专题09 幂函数及函数的应用（期中真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题09 幂函数及函数的应用 2大高频考点概览 考点01 幂函数及其性质 考点02 函数的应用 地 城 考点01 幂函数及其性质 一、单选题 1．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0或1 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解. 【详解】由题意可得：，解得.故选：A. 2．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知函数 为幂函数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据幂函数解析式的特征列方程求解即可. 【详解】由幂函数定义得，解得. 故选：D 3．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B．2 C．16 D．±2 【答案】B 【分析】根据幂函数的概念及已知条件求出的解析式，然后求值即可. 【详解】是幂函数，设（为常数）， ∵图象经过点，∴，解得，∴，∴. 故选：B. 4．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)已知幂函数是定义域上的奇函数，则（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据和函数为奇函数，可求的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以 ，所以，或. 当时，定义域为，为非奇非偶函数，故不合题意； 当时，为奇函数，故满足题意. 故选：D. 5．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数定义得到方程，解出，最后验证即可. 【详解】由题意得，，解得或． 当时，，满足题意； 当时，，其图象关于原点中心对称，不满足题意． 故选：A． 6．(24-25高一上·河北邯郸·期中)若幂函数为偶函数，则的值为（    ） A．-2或1 B．-2 C．1 D．多个取值 【答案】C 【分析】由函数为幂函数，求出的值，再验证函数是否为偶函数即可. 【详解】为幂函数，则有，解得或1． 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符号题意，故． 故选：C. 7．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和函数为奇函数，可求的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以 ，所以，或. 当时，为偶函数，故不合题意； 当时，为奇函数，故满足题意. 故选：D 8．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)已知幂函数在区间上单调递减，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先利用幂函数的定义，得出，根据方程求出的值，然后再将的值代入函数解析式，检验所得函数的单调性，即可得出符合条件的的值． 【详解】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，函数为，满足在上为减函数，符合题意； 当时，函数为，不满足在上为减函数，不符合题意． 故， 故选：A. 9．(22-23高一上·河北石家庄第二中学·期末)“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件.故选：B 二、填空题 10．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)若幂函数过点，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】设幂函数解析式，结合幂函数过点可得，再根据幂函数的单调性求解即可. 【详解】设幂函数解析式，因为幂函数过点，故，故，即， 故的单调递增区间为. 故答案为： 11．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个不同的实数为，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．已知函数满足利普希茨条件，则常数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数满足利普希茨条件，分离参数，并化简，求得常数的范围． 【详解】当时，单调递增，由题意，不妨设，则， 由，得，因为，所以，所以，所以，即常数的取值范围是． 12．(23-24高一上·河北保定唐县第一中学·期中)已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质得到，再结合函数的奇偶性求出答案. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以， 当时，，定义域为，又， 故为奇函数，舍去； 当时，，定义域为，又， 故为奇函数，舍去；当时，，定义域为，又，故为偶函数，满足要求，当时，，定义域为，故不为偶函数，舍去. 三、解答题 13．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)设函数，判断的奇偶性. 【答案】(1) (2) (3)为奇函数. 【分析】（1）根据幂函数的知识求得的解析式，进而求得. （2）根据函数的单调性来求得最大值. （3）根据函数的奇偶性的定义进行判断. 【详解】（1）设幂函数，因为的图象过点， 所以，得.所以.所以. （2）因为，所以在区间上单调递增. 所以在区间上的最大值为. （3）因为函数，所以.因为的定义域为， 所以.所以为奇函数. 14．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的概念及奇函数即可求解； （2）由函数单调性即可求解. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，即， 所以，解得或. 当时，，此时，所以是奇函数，则符合题意； 当时，，此时，所以是偶函数，则不符合题意. 故. （2）由（1）可知，所以不等式，即不等式， 因为为增函数，所以，即， 所以，解得或，即的取值范围是. 15．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用幂函数的定义求得的值，再检验对应的值时的奇偶性，从而得解； （2）根据题意，利用参变分离法，结合配方法解决恒成立问题，从而得解. 【详解】（1）由题意，为幂函数， 所以，解得或， 当时，，不是偶函数，舍去； 当时，，是偶函数，满足题意； 所以； （2）依题意，知，在上恒成立， 则当时，，所以恒成立，又， 所以当，即时，取得最小值， 故，即的取值范围为. 16．(23-24高二下·河北名校联盟·期末)已知幂函数为偶函数，且函数满足. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据函数为幂函数得到方程，结合函数的奇偶性得到，得到，，换元法得到的解析式； （2）变形得到，，换元后，利用基本不等式求出最小值，得到，求出答案. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或. 因为为偶函数，所以，则. 由，可得，令， 则，所以. （2）由，可得，故，， 令，则， 当且仅当1，即时，等号成立，所以，即，所以的取值范围为. 17．(23-24高一上·河北石家庄师大附中·期中)已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，解出即可； （2）取值、作差变形再判断符号即可； （3）根据单调性和定义域得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题意得，解得，则. （2），任取，则， 因为，所以，， 所以，即，所以在上是减函数. （3）因为，则，解得， 实数m的取值范围. 18．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)幂函数为偶函数，． (1)求函数的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可. （2）将题意转化为对于恒成立，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或， 当时，，定义域为R，， 所以为偶函数，符合条件； 当时，，定义域为R，， 所以为奇函数，舍去；所以. （2）因为， 所以对于恒成立，即对于恒成立， 因为， 所以不等式等价于对于恒成立，所以， 设，，， 因为，当且仅当，即时等号成立， ，所以，故. 地 城 考点02 函数的应用 一、填空题 1．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚得78元．则这两筐椰子原来共有 个． 【答案】120； 【分析】设两筐椰子原来共有个,根据题目条件列出关于的方程求解即可. 【详解】设两筐椰子原来共有个,则一共卖出个,其中每个买入成本价为,则售价为,故共卖得元,又赚得78元,所以,化简得,即,两边同乘得,因式分解,又,所以. 故答案为120. 2、 解答题 2．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 【答案】(1)， (2)当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围； （2）由基本不等式求出总面积最小值. 【详解】（1）单个矩形栏目的长度为， ， （2）由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 3．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)2023年是共建“一带一路”倡议提出10周年．2023年10月，习近平主席在第三届“一带一路”国际合作高峰论坛上宣布了中国支持高质量共建“一带一路”的八项行动，并将“促进绿色发展”作为行动之一，为“一带一路”绿色发展明确了新方向．源自中国的绿色理念、绿色技术与清洁能源相结合，让能源短缺不再是发展的瓶颈，点亮共建国家绿色低碳发展的梦想．某新能源公司为了生产某种新型环保产品，前期投入固定成本为1000万元，后期需要投入成本（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为经调研市场，预测每100台产品的售价为500万元．依据市场行情，估计本年度生产的产品能全部售完． (1)求年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本-固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润． 【答案】(1) (2)当年产量为6000台时，年利润最大，且最大年利润为4880万元． 【分析】（1）由利润=销售额-投入成本-固定成本，列出年利润关于年产量x的函数解析式； （2）利用配方法和基本不等式分别求两段函数的最大值，得最大值和取最大值时的值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）当时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当时，取得最大值， 综上，当年产量为6000台时，年利润最大，且最大年利润为4880万元． 4．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】(1) (2)当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 【分析】（1）分和两种情况，写出相应的解析式，得到答案； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求最值，比较后得到结论. 【详解】（1）当时，， 当时，， 故； （2）当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元， 当时，（万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 5．(24-25高一上·河北石家庄一中·期中)已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制 （单位：km/h），假设汽油的价格是7元/L，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）求出行车所用时间，列出总费用表达式，从而求解； （2）根据（1）中的表达式并结合基本不等式，从而求解. 【详解】（1）行车所用时间为， 根据汽油的价格是每升7元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元， 可得行车总费用：． （2）由（1） 当且仅当即取得最小值. 6．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 【答案】(1)； (2)千克，最大利润是元． 【分析】（1）利用利润公式直接求解即可； （2）分段求解，时，利用二次函数的性质求解最值；时，利用基本不等式求解最值． 【详解】（1）根据题意知 ， 整理得； （2）当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， ,当且仅当，即时等号成立， ，的最大值是，当单株施肥量为千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是元． 7．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）．已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大．（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)将生产这批零件每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意，再结合次品率与日产量（万件）之间的关系即可求解. （2）利用换元法并对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意知， 当时，，故， 当时，，故， 所以盈利额y（万元）与日产量x（万件）间的函数关系为. （2）当时，每天的盈利额为0；只需求时的最大值， 设，则，且， 则， ①当，即时，， 当且仅当，即时，取最大值160，此时. ②当，即时，由在上单调递增， 故在上单调递减，所以当，即时，取最大值. 综上所述，当时，日产量（万件）时，可获最大利润； 当时，日产量（万件）时，可获最大利润. 8．(23-24高一上·河北保定部分高中·期中)如图，在正方形中，，分别为的中点，为边上更靠近点的三等分点，一个质点从点出发（出发时刻），沿着线段作匀速运动，且速度，记的面积为. (1)当质点运动后，求的值； (2)在质点从点运动到点的过程中，求关于运动时间（单位：）的函数表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，在线段上，且，计算面积得到答案. （2）考虑，，三种情况，计算面积得到答案. 【详解】（1），，所以当质点运动到点时，经过了， 所以当质点运动后，在线段上，且， 所以. （2）当时，； 当时，； 当时，. 综上所述： 9．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)时代在发展，科技在进步，越来越多的人开始给孩子买无人机当礼物．某电子厂于2019年引进新无人机生产线，经分析，需要投入固定成本400万元．每生产（万架）无人机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每架无人机售价300元，且生产的无人机当年能全部销售完． (1)求出2019年销售利润（万元）关于年产量（万架）的函数关系式；（销售利润＝销售总价-固定成本-生产成本） (2)当产量为多少万架时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当产量为万架时，企业所获利润最大，最大利润为 【分析】（1）根据题目中给出的公式与函数，结合分段函数的定义，可得答案； （2）根据（1）的函数解析式，结合二次函数与基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意可知， 当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 显然当时，利润取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 综上所述，当产量为万架时，企业所获利润最大，最大利润为. 10．(24-25高一上·河北邯郸·期中)2024年巴黎奥运会上，中国健儿用汗水和努力诠释了“更快、更高、更强——更团结”的奥林匹克精神．他们以坚韧不拔的精神和卓越的表现，赢得了世界的瞩目与赞誉，也点燃了全国体育迷的运动热情．体育赛事如火如荼，全民健身热潮澎湃，体育消费热情高涨．某商场对9月份某品牌乒乓球套装的日销售量进行调查，发现日销售量（单位：百套）与时间（一个月内的第天）的部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 百套 5 6 7 8 (1)请你依据上表中的数据，从以下两种函数模型中选择你认为更合适的一种函数模型来表示该品牌乒乓球套装日销售量（单位：百套）与时间的关系，说明你的理由．函数模型：①；②． (2)经调查发现，日销售价格（单位：元/套）与时间（一个月内的第天）的函数关系近似表示为（常数）．第15日的日销售额为49000元，记该品牌乒乓球套装的日销售收入为（单位：百元）．根据第（1）问选择的模型，预估该商场9月份该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第几天最低． 【答案】(1)选择模型②，理由见解析．(2)第8天． 【分析】（1）通过具体数据代入解析式即可判断； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）选择模型②．         理由如下：若选择①作为函数模型， 将，分别代入，得解得所以． 此时，当时，，当时，， 所以不适合作为与的函数模型．     对于模型②，将，分别代入，得解得此时， 经验证，，均满足，所以模型②满足题意． （2）由，得，所以．          ，当且仅当，即时，等号成立，     所以预估该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第8天最低． 11．(23-24高一上·河北唐山迁安·期中)佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完. （1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式； （2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润. 【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元. 【解析】（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可； （2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值. 【详解】（1）当时，； 当时， ∴ （2）当时，； 当时，取最大值万元； 当时， ，当且仅当时，取等号 综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键. 12．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.    (1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式； (2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值． 【答案】(1) (2)时，（元） 【分析】（1）设，得到，求得，进而得到总造价（单位：元）关于的函数解析式； （2）令，得到且，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设，则，所以， 由，可得，所以总造价（单位：元）关于的函数解析式为： . （2）令，则且，因为函数， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以总造价的最小值为元. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 幂函数及函数的应用 2大高频考点概览 考点01 幂函数及其性质 考点02 函数的应用 地 城 考点01 幂函数及其性质 一、单选题 1．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0或1 2．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知函数 为幂函数，则（   ） A． B．1 C． D．2 3．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B．2 C．16 D．±2 4．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)已知幂函数是定义域上的奇函数，则（   ） A． B．或3 C． D．3 5．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 6．(24-25高一上·河北邯郸·期中)若幂函数为偶函数，则的值为（    ） A．-2或1 B．-2 C．1 D．多个取值 7．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或 B． C． D． 8．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)已知幂函数在区间上单调递减，则（   ） A．1 B． C． D．2 9．(22-23高一上·河北石家庄第二中学·期末)“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 10．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)若幂函数过点，则的单调递增区间为 . 11．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个不同的实数为，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．已知函数满足利普希茨条件，则常数的取值范围是 ． 12．(23-24高一上·河北保定唐县第一中学·期中)已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是 . 三、解答题 13．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知幂函数的图象过点. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)设函数，判断的奇偶性. 14．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求的取值范围. 15．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 16．(23-24高二下·河北名校联盟·期末)已知幂函数为偶函数，且函数满足. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数恒成立，求的取值范围. 17．(23-24高一上·河北石家庄师大附中·期中)已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)若，求实数m的取值范围． 18．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)幂函数为偶函数，． (1)求函数的解析式； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 地 城 考点02 函数的应用 一、填空题 1．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚得78元．则这两筐椰子原来共有 个． 2、 解答题 2．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 3．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)2023年是共建“一带一路”倡议提出10周年．2023年10月，习近平主席在第三届“一带一路”国际合作高峰论坛上宣布了中国支持高质量共建“一带一路”的八项行动，并将“促进绿色发展”作为行动之一，为“一带一路”绿色发展明确了新方向．源自中国的绿色理念、绿色技术与清洁能源相结合，让能源短缺不再是发展的瓶颈，点亮共建国家绿色低碳发展的梦想．某新能源公司为了生产某种新型环保产品，前期投入固定成本为1000万元，后期需要投入成本（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为经调研市场，预测每100台产品的售价为500万元．依据市场行情，估计本年度生产的产品能全部售完． (1)求年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本-固定成本）； (2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润． 4．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 5．(24-25高一上·河北石家庄一中·期中)已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制 （单位：km/h），假设汽油的价格是7元/L，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用． 6．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 7．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）．已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大．（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)将生产这批零件每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？ 8．(23-24高一上·河北保定部分高中·期中)如图，在正方形中，，分别为的中点，为边上更靠近点的三等分点，一个质点从点出发（出发时刻），沿着线段作匀速运动，且速度，记的面积为. (1)当质点运动后，求的值； (2)在质点从点运动到点的过程中，求关于运动时间（单位：）的函数表达式. 9．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)时代在发展，科技在进步，越来越多的人开始给孩子买无人机当礼物．某电子厂于2019年引进新无人机生产线，经分析，需要投入固定成本400万元．每生产（万架）无人机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每架无人机售价300元，且生产的无人机当年能全部销售完． (1)求出2019年销售利润（万元）关于年产量（万架）的函数关系式；（销售利润＝销售总价-固定成本-生产成本） (2)当产量为多少万架时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 10．(24-25高一上·河北邯郸·期中)2024年巴黎奥运会上，中国健儿用汗水和努力诠释了“更快、更高、更强——更团结”的奥林匹克精神．他们以坚韧不拔的精神和卓越的表现，赢得了世界的瞩目与赞誉，也点燃了全国体育迷的运动热情．体育赛事如火如荼，全民健身热潮澎湃，体育消费热情高涨．某商场对9月份某品牌乒乓球套装的日销售量进行调查，发现日销售量（单位：百套）与时间（一个月内的第天）的部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 百套 5 6 7 8 (1)请你依据上表中的数据，从以下两种函数模型中选择你认为更合适的一种函数模型来表示该品牌乒乓球套装日销售量（单位：百套）与时间的关系，说明你的理由．函数模型：①；②． (2)经调查发现，日销售价格（单位：元/套）与时间（一个月内的第天）的函数关系近似表示为（常数）．第15日的日销售额为49000元，记该品牌乒乓球套装的日销售收入为（单位：百元）．根据第（1）问选择的模型，预估该商场9月份该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第几天最低． 11．(23-24高一上·河北唐山迁安·期中)佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完. （1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式； （2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润. 12．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.    (1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式； (2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值． 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $