3.6圆内接四边形 同步课堂练习2025-2026学年浙教版九年级数学上册

「■3.6圆内接四边形 Q 讲解目录 【知识点1】圆内接四边形的性质… 1 【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 6 知识讲解 【知识点1】圆内接四边形的性质 (1)圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补. ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角)· (2)圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角 定理结合起来.在应用时要注意是对角，而不是邻角互补 题型专练 【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 【典型例题】如图，点A、B、C在OO上，P为BC上任意一点，∠A=m,则∠D+∠E等于（) A.2m B.90-m C.180°-2m D.45°+m 【答案】C 【解析】在△ABD中，∠A+∠D+∠ABD=180°，在△ACE中，∠A+∠E+∠ACE=180°， 四边形ABPC为圆的内接四边形， ∴.∠ABP+∠ACP=180°，∠A=m, 则∠D+∠E=180°-（∠A+∠ABD)+180°-（∠A+∠ACE) =360°-2∠A-180°=180°-2m, 故选：C 【举一反三1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC,BD.若 ∠ADC=100°，∠DBC=20°，则∠DCA为() D 0 B A.60° B.70° C.75 D.80 【答案】A 【解析】，'ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠ABC=180°-∠ADC=80°， .∠DBC=20°， .∠ABD=∠ABC-20°=60°， .AD=AD, ∴.∠DCA=∠ABD=60°， 故选：A. 【举一反三2】如图，点A、B、C、D、E在⊙0上，且∠B+∠E=165°，则CD的度数为（) B C A.15 B.20° C.30 D.35 【答案】C 【解析】如图，连接ED, ·0 D :四边形ABDE为⊙O的内接四边形， .∠B+∠AED=180°， ∠B+∠ACE=165°， ∠CED=180°-165°=15°， ·C⑦的度数为30°， 故选：C 【举一反三3】五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB=AE,∠A=100°，则∠B+∠D= E D B 【答案】220° 【解析】如图所示，连接AD,BD,BE, O 1 B AB=AE,即△ABE是等腰三角形， ∴∠4B驱=乙4B-8c-∠B)-1s0-109)=40,正=， ∴.∠ABE=∠ADE=40°) 点A,B,C,D在圆上， .四边形ABCD是内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC-180, ∴.∠ABC+∠ADC+∠ADE=∠ABC+∠CDE=180°+40°=220°， 故答案为：220°. 【举一反三4】如图，AB为⊙O的直径，点E是BA延长线上的一点，C交⊙O于点D、C, ∠E=20°，∠DBC=50°，则∠D0E的度数为· D B 【答案】20 【解析】如图所示： D E B 连接AD, AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， 设∠ABD=X, .'∠DBC=50°， ∴.∠ABC=x+50°， .四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ADC=180°-∠ABC=130°-x, ∴.∠EDA=180°-∠ADC=x+50°， ∠DAB=∠E+∠EDA,∠E=20°， .∠DAB=20°+x+50°=x+70°， ∠ADB=90°， ∴.∠DAB+∠ABD=90°， .x+70+x=90, ∴.x=10, .∠ABD=10°， ∴.∠D0E=2∠ABD=2×10°=20°， 故答案为：20° 【举一反三5】在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD,∠C=110°，若点E在AD上，连接BD、 AE、DE,求∠E的度数. 0 B C 【答案】解：，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴.∠C+∠BAD=180°， 又.∠C=110°， ∴.∠BAD=180°-110°=70°， .AB =AD, ∴.∠ABD=∠ADB, ∠ABD三12×180°-70)=59 四边形ABDE为⊙O的内接四边形， ∴.∠E+∠ABD=180°， .∠E=180°-55°=125°. 【举一反三6】如图，⊙C过原，点0，且与坐标轴分别交于A、B.点A坐标为(0,3)，M为第三 象限孤0B上一点，∠BMO=120°，求⊙C的半径. 【答案】解：点A的坐标为(0,3)， .0A=3, 四边形ABM0是圆内接四边形， ∴.∠BM0+∠A=180°， 又∠BM0=120°， .∠A=60°， .∴.∠AB0=30°， .∴.AB=20A=6, 则⊙C的半径为3. 【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 【典型例题】如图，四边形ABCD内接于⊙O,,点E、F分别在AB和DC的延长线上，且EF∥BC ,若∠E=80°，则下列结论正确的是() ●O B A.∠F=110 B.∠D=100 C.∠BCD=110° D.∠A=809 【答案】B 【解析】EF∥BC, ∴.∠ABC=∠E=80°， .四边形ABCD内接于⊙O! .∠ABC+∠D=180°， ∴.∠D=100°，故B选项正确： ,'DF与AE不确定平行， .无法求出∠F,∠BCD的度数，故A,C不正确； AD与BC不确定平行， ∴.无法求出∠A=80°，故D选项不正确； 故选：B 【举一反三1】如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接AC,BD,OC,且AC平分∠BAD,则错误 的结论是（) y A.AC=BD B.BC=CD C.∠ABC+∠ADC-180°D.OC⊥BD 【答案】A 【解析】A、无法证明AC=BD,故选项A错误，符合题意； B、AC平分∠BAD,∴.∠BAC=∠DAC,.BC=CD,故选项B正确，不符合题意； C、,四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠ABC+∠ADC=180°，故选项C正确，不符合题意； D、.AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴.BC=CD,OC⊥BD,故选项D正确，不符合题 意； 故选：A 【举一反三2】如图，已知：点AB、C、D在⊙O上，AB=CD,下列结论：①∠AOC=∠BOD; ②∠BOD=2∠BAD;③AC=BD;④∠CAB=∠BDC;⑤∠CA0+∠CD0=180°；其中正确命题的 代号是 D 【答案】①②③④ 【解析】AB=CD, ∴.CBD=BCA, .'AC=BD, .∠AOC=∠BOD,故①正确： '圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着BD, ∴.∠BOD=2∠BAD,故②正确： .'AC=BD .AC=BD,故③正确； 圆周角∠CAB和∠BDC都对着BC, ∴.∠CAB=∠BDC,故④正确； 延长DO交⊙O于M,连接AM, D、C、A、M四点共圆， ∴.∠CD0+∠CAM=180°， .∠CAM>∠CAO, ∴.∠CA0+∠CD0<180°，故⑤错误： 故答案为：①②③④. 【举一反三3】如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，过点C作CM∥BP交 P的延长线于点M,其中正确的结论是（填序号）. ①∠MAC=∠PBC;②△ABC是等边三角形；③PC=PA+PB:④△PCM是等边三角形. M A 0 B 【答案】①②③④ 【解析】，·小P、B、C是⊙O上的四点， ∴.∠PBC+∠PAC=180°， '∠PAC+∠MAC=180°， ∴.∠MAC=∠PBC,故①正确： ∠APC=∠CPB=60, ∴.∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°， ∴.∠ABC=∠BAC=60°， ∴.△ABC是等边三角形，故②正确； .四边形APBC是⊙O的内接四边形， ∴.∠MAC=∠PBC,∠ACB+∠APB=180°， CM∥BP, ∴.∠M+∠APB=180°， ∴.∠M=∠ACB, 又△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC, ∴.∠M=60°， .∠APC=60°， ∴.∠M=∠APC=60°， ∴.△PCM为等边三角形，故④正确； .∠BPC=∠BAC=60, ∴.∠M=∠BPC, 在△ACM与△BCP中， '∠MAC=∠PBC ∠M=∠BPC, AC=BC .∴.△ACM≌△BCP(AAS), .PB=AM, ∴.PA+PB=PA+AM=PM, .△PCM为等边三角形， ∴.PC=PM, ∴.PC=PA+PB,故③正确； .正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④】 【举一反三4】求证：圆内接平行四边形是矩形 【答案】解：如图，由题意得：口ABCD是⊙O的内接四边形， ‘0 B .∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°， .∠A=∠B=∠C=∠D=90° 口ABCD是矩形， 【举一反三5】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙0交BC于点D,交AC于点E,连结DE, 且BD=DE,过点B作BP∥DE,交⊙O于点P,连结OP. (1)求证：AB=AC: (2)若∠A=30°，求∠B0P的度数. 3.6圆内接四边形 讲解目录 【知识点1】圆内接四边形的性质 1 【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 1 【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 3 知识讲解 【知识点1】圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 题型专练 【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 【典型例题】如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（   ）    A. B. C. D. 【举一反三1】如图，四边形是的内接四边形，连接．若，则为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，点在上，且，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】五边形为圆的内接五边形，其中，则             ．    【举一反三4】如图，为的直径，点E是延长线上的一点，交于点D、C，，，则的度数为      ．    【举一反三5】在的内接四边形中，，，若点在上，连接、、，求的度数． 【举一反三6】如图，过原点O，且与坐标轴分别交于A、B．点A坐标为，M为第三象限弧OB上一点，，求的半径． 【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 【典型例题】如图，四边形内接于，点E、F分别在AB和DC的延长线上，且，若，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，四边形内接于，连接，且平分，则错误的结论是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知：点在上，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确命题的代号是             ．    【举一反三3】如图，是上的四点，，过点作交的延长线于点，其中正确的结论是      （填序号）． ①；②是等边三角形；③：④是等边三角形． 【举一反三4】求证：圆内接平行四边形是矩形． 【举一反三5】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，且BD＝DE，过点B作BP∥DE，交⊙O于点P，连结OP． （1）求证：AB＝AC； （2）若∠A＝30°，求∠BOP的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $