第二章直线和圆的方程5大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程5大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 5大考点汇总 考点一：直线的倾斜角与斜率 考点二：直线的方程 考点三：直线的交点坐标与距离公式 考点四：圆的方程 考点五：直线与圆、圆与圆的位置关系 跟踪训练 考点一：直线的倾斜角与斜率 1．（2024秋•新疆期末）直线的倾斜角量（　　） A．60° B．120° C．150° D．30° 2．（2025春•长沙期末）经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．3 D．4 3．（2024秋•合肥期末）已知直线l：，则直线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•南京校级期末）已知直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是（　　） A． B． C． D． 考点二：直线的方程 5．（2024秋•宁城县期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，0），B（4，2），C（1，3）． （1）求过点C且与直线AB平行的直线的方程； （2）求BC边上的高所在直线的方程． 6．（2025•昭通校级开学）已知△ABC的三个顶点是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）． （1）若直线l1过点C，且点A，B到直线l1的距离相等，求直线l1的方程； （2）若直线l2过点A，且与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ面积取最小值时直线l2的方程． 7．（2025•芝罘区校级开学）已知△ABC的顶点C（5，1），边AC上的中线BM所在直线的方程为2x﹣y﹣5＝0，边BC上的高AH所在直线的方程为x﹣2y﹣5＝0．求： （1）顶点B的坐标； （2）直线AB的方程． 8．（2024秋•石嘴山校级期末）已知直线l：y＝kx﹣2k+1（k∈R）． （1）若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． （2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 考点三：直线的交点坐标与距离公式 9．（2025春•杨浦区校级月考）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）． （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）已知P（1，5），若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的一般式方程． 10．（2024秋•邛崃市校级期末）已知A（1，3），B（5，7）． （1）求线段AB垂直平分线所在直线方程； （2）若直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等，求l方程． 11．（2024秋•海门区期末）已知点A（4，0），B（0，4），直线l：mx﹣y+1﹣m＝0（m∈R）． （1）若l与线段AB有交点，直接写出m的取值范围； （2）若m＞0，设l与直线AB及x轴分别交于C，D两点，求△ACD面积的最小值． 12．（2024秋•东莞市校级月考）已知点P（﹣2，﹣1），直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ为任意实数）过定点A． （1）求定点A的坐标． （2）直线m经过点P，且点A到直线m的距离为3，求直线m的方程． （3）点B在直线x﹣2y+3＝0上运动，求|BP|﹣|BA|的最大值． 考点四：圆的方程 13．（2024秋•颍州区校级期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）． （1）求边BC所在直线的方程； （2）若AC的中点为D，求边AC的垂直平分线l的方程； （3）求△ABC的外接圆的方程． 14．（2024秋•湖南期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3）． （1）求△ABC的面积； （2）求△ABC的外接圆M的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 15．（2024秋•乐山期末）已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0． （1）求圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程； （2）若点P（x，y）在圆C上运动，求x2+y2的最大值和最小值． 16．（2024秋•榆林期末）设，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． （1）求圆Q的方程； （2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA2+PC2＝2λ成立，求实数λ的取值范围． 考点五：直线与圆、圆与圆的位置关系 17．（2024秋•新邵县期末）已知圆C的方程为x2+y2＝1． （1）求过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程； （2）直线m过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，当△AOB是等腰直角三角形时，求直线m的方程． 18．（2024秋•深圳校级期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4． （1）过点P（3，2）向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线m：3x﹣4y+8＝0上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求|QM|的最小值． 19．（2025春•镇海区校级期末）在平面直角坐标系中．点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，m∈R．圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上． （1）求圆C的方程； （2）当直线l2与圆C相切时，求实数m的值． （3）若直线l2与圆C相交于D，E两点，当m变化时，是否存在一个定点P，使得|DP|•|EP|为定值？若存在，求出一个P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2025春•普陀区校级期末）已知过点A（﹣1，0）的直线l与圆C：x2+（y﹣3）2＝4相交于P、Q两点，直线m：x+3y+6＝0． （1）当时，求直线l的方程； （2）设T为直线m上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH面积的最小值； （3）是否存在直线l，使得向量与共线？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由． 第二章直线和圆的方程5大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 1．（2024秋•新疆期末）直线的倾斜角量（　　） A．60° B．120° C．150° D．30° 【解答】解：直线的斜率为，设直线的倾斜角为θ，且0°≤θ＜180°， 可得tanθ，可得θ＝60°． 所以直线的倾斜角是60°． 故选：A． 2．（2025春•长沙期末）经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．3 D．4 【解答】解：经过两点A（2，m），B（﹣m，4）的直线l的斜率为， 又直线l的倾斜角为135°， 所以，解得m＝1． 故选：B． 3．（2024秋•合肥期末）已知直线l：，则直线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题设，直线可化为， 故其斜率为． 故选：C． 4．（2025春•南京校级期末）已知直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由直线l的方程为xsinαy﹣1＝0，α∈R， 化为yxsinα， 由﹣1≤sinα≤1， 设直线l的倾斜角为φ， 则tanφsinα∈[，]，且0≤φ＜π， 所以0≤φ或φ＜π； 即直线l的倾斜角范围是[0，]∪[，π）． 故选：B． 5．（2024秋•宁城县期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，0），B（4，2），C（1，3）． （1）求过点C且与直线AB平行的直线的方程； （2）求BC边上的高所在直线的方程． 【解答】（1）由A（2，0），B（4，2）可知， 故所求直线的方程为y﹣3＝x﹣1， 即x﹣y+2＝0． （2）B（4，2），C（1，3）， 则， 则所求直线的斜率为3， 所求直线过点A（2，0）， 故所求直线的方程为y＝3（x﹣2）， 即3x﹣y﹣6＝0． 6．（2025•昭通校级开学）已知△ABC的三个顶点是A（2，3），B（1，2），C（4，﹣4）． （1）若直线l1过点C，且点A，B到直线l1的距离相等，求直线l1的方程； （2）若直线l2过点A，且与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ面积取最小值时直线l2的方程． 【解答】解：（1）因为点A，B到直线l1的距离相等，所以直线l1与AB平行或通过AB的中点， ①当直线l1通过AB的中点， 所以， 所以l1的方程为，即13x+5y﹣32＝0． ②当直线l1与AB平行， 因为，且l1过点C， 所以l1方程为y+4＝x﹣4，即x﹣y﹣8＝0； 综上：直线l1的方程为x﹣y﹣8＝0或13x+5y﹣32＝0． （2）由题意设P（a，0），Q（0，b），其中a，b为正数，可设直线l2的方程为， 因为直线l2过点A（2，3），所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，ab取得最小值24， 所以△OPQ面积， 所以当a＝4，b＝6时，△OPQ面积最小， 此时直线l2的方程为，即3x+2y﹣12＝0． 7．（2025•芝罘区校级开学）已知△ABC的顶点C（5，1），边AC上的中线BM所在直线的方程为2x﹣y﹣5＝0，边BC上的高AH所在直线的方程为x﹣2y﹣5＝0．求： （1）顶点B的坐标； （2）直线AB的方程． 【解答】解：（1）根据点B在直线BM：2x﹣y﹣5＝0上，设B（m，2m﹣5）， 可得BC的斜率k2， 解得m＝4，所以点B的坐标为（4，3）； （2）根据点A在直线AH：x﹣2y﹣5＝0上，设A（2n+5，n）， 可得AC中点M的坐标为（n+5，）， 由M在直线BM上，得2（n+5）5＝0，解得n＝﹣3，所以A点的坐标为（﹣1，﹣3）． 因此，直线AB的方程为， 即6x﹣5y﹣9＝0． 8．（2024秋•石嘴山校级期末）已知直线l：y＝kx﹣2k+1（k∈R）． （1）若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． （2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【解答】解：（1）由题意可知直线l：y＝kx﹣2k+1（k∈R），即y＝k（x﹣2）+1，可知直线l过定点（2，1）， 当直线l过原点时，得，结合直线l不经过第二象限，可知当，即k的取值范围是； （2）由（1）知直线l过定点（2，1），若l交两坐标轴于正半轴，则k＜0， ∵直线l：y＝kx﹣2k+1与x轴、y轴正半轴的交点分别是， ∴， 当k＜0时，S△AOB，即：4k2+5k+1＝0， ∴k＝﹣1或，可得直线l的方程为y＝﹣x+3或． 9．（2025春•杨浦区校级月考）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）． （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）已知P（1，5），若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的一般式方程． 【解答】解：（1）直线l：kx﹣y+1+2k＝0化为k（x+2）﹣y+1＝0，因此直线l恒过定点M（﹣2，1）， 若直线l不经过第四象限，则k≥0．即k∈[0，+∞）． （2）由（1）知直线l恒过定点M（﹣2，1）， 当且仅当PM⊥l时，d取得最大值，此时直线PM的斜率， 因此直线l的斜率，直线l的方程为，即3x+4y+2＝0， ∴直线l的一般式方程为3x+4y+2＝0． 10．（2024秋•邛崃市校级期末）已知A（1，3），B（5，7）． （1）求线段AB垂直平分线所在直线方程； （2）若直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等，求l方程． 【解答】解：（1）∵A（1，3），B（5，7），故线段AB的中点为C（3，5），直线AB的斜率为1， 故线段AB垂直平分线所在直线方程为y﹣5＝﹣1（x﹣3），即x+y﹣8＝0． （2）由于直线l过（﹣1，0），且A、B到直线l距离相等， 故有直线l和线段AB平行或经过线段AB的中点为C（3，5）． 当直线l和线段AB平行时，方程为y﹣0＝1×（x+1），即x﹣y+1＝0． 当直线l经过线段AB的中点为C（3，5）时，方程为，即5x﹣4y+5＝0． 11．（2024秋•海门区期末）已知点A（4，0），B（0，4），直线l：mx﹣y+1﹣m＝0（m∈R）． （1）若l与线段AB有交点，直接写出m的取值范围； （2）若m＞0，设l与直线AB及x轴分别交于C，D两点，求△ACD面积的最小值． 【解答】解：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m＝0可化为m（x﹣1）+（﹣y+1）＝0， 可知直线l经过直线x﹣1＝0与﹣y+1＝0的交点M（1，1）． 由A（4，0）、B（0，4），可得kAM，kBM3， 直线l与线段AB有公共点，且在线段AB上存在点N（1，3）使直线l⊥x轴， 可知直线l的斜率m满足：m≤﹣3或m，即m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）． （2）求得直线AB：x+y﹣4＝0，联立，可得交点． 直线l：mx﹣y+1﹣m＝0交x轴于点， 因为m＞0，所以点C在第一象限且在x＝1右侧，点D在x＝1左侧， 所以△ACD的面积， 设t＝3m+1，t＞1，可得， 当t＝4，即m＝1时，△ACD的面积S的最小值为4． 12．（2024秋•东莞市校级月考）已知点P（﹣2，﹣1），直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ为任意实数）过定点A． （1）求定点A的坐标． （2）直线m经过点P，且点A到直线m的距离为3，求直线m的方程． （3）点B在直线x﹣2y+3＝0上运动，求|BP|﹣|BA|的最大值． 【解答】解：（1）由l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0得（x+y﹣2）+（3x+y﹣4）λ＝0， 令，解得x＝y＝1，故A（1，1）； （2）若直线m无斜率，则m方程为x＝﹣2，此时A（1，1）到x＝﹣2的距离为3，符合题意， 若直线m有斜率，设m方程为y＝k（x+2）﹣1，此时A（1，1）到m的距离为，解得， 故直线方程为， 综上，直线方程为和x＝﹣2， （3）由于A，P在直线x﹣2y+3＝0的同一侧， 故|BP|﹣|BA|≤|AP|，当且仅当P，A，B三点共线时取到等号， 故， 故|BP|﹣|BA|最大值为． 13．（2024秋•颍州区校级期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）． （1）求边BC所在直线的方程； （2）若AC的中点为D，求边AC的垂直平分线l的方程； （3）求△ABC的外接圆的方程． 【解答】解：△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）． （1）由两点式可得BC边所在直线的方程为， 即BC边所在直线的方程x﹣3y+2＝0； （2）AC的中点为D（2，1）， 又，所以AC边的垂直平分线l的斜率为﹣2， 所以l的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0． （3）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 则，解得， 所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣8x+6y＝0． 14．（2024秋•湖南期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3）． （1）求△ABC的面积； （2）求△ABC的外接圆M的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 【解答】解：（1）由题意△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3）， 可得， 边AB所在直线l的方程为，即x﹣y+1＝0， 点C（4，3）到直线l：x﹣y+1＝0的距离为， 所以． （2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 由题意得∴D＝﹣8，E＝4，F＝﹣5， ∴所求圆的方程为x2+y2﹣8x+4y﹣5＝0， 即（x﹣4）2+（y+2）2＝25， ∴所求圆的圆心坐标是（4，﹣2），半径r＝5． 15．（2024秋•乐山期末）已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0． （1）求圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程； （2）若点P（x，y）在圆C上运动，求x2+y2的最大值和最小值． 【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，所以其圆心为（3，1），半径为1， 因为圆心（3，1）关于x﹣y＝0对称的点为（1，3）， 所以圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1； （2）x2+y2表示圆上的点P到原点的距离的平方． 因为圆心到原点的距离为， 所以x2+y2的最大值为，最小值为． 16．（2024秋•榆林期末）设，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． （1）求圆Q的方程； （2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA2+PC2＝2λ成立，求实数λ的取值范围． 【解答】解：（1）若圆Q经过A，C，则圆心必在AC的垂直平分线x＝﹣1上，不合题意； 根据题意得圆Q只能过点A，B，D三点， 线段AB的垂直平分线的方程为， 线段AD的垂直平分线的方程为y＝0， 联立方程组， 解得， 所以圆心为（2，0），半径为2，圆Q的方程为（x﹣2）2+y2＝4． （2）设P（x，y），因为PA2+PC2＝2λ， 所以， 化简得，所以λ＞4， 根据题意有， 解得； 故实数λ的取值范围为（）． 17．（2024秋•新邵县期末）已知圆C的方程为x2+y2＝1． （1）求过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程； （2）直线m过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，当△AOB是等腰直角三角形时，求直线m的方程． 【解答】解：（1）当直线斜率不存在时，x＝1显然与x2+y2＝1相切； 当直线斜率存在时，可设l：y＝k（x﹣1）+2，由几何关系可得， 解得， 故，即3x﹣4y+5＝0， 故过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0； （2）设m：y＝k1（x﹣1）+2，可设AB中点为D， 因为△AOB是等腰直角三角形， 所以， 即圆心到直线距离， 解得k1＝1或7， 故直线m：y＝（x﹣1）+2或y＝7（x﹣1）+2， 即x﹣y+1＝0或7x﹣y﹣5＝0． 18．（2024秋•深圳校级期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝4． （1）过点P（3，2）向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线m：3x﹣4y+8＝0上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求|QM|的最小值． 【解答】解：（1）切线l的斜率不存在时，x＝3满足条件． 切线l的斜率存在时，设方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0， 圆心C（1，﹣1）到切线l的距离2，解得k，可得切线方程为：5x﹣12y+9＝0， 综上可得切线l的方程为：x＝3，或5x﹣12y+9＝0． （2）当CQ⊥m时，|QM|取得最小值，此时|CQ|3， ∴|QM|min． 19．（2025春•镇海区校级期末）在平面直角坐标系中．点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0，m∈R．圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上． （1）求圆C的方程； （2）当直线l2与圆C相切时，求实数m的值． （3）若直线l2与圆C相交于D，E两点，当m变化时，是否存在一个定点P，使得|DP|•|EP|为定值？若存在，求出一个P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）点A（2，4），B（6，2），直线l1：x+y﹣4＝0，圆C经过A，B两点，且圆心C在直线l1上．设圆心坐标为 C（a，b）， ∵圆心C在直线l1：x+y﹣4＝0上， 则b＝4﹣a， ∴， 两边平方后得（a﹣2）2+（b﹣4）2＝（a﹣6）2+（b﹣2）2， 整理得2a﹣b﹣5＝0，又b＝4﹣a，解得a＝3，b＝1，∴圆心为C（3，1）， 圆的半径， ∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10； （2）∵l2：（m﹣1）x+y+2m+2＝0， 由题意可得 的距离为， ∴， 两边平方，化简得3m2+4m﹣4＝0，解得或m＝﹣2； （3）直线l2的方程为（m﹣1）x+y+2m+2＝0， 即m（x+2）﹣x+y+2＝0， 由，解得x＝﹣2，y＝﹣4，∴直线l2经过定点M（﹣2，﹣4）， 又（﹣2﹣3）2+（﹣4﹣1）2＞10，∴点M（﹣2，﹣4）在圆外， 设过M（﹣2，4）的直线与圆的切点为N， 则有|MN|2＝|MD||ME|，又， ∴|MD||ME|＝|MN|2＝40， ∴当P为定点M（﹣2，﹣4）时，|DP|•|EP|为定值40． 20．（2025春•普陀区校级期末）已知过点A（﹣1，0）的直线l与圆C：x2+（y﹣3）2＝4相交于P、Q两点，直线m：x+3y+6＝0． （1）当时，求直线l的方程； （2）设T为直线m上的动点，过T作圆C的两条切线TG、TH，切点分别为G、H，求四边形TGCH面积的最小值； （3）是否存在直线l，使得向量与共线？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由． 【解答】（1）（解法一）设直线l的方程为x＝my﹣1， ∵，∴，则由，解得m＝0或， 故直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0； （解法二）设弦PQ的中点为M， ①当直线l的斜率不存在时，易知x＝﹣1符合题意． ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0， ∵，∴，则由， 得，此时直线l的方程为：4x﹣3y+4＝0， 故直线l的方程为x＝﹣1或4x﹣3y+4＝0； （2）（解法一）由于TG、TH为圆C的两条切线， 所以， 又，而|CT|的最小值为点C到直线m的距离d， 所以， 故四边形TGCH面积的最小值为； （解法二） （前两步同解法一） 设点T的坐标为（x，y），则， ， 所以当时，， 故四边形TGCH面积的最小值为； （3）设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1）、Q（x2，y2）， 由，可得（m2+1）y2﹣（2m+6）y+6＝0， 可得Δ＝（2m+6）2﹣4（m2+1）×6， 所以，所以， 则，所以 又A（﹣1，0），C（0，3），所以， 若向量与共线，则， 由，可得2m+6＝18m﹣6，解得， 当时，， 所以存在直线l，使得向量与共线， 直线l的方程为，即4x﹣3y+4＝0． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $