3.1 二次根式的概念及性质 课件2025-2026学年湘教版数学八年级上册

二次根式的概念及性质 01 新课导入 目录 03 典型例题 02 新知探究 04 拓展提高 05 课堂小结 01 新课导入 新课导入 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____． 根据前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作 ，那么形如 的式子在数学上被称为什么呢？它又有什么特殊的要求呢？接下来让我们探究它的与众不同。 02 新知探究 新知探究 二次根式的概念及有意义的条件 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，根号下的数叫作被开方数 .“ ”称为二次根号. 注意：a可以是数，也可以是式. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 新知探究 练一练 1.下列各式是二次根式吗? （x,y异号） 是 不是 不是 不是 不是 是 不是 不含二次根号 被开方数是负数 当m>0时被开方数是负数 xy＜0 非负数+正数恒大于零 根指数是3 新知探究 练一练 2.当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 想一想：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1. 新知探究 小归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的 条件： 新知探究 小归纳 (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 新知探究 练一练 3. (1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______; x ≥1 (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是___________. x ≥0且x≠2 新知探究 二次根式的双重非负性 思考1：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 思考2：二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0. 新知探究 小归纳 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 新知探究 练一练 1. 若 ，求a -b+c的值. 解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 归纳 新知探究 二次方根的性质 的性质： 一般地， ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件. 新知探究 练一练 2. 计算： 解： 积的乘方： （ab）2=a2b2 (2)可以用到幂的哪条基本性质呢？ 新知探究 二次方根的性质 的性质： a (a≥0) -a (a＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 新知探究 练一练 3. 化简： 解： ，而3.14＜π，要注意a的正负性. 注意 新知探究 小归纳 如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 意义 先开方,后平方 a≥0 a 表示一个非负数a的算术平方根的平方 先平方，后开方 a取任何实数 |a| 表示一个实数a的平方的算术平方根 新知探究 练一练 4. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简: a b 解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a. 新知探究 二次根式的化简 当a≥0，b≥0时，由于 积的算术平方根等于算术平方根的积 小归纳 （a≥0，b≥0） ， 因此 新知探究 练一练 5.化简下列二次根式． 解： 化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数. 新知探究 小归纳 今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外. （注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数). 新知探究 最简二次根式 从前面的例题可以看出，这些式子的最后结果， 具有以下特点： （1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）； （2） 被开方数不含分母. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 新知探究 想一想 (m>0)是最简二次根式吗?如果不是，你能把它化简吗？ 解: 不是最简二次根式. 它含有能开方的因式 m2 . 03 典型例题 例题讲解 1. 已知y= ,求 3x+2y 的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 例题讲解 2.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 例题讲解 3.请同学们快速分辨下列各题的对错． （ ） （ ） （ ） （ ） × × √ √ 例题讲解 4. 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简： 分析： 利用三角形三边关系 三边长均为正数，a+b＞c 两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0 解：∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c， ∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c． 例题讲解 5.化简下列二次根式． 解： 04 拓展提高 拓展提高 1.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 拓展提高 2. 化简： 解： 05 课堂小结 课堂小结 二次根式 性质 二次根式的概念 二次根式的表示 二次根式有意义的条件 应用 被开方数 ≥0 → 课堂小结 积的算术平方根 → （1）被开方数中不含开的尽方的因数（或因式）； （2）被开方数不含分母 ↓ 化简 → 最简二次根式 → 谢 谢 观 看 $