所示，CF即为所求． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，需仔细分析题意，结合图形，利用中线的画法即可解决问题． 17. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）． （1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围． （2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】（1）A（2，1），C（3，0），当y＞0时，1＜x＜3；（2）y＝﹣（x﹣4）2+5 【解析】 【分析】（1）把点B坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点C的坐标，二次函数的图象在x轴上方的部分对应的x的范围即为当y＞0时x的取值范围； （2）先由点D和点A的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴A（2，1）， ∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称， ∴C（3，0）， ∴当y＞0时，1＜x＜3； （2）∵D（0，﹣3），A（2，1）， ∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位， ∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的平移规律和抛物线与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，是由在平面内绕点B旋转而得，且，，连接． （1）求证： （2）试判断四边形的形状，并说明理由 【答案】（1）见详解 （2）四边形是菱形，理由见详解 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知，，则有，，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵是由在平面内绕点B旋转而得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 19. 关于x的一元二次方程有实数根 （1）求m的取值范围 （2）若两根为、且，求m的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程的两个根为、， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴． 20. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE=AB； （2）若AB=10，BC=6，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB． (2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可． 【详解】 （1）证明：连接OC ∵CD与⊙O相切于C点 ∴OC⊥CD 又∵CD⊥AE ∴OC//AE ∴∠OCB＝∠E ∵OC=OB ∴∠ABE＝∠OCB ∴∠ABE＝∠E ∴AE=AB （2）连接AC ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB＝90° ∴ ∵AB=AE，AC⊥BE ∴EC=BC=6 ∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA ∴△EDC∽△ECA ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解． 五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 赣县田村素称“灯彩之乡”，田村花灯源于唐代，盛于宋朝，迄今已有1300多年历史了，某公司生产了一种田村花灯，每件田村花灯制造成本为20元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）、每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示： 销售单价x（元） 30 31 32 40 销售量y（件） 40 38 36 20 （1）根据表中数据的规律、分别写出每日销售量y（件）、每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）． （2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润多少？ 【答案】（1）每日销售量y（件关于销售单价x（元）之间的函数表达式为y＝﹣2x+100； 每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式为w＝﹣2x2+140x﹣2000； （2）当销售单价为35元时，每日能获得最大利润450元． 【解析】 【分析】（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx＋b，将表中的两组数据代入，求得k和b，则每日销售量y（件关于销售单价x（元）之间的函数表达式可得；根据每件的利润乘以销售量等于利润，可得利润函数； （2）将（1）中的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b 则 解得： ∴每日销售量y（件关于销售单价x（元）之间的函数表达式为y＝﹣2x+100； ∴w＝（x﹣20）• y ＝（x﹣20）（﹣2x+100） ＝﹣2x2+140x﹣2000 ∴每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式为w＝﹣2x2+140x﹣2000； （2）∵w＝﹣2x2+140x﹣2000 ＝﹣2（x﹣35）2+450 ∴当销售单价为35元时，每日能获得最大利润450元． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，明确销售问题的基本数量关系及函数的相关性质，是解题的关键． 22. 【操作发现】 （1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数是______． 【类比探究】 （2）如图2，在等腰直角三角形ABC内取一点P，使∠APB=135°，将△ABP绕顶点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'．请猜想BP与CP'有怎样的位置关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在等腰直角三角形ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC．求证：PC+PA＞PB． 【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3) 见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意可知AB=AD, ∠BAD=90°,所以可求∠ABD的度数; （2）根据旋转得出△ACP′≌△ABP，根据全等得出∠AP′C=∠APB=1350，由(1)可知∠AP’P=450，求出∠BP’C=900即可． (3) 将绕顶点逆时针旋转得到.在中，，即可证得. 【详解】(1) 由题意可知AB=AD, ∠BAD=90°, ∴∠ABD =． (2)． 理由：∵绕顶点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴． ∴， ∴， ∴点、、在同一直线上． ∵，， ∴， ∴． (3)如图，将绕顶点逆时针旋转得到， ∴， ∴，， 连接，∵， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，证明过程类似. 六、（本大题12分） 23. 在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线L：y=ax2+bx（a≠0）的特征点坐标． （1）已知抛物线L经过点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0），求出它的特征点坐标； （2）若抛物线L1：y=ax2+bx的位置如图所示： ①抛物线L1：y=ax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为 ； ②若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式； ③在②的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当一点C、M、N为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求a的值． 【答案】（1）（，2）；（2）①y=﹣ax2+bx．②b=2a2．③ 或． 【解析】 【分析】（1）结合点A、B点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线L的函数解析式，再结合特征点的定义，即可得出结论； （2）①由抛物线L1：y=ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称，可将y换成﹣y，将x换成﹣x，整理后即可得出结论；②根据抛物线L2的解析式可找出它的对称轴为：x=，由抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上可得出a=，变形后即可得出结论；③结合②的结论，表示出点C、M、N三点的坐标，由两点间的距离公式可得出MN、MC、NC的长度，结合等腰三角形的性质分三种情况考虑，分别根据线段相等得出关于a的一元四次方程，解方程再结合a的范围即可得出a的值． 【详解】（1）将点A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，0）代入到抛物线解析式中，得 ， 解得： ． ∴抛物线L的解析式为， ∴它的特征点为（，2）． （2）①∵抛物线L1：y=ax2+bx与抛物线L2关于原点O对称， ∴抛物线L2解析式为﹣y=a（﹣x）2+b（﹣x）， 即y=﹣ax2+bx．故答案为y=﹣ax2+bx． ②∵抛物线L2的对称轴为直线：x= ． ∴当抛物线L1的特征点C（a，b）在抛物线L2的对称轴上时，有a=， ∴a与b的关系式为b=2a2． ③∵抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N， ∴在抛物线L1：y=ax2+bx中， 令y=0，即ax2+bx=0， 解得：x1=，x2=0（舍去）， 即点M（，0）； 在抛物线L2：y=﹣ax2+bx中， 令y=0，即﹣ax2+bx=0，解得：x1=，x2=0（舍去）， 即点N（，0）． ∵b=2a2， ∴点M（﹣2a，0），点N（2a，0），点C（a，2a2）． ∴MN=2a﹣（﹣2a）=4a，MC= ，NC=． 因此以点C、M、N为顶点的三角形是等腰三角形时， 有以下三种可能： （1）MC=MN，此时有：=4a， 即9a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a=， ∵a＜0， ∴a=； （2）NC=MN，此时有：=4a， 即a2+4a4=16a2，解得：a=0，或a=， ∵a＜0， ∴a=； （3）MC=NC，此时有：=， 即9a2=a2，解得：a=0， 又∵a＜0， ∴此情况不存在． 综上所述：当以点C、M、N为顶点三角形是等腰三角形时，a的值为或． 【点睛】考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；3.等腰三角形的性质；4.解一元高次方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $