第三章圆锥曲线的方程6大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程6大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 6大考点汇总 考点一：椭圆及其标准方程 考点二：双曲线及其标准方程 考点三：抛物线及其标准方程 考点四：椭圆的简单几何性质 考点五：双曲线的简单几何性质 考点六：抛物线的简单几何性质 跟踪训练 考点一：椭圆及其标准方程 1．（2024秋•邢台期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•石家庄期末）若椭圆的两焦点为（﹣2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•衡水校级期末）与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•分宜县期末）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 考点二：双曲线及其标准方程 5．（2024秋•济宁期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，，则双曲线C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•南阳期末）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分∠F1BC，F1到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•大通县期末）一条渐近线方程为2x+3y＝0，且经过点的双曲线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•三门峡期末）已知两点M（﹣4，0），N（4，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|＝6，同时存在点Q，使|QN|﹣|QM|＝6，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（　　） A． B．x＝4 C． D．y＝2x 考点三：抛物线及其标准方程 9．（2024秋•七里河区校级期末）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是　 　 ． 10．（2024秋•昌吉州期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，过点作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，|BF|＝3，则抛物线C的准线方程为 　 　 ． 11．（2024春•台江区校级期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为 　 　 ． 12．（2024秋•虹口区校级期中）如图，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N．若四边形CMNF的面积等于28，则E的方程为 　 　 ． 考点四：椭圆的简单几何性质 13．（2025•丰台区开学）已知椭圆． （1）求E的离心率和短轴长； （2）设O为原点，直线l：y＝m，动点P在椭圆E上，过点O作OP的垂线交直线l于点Q，点O到直线PQ的距离为1，求m的值． 14．（2025春•醴陵市校级期中）设椭圆经过点，其离心率． （1）求椭圆M的方程； （2）直线与椭圆M交于A、B两点，求△PAB的面积S△PAB． 15．（2024秋•诸暨市期末）已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），为椭圆上一点． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l（不经过B点）交C于P，Q两点，且直线BP和直线BQ的斜率之和为0． ①证明：直线l的斜率为定值，并求出这个定值； ②若，求△PBQ的面积． 16．（2025•丰城市校级开学）已知椭圆过点，短轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点H（m，0），若椭圆C上的点到H的距离的最小值是，求正实数m的值； （3）椭圆C与y轴的交点为A、B（点A位于点B的上方），直线l：y＝kx+4与椭圆C交于不同的两点M、N．设直线AN与直线BM相交于点G，求|GA|+|GP|的最小值． 考点五：双曲线的简单几何性质 17．（2025秋•江西月考）已知双曲线的左焦点为F（﹣2，0），离心率为2． （1）求C的方程； （2）过点F的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点P，且P是BF的中点，求|AB|． 18．（2025秋•长沙月考）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l过双曲线C的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于M，N两点，证明：直线l与圆O：x2+y2＝a2相切的充要条件是|MN|＝3． 19．（2025秋•江西月考）已知双曲线C：的右焦点为F，右顶点为A，O为坐标原点，且|OA|＝|AF|＝1． （1）求C的方程； （2）过点F的直线l与C的右支交于M，N两点，记C的左顶点为B，证明：BM⊥BN． 20．（2025春•上城区校级期末）已知双曲线C：的右焦点为F（，0），且C的一条渐近线经过点D（，1）． （1）求C的标准方程； （2）是否存在过点P（2，1）的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 考点六：抛物线的简单几何性质 21．（2025•雁塔区校级开学）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点P（﹣2，2）的直线l与抛物线交于A，B两点． （1）求抛物线C的方程； （2）当点P为弦AB的中点时，求直线AB的方程； （3）求|AF|•|BF|的最小值． 22．（2025•衡水校级开学）已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（x0，2）为抛物线E上一点，且|PF|＝2． （1）求抛物线E的方程； （2）设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点． （i）证明：直线AB过定点； （ii）若直线AB的斜率大于0，且△OAB的面积为，求直线AB的方程． 23．（2024秋•浉河区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，y0）（y0＞0）在抛物线C上，且|PF|＝5． （1）求抛物线C的方程； （2）过点Q（1，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 24．（2024秋•秦州区校级期末）已知O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为1． （1）求抛物线C的标准方程； （2）M，N为抛物线C上的两点，若直线MN与y轴垂直，且△OMN为等腰直角三角形，求△OMN的面积． 第三章圆锥曲线的方程6大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 参考答案与试题解析 1．（2024秋•邢台期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得b，a＞b＞0， 又离心率e， 解得a＝2， 所以椭圆C的方程为． 故选：A． 2．（2024秋•石家庄期末）若椭圆的两焦点为（﹣2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，c＝2，焦点在 x 轴上，∴a2＝b2+4，故可设椭圆的方程为 1， 把点代入椭圆的方程可求得 b2＝6，故椭圆的方程为 1， 故选：D． 3．（2024秋•衡水校级期末）与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点在x轴上，设其方程为， 可得a2﹣b2＝5． 又所求椭圆的长轴长为，即，得a＝2， ∴a2＝20，则b2＝20﹣5＝15， ∴所求椭圆的方程是． 故选：C． 4．（2025春•分宜县期末）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【解答】解：设椭圆方程为Ax2+By2＝1，A＞0．B＞0且A≠B， （4，0），（0，2）代入可得16A＝1，4B＝1， ∴A，B， ∴椭圆的标准方程是1． 故选：D． 5．（2024秋•济宁期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，，则双曲线C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知双曲线， 则，，其渐近线方程为， 又过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，且，， 不妨设， 因为， 所以F2B⊥F1B， 可得， 即， 所以x0＝a，， 又因为， 所以A点是F1B的中点， 可得， 又A点在上， 所以， 解得a2＝4， 则双曲线C的标准方程为． 故选：A． 6．（2024秋•南阳期末）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分∠F1BC，F1到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，平分∠F1BC，F1到渐近线的距离为， 易知△F1AF2∼△F1BC，|F1F2|＝2c，|CF2|＝4c， 设|AF1|＝t，则|BF1|＝3t，|AB|＝2t， 由BF2平分，则， 由双曲线定义知|AF2|﹣|AF1|＝t＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a， 所以|BF2|＝|AF2|＝|AB|＝4a，即∠ABF2＝60°， 在△F1BF2中，化简得， 由a2+b2＝c2得，F1到渐近线的距离为，则， 所以，故双曲线的方程为：． 故选：D． 7．（2023秋•大通县期末）一条渐近线方程为2x+3y＝0，且经过点的双曲线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：渐近线方程为2x+3y＝0， 则可设双曲线的方程为4x2﹣9y2＝λ， 双曲线过点， 则， 故所求双曲线的标准方程是：． 故选：A． 8．（2024秋•三门峡期末）已知两点M（﹣4，0），N（4，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|＝6，同时存在点Q，使|QN|﹣|QM|＝6，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（　　） A． B．x＝4 C． D．y＝2x 【解答】解：已知两点M（﹣4，0），N（4，0）， 得|MN|＝8＞6， 若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|＝6，同时存在点Q，使|QN|﹣|QM|＝6， 得点P的轨迹是以点M，N为焦点，实轴长为6的双曲线右支，方程为， 由|QN|﹣|QM|＝6，得点Q的轨迹是以点M，N为焦点，实轴长为6的双曲线左支，方程为， 直线PQ为“两全其美线”，当且仅当直线PQ与双曲线的两支相交， 对于A，双曲线的渐近线为，直线与双曲线无公共点，A不是； 对于B，直线x＝4与双曲线左支无公共点，B不是； 对于C，由，知直线过双曲线的中心， 且在两条渐近线所夹含焦点的区域，直线与双曲线两支相交，C是； 对于D，由，知直线y＝2x过双曲线的中心，且在两条渐近线所夹含虚轴的区域， 直线y＝2x与双曲线无公共点，D不是． 故选：C． 二．填空题（共4小题） 9．（2024秋•七里河区校级期末）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是　y2＝16x　 ． 【解答】解：依题意可知：点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1， 转化为点M与点F（4，0）的距离与它到直线l：x+4＝0的距离相等， 满足抛物线的定义，所以P＝8，点M的轨迹方程是y2＝16x 故答案为：y2＝16x 10．（2024秋•昌吉州期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，过点作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，|BF|＝3，则抛物线C的准线方程为 　x＝﹣2　 ． 【解答】解：由过点作直线交抛物线于A，B两点， 可设直线方程为， 联立，消去x可得y2﹣2pmy+p2＝0，Δ＝4p2m2﹣4p2＞0， 则，① 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由抛物线的焦半径公式可得， 即my1＝6，my2＝3， 代入①可得， 由两式相除解得p＝4， 所以抛物线C的准线方程为． 故答案为：x＝﹣2． 11．（2024春•台江区校级期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为 　y2＝8x　 ． 【解答】解：由题意可设抛物线方程为y2＝2px． 其准线方程为x，根据定义可得46，解得p＝4， 所以抛物线C的方程为y2＝8x． 故答案为：y2＝8x． 12．（2024秋•虹口区校级期中）如图，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N．若四边形CMNF的面积等于28，则E的方程为 　y2＝8x　 ． 【解答】解：已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F， 则， 又直线过F且斜率为1， 则直线AB的方程为， 由题意可得：四边形CMNF为梯形，且FC∥NM， 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 则， 所以y1+y2＝2p， 所以y0＝p． 作MK⊥x轴于点K， 则|MK|＝p， 因为直线AB的斜率为1， 所以△FMC为等腰直角三角形， 故|FK|＝|MK|＝|KC|＝p， 所以，|FC|＝2p， 所以四边形CMN的面积为， 解得p＝4， 即抛物线的方程为y2＝8x． 故答案为：y2＝8x． 三．解答题（共12小题） 13．（2025•丰台区开学）已知椭圆． （1）求E的离心率和短轴长； （2）设O为原点，直线l：y＝m，动点P在椭圆E上，过点O作OP的垂线交直线l于点Q，点O到直线PQ的距离为1，求m的值． 【解答】解：（1）因为椭圆， 所以，b＝1，， 则椭圆E的离心率，短轴长2b＝2； （2）设P（x0，y0），Q（t，m）， 因为点P在椭圆E上， 所以； 因为OP⊥OQ， 所以x0t+y0m＝0， 即， ，， ， 因为点O到直线PQ的距离为1， 所以PQ×1＝OP•OQ， 即， 整理得， 因为， 所以， 又， 所以m2＝2． 解得． 14．（2025春•醴陵市校级期中）设椭圆经过点，其离心率． （1）求椭圆M的方程； （2）直线与椭圆M交于A、B两点，求△PAB的面积S△PAB． 【解答】解：（1）由题意得， 解得a2＝4，b2＝2， 所以椭圆M的方程为． （2）由， 得， Δ＝8+4×4×3＝56＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， 所以． 因为点到AB的距离为， 所以． 15．（2024秋•诸暨市期末）已知椭圆1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），为椭圆上一点． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l（不经过B点）交C于P，Q两点，且直线BP和直线BQ的斜率之和为0． ①证明：直线l的斜率为定值，并求出这个定值； ②若，求△PBQ的面积． 【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c， 因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c＝1，因为为椭圆C上一点， 由椭圆定义得，， 所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝3， 所以椭圆C的方程为； （2）①证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立方程组， 得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0， Δ＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0， 则，，① 由题意知，kBP+kBQ＝0， 则有， 即， 化简得， 由①可得，， 化简得（2k﹣1）（2k﹣3+2m）＝0， 当2k﹣3+2m＝0时，， 直线l的方程为，此时直线过点，矛盾， 所以，所以直线l的斜率为定值； ②连接BF，因为F（1，0），，所以BF⊥x轴， 由直线BP和直线BQ的斜率之和为0，可得BF平分∠PBQ， 不妨设x1＜x2， 由已知，解得或舍）， 所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为，即， 所以点P，B关于原点对称， 所以点， 所以直线l的方程为，即， 由①得，所以x2＝2， 所以点Q（2，0），又， 所以， 所以△PBQ的面积为3． 16．（2025•丰城市校级开学）已知椭圆过点，短轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点H（m，0），若椭圆C上的点到H的距离的最小值是，求正实数m的值； （3）椭圆C与y轴的交点为A、B（点A位于点B的上方），直线l：y＝kx+4与椭圆C交于不同的两点M、N．设直线AN与直线BM相交于点G，求|GA|+|GP|的最小值． 【解答】解：（1）因为椭圆C过点，短轴长为4， 所以， 解得， 则椭圆C的方程为； （2）设椭圆上任一点为Q（x0，y0）， 此时， 则点Q到H的距离为， 因为m＞0， 所以当时，， 解得m＝1， 当时，， 解得， 综上所述，m＝1或； （3）设N（x1，y1）、M（x2，y2）（y1≠±2，y2≠±2）， 联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+16kx+24＝0， 此时Δ＞0， 解得， 由韦达定理得， 所以， 因为点N（x1，y1）在椭圆上， 所以， 所以， 即， 易知A（0，2）、B（0，﹣2）， 所以，直线AN的方程为， 直线BM的方程为， 两式作商得 ， 解得y＝1， 则G在定直线y＝1上， 由图可知，点A、P都在直线y＝1的上方，点A关于直线y＝1的对称点为原点O， 由对称性知|GA|＝|GO|， 所以， 当且仅当G为线段OP与直线y＝1的交点时，即点G的坐标为时等号成立． 故|GA|+|GP|的最小值为． 17．（2025秋•江西月考）已知双曲线的左焦点为F（﹣2，0），离心率为2． （1）求C的方程； （2）过点F的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点P，且P是BF的中点，求|AB|． 【解答】解：（1）由已知可得，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3， 所以C的方程为． （2）因为P是BF中点，所以点B的横坐标为2，所以B（2，±3）， 所以直线l的斜率，方程为l：y＝±（x+2）， 由，得39x2﹣36x﹣84＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， 所以|AB|． 18．（2025秋•长沙月考）已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l过双曲线C的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于M，N两点，证明：直线l与圆O：x2+y2＝a2相切的充要条件是|MN|＝3． 【解答】解：（1）该双曲线的渐近线为，即bx±ay＝0，设焦点为（±c，0）， 可得方程组解得 那么双曲线C为． （2）证明：根据双曲线的对称性，可设直线l为y＝k（x+2），且． 联立双曲线方程可得化简得（3﹣k2）x2﹣4k2x﹣4k2﹣3＝0， 那么根据韦达定理可得，， 从而． 必要性：由|MN|＝3，即，解得， 则直线l的方程为，即． 所以圆心O（0，0）到直线l的距离，则直线l与圆O相切． 充分性：由直线l与圆相切，可得圆心O（0，0）到直线l的距离，则， 故． 所以直线l与圆O：x2+y2＝a2相切的充要条件是|MN|＝3． 19．（2025秋•江西月考）已知双曲线C：的右焦点为F，右顶点为A，O为坐标原点，且|OA|＝|AF|＝1． （1）求C的方程； （2）过点F的直线l与C的右支交于M，N两点，记C的左顶点为B，证明：BM⊥BN． 【解答】解：（1）由|OA|＝|AF|，可得a＝c﹣a＝1，即c＝2a＝2， 则b2＝c2﹣a2＝3， 所以C的方程为． （2）证明：如图： 方法1：由题意知，l的斜率不为0， 可设l的方程为x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2）． 由x＝ty+2，x2﹣y23＝1，可得（3t2﹣1）y2+12ty+9＝0， 则3t2﹣1≠0，，． 由题意知B（﹣1，0），则，， （x1+1）（x2+1）+y1y2＝（ty1+3）（ty2+3）+y1y2 ， 所以BM⊥BN． 方法2：若l的斜率不存在，可得M（2，3），N（2，﹣3）．由题意知B（﹣1，0）， 则（3，3），（3，﹣3），，则BM⊥BN． 若l的斜率存在，可设l的方程为y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）． 由可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0， 则3﹣k2≠0，，． ， 则•（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（x1+1）（x2+1）+k2（x1﹣2）（x2﹣2） ， 所以BM⊥BN． 20．（2025春•上城区校级期末）已知双曲线C：的右焦点为F（，0），且C的一条渐近线经过点D（，1）． （1）求C的标准方程； （2）是否存在过点P（2，1）的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）已知双曲线C的右焦点为， 所以a2+b2＝6，① 又双曲线C的一条渐近线经过点， 所以， 整理得a2＝2b2，② 联立①②，解得a2＝4，b2＝2， 所以C的标准方程为； （2）假设存在符合条件的直线l， 此时直线l的斜率存在， 不妨设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）， 此时，， 两式相减得， 因为x1≠x2，x1≠﹣x2， 所以， 又线段AB的中点为P（2，1）， 所以x1+x2＝4，y1+y2＝2， 此时， 解得k＝1， 则直线l的方程为y﹣1＝x﹣2， 即y＝x﹣1， 联立，消去y并整理得x2﹣4x+6＝0， 因为Δ＝（﹣4）2﹣4×1×6＜0， 所以方程没有实根， 则假设不成立， 故不存在过点P（2，1）的直线l与C交于A，B两点，使得线段AB的中点为P． 21．（2025•雁塔区校级开学）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点P（﹣2，2）的直线l与抛物线交于A，B两点． （1）求抛物线C的方程； （2）当点P为弦AB的中点时，求直线AB的方程； （3）求|AF|•|BF|的最小值． 【解答】解：（1）因为抛物线x2＝2py的焦点为F（0，1），所以，即p＝2． 所以抛物线C的方程为x2＝4y． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线l斜率存在． 设l的方程为y＝k（x+2）+2，联立方程，消去y，整理得x2﹣4kx﹣8k﹣8＝0， 因为点P（﹣2，2）是AB的中点，由x1+x2＝4k＝﹣4，解得k＝﹣1． 所以直线AB的方程为y＝﹣（x+2）+2．即x+y＝0． （3）由抛物线定义可知|AF|＝y1+1，|BF|＝y2+1． 所以|AF|•|BF|＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2+（y1+y2）+1， 由（2）知x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8（k+1）， 所以y1y24（k+1）2，y1+y2＝k（x1+x2+4）+4＝4k2+4k+4， 所以|AF|•|BF|＝4（k+1）2+（42+4k+4）+1＝8k2+12k+9＝8（k+2）2+2， 所以当时，|AF|•|BF|取得最小值为． 22．（2025•衡水校级开学）已知F是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（x0，2）为抛物线E上一点，且|PF|＝2． （1）求抛物线E的方程； （2）设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点． （i）证明：直线AB过定点； （ii）若直线AB的斜率大于0，且△OAB的面积为，求直线AB的方程． 【解答】解：（1）因为抛物线的焦点为，准线方程为， 且P（x0，2）在抛物线E上，|PF|＝2，根据抛物线定义有，， 又因为P在抛物线上，因此22＝2px0，因此， 消去x0，可得，因此（p﹣2）2＝0，解得p＝2， 因此抛物线E的方程为y2＝4x； （2）（i）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 直线AB方程为x＝my+n，联立，得y2﹣4my﹣4n＝0，因此y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n， 直线AP：， 令x＝0，得M纵坐标；同理N纵坐标， 因O是MN中点，yM+yN＝0，因此， 化简得y1y2+y1+y2＝0，将y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n代入，得n＝m， 直线AB方程为x＝m（y+1），当y＝﹣1时，x＝0，故直线AB过定点（0，﹣1）； （ii）设直线AB：y＝kx﹣1（k＞0），联立，得k2x2﹣（2k+4）x+1＝0， ，， 弦长， 根据点到直线的距离公式可知，点O到直线AB距离为， 由可得，，因此，化简得2k4﹣k﹣1＝0， 因式分解得（k﹣1）（2k3+2k2+2k+1）＝0，因k＞0，得k＝1， 因此直线AB方程为x﹣y﹣1＝0． 23．（2024秋•浉河区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，y0）（y0＞0）在抛物线C上，且|PF|＝5． （1）求抛物线C的方程； （2）过点Q（1，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）根据抛物线定义可知， 因此，所以p＝2， 因此C的方程为y2＝4x； （2）是定值，理由如下， 根据p（4，y0）（y0＞0）在抛物线上，所以y0＝4，所以点P（4，4）， 显然过Q（1，﹣4）的直线斜率不为0， 因此设直线AB方程为x＝m（y+4）+1，B（x2，y2），A（x1，y1）， 由，得y2﹣4my﹣16m﹣4＝0， 根的判别式Δ＝16m2﹣4（﹣16m﹣4）＝16（m2+4m+1）＞0，所以或， 根据韦达定理可得y1y2＝﹣16m﹣4，y1+y2＝4m， 所以， ＝16m2+8m+1， 又因为，， 因此 ， 所以k1k2为定值． 24．（2024秋•秦州区校级期末）已知O为坐标原点，抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线的距离为1． （1）求抛物线C的标准方程； （2）M，N为抛物线C上的两点，若直线MN与y轴垂直，且△OMN为等腰直角三角形，求△OMN的面积． 【解答】解：（1）由题意得 p＝1， ∴抛物线C的标准方程为x2＝2y； （2）不妨设M（m，n）（m＞0，n＞0）， 由已知结合对称性可得N（﹣m，n）， 又△OMN为等腰直角三角形， ∴，解得m＝n＝2． ∴△OMN的面积为S2m×n＝mn＝4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $