27.2 反比例函数的图像和性质课件2025-2026学年 冀教版九年级数学上册

27.2 课时1 反比例函数的图像与双曲线 第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图像和性质 22002 1.会画反比例函数的图像. 2.能确定一个点是否在反比例函数的图像上，能由反比例函数的图像确定相应的反比例函数表达式.（难点） 学习目标 22002 1.我们学习一次函数时，研究了函数的哪些内容?是如何进行研究的? 我们研究了函数的解析式、图象、性质，根据解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象，从图象的形状、位置、增减性等多个方面分析归纳函数的性质. 2.画函数图象的一般方法和步骤是怎样的? 列表、描点、连线 新课导入 22002 画出反比例函数 的图像. x y = x 6 1 6 2 3 3 2 4 1.5 5 1.2 6 1 -1 -6 -2 -3 -3 -1.5 -2 -4 -5 -1.2 -6 -1 … … … … 列表： 探究新知 22002 （2）根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）; （3）如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到反比例函数的图像． 发现：函数图像与坐标轴没有交点，因为自变量x和函数值y都不可能是0 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 1 2 3 4 5 6 -1 -3 -2 -4 -5 -6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0 -6 -5 5 6 x y y = x 6 22002 画出反比例函数 的图像. x 1 -6 2 -3 3 -2 4 -1.5 5 -1.2 6 -1 -1 6 -2 3 -3 1.5 2 -4 -5 1.2 -6 1 … … … … 列表： 探究新知 22002 （2）根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）; （3）如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到反比例函数的图像． 1 2 3 4 5 6 -1 -3 -2 -4 -5 -6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0 -6 -5 5 6 y x y = x 6 22002 形状： 反比例函数 的图像是由两条曲线组成的.因此称反比例函数的图像为双曲线. 位置: 函数 的两条曲线分别位于第一、三象限内. 函数 的两条曲线分别位于第二、四象限内. 归纳总结 22002 特征： 双曲线既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形． 对称轴有两条，分别是直线y＝x与直线y＝－x； 对称中心是坐标原点，任何一条经过原点的直线只要 与双曲线有两个交点，则这两个交点关于原点对称． 22002 例 已知点P(-6,8)在反比例函数 的图像上. (1)求这个反比例函数的表达式. (2)判断点M(4,-12)和N(2,24)是否在这个反比例函数的图像上. 解:(1)把点P(-6,8)的坐标代入 ,得 . 解得k=-48. 所以这个反比例函数的表达式为 . 典型例题 22002 (2)当x=4时, 当x=2时, =-24≠24. 所以,点M(4,-12)在这个反比例函数的图像上,点N(2,24)不在这个反比例函数的图像上. 22002 3.如何判断点是否在反比例函数图像上? 1.函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么? (函数图像上的点的坐标满足函数表达式,反之,满足函数表达式的点在该函数图像上) 2.待定系数法求反比例函数表达式时,需要几个点的坐标代入? (反比例函数中有一个待定系数,所以将函数图像上一个点的坐标代入即可) (将点的坐标代入函数表达式,满足函数表达式,则该点在函数图像上,反之,则不在函数图像上) 归纳总结 22002 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) A. x y o B. x o D. x y o C. x y o C 当堂检测 22002 2. 点(2，－4)在反比例函数 的图像上，则下列各点在此函数图像上的是(　　) A．(2，4)　　　 B．(－1，－8) C．(－2，－4) D．(4，－2) D 22002 3. 已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为2×104时，这种显示器工作的天数为d(天)，平均每天工作的时间为t(时)，那么能正确表示d与t之间的函数关系图像的是(　　) C 22002 4.已知反比例函数 . (1)求m的值; (2)它的图像位于哪些象限? 解:(1)依题意可得:m2-10=-1,且m-3≠0,解得m=-3. (2)当m=-3时,代入函数表达式,得 ; ∴它的图像位于第二、四象限. 22002 反比例函数图像及位置： 反比例函数 表达式 图象 位置 第一、三象限 第二、四象限 反比例函数图像的位置特征：中心对称（原点）； 轴对称（y=x和y=-x） 课堂总结 22002 27.2 课时2 反比例函数的图象性质 第二十七章 反比例函数 22002 1.通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比例函数的性质，并能灵活运用函数的图象和性质解决问题.（重点） 2.理解反比例函数的比例系数k的几何意义，并会应用其解决问题.（难点） 学习目标 22002 问题1 反比例函数是一个怎样的图像？ 问题2 反比例函数的图像的位置与k有怎样的关系？ 反比例函数的图像是双曲线 当k>0时，两条曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两条曲线分别位于第二、四象限内. 新课导入 22002 反比例函数 与 ， 与 的图像. 探究新知 1 2 3 4 5 6 -1 -3 -2 -4 -5 -6 0 x 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -6 -5 5 6 y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -6 -5 5 6 y 1 2 3 4 5 6 -1 -3 -2 -4 -5 -6 0 x 22002 1 2 3 4 5 6 -4 -1 -2 -3 -5 -6 1 2 4 5 6 3 -6 -5 -1 -3 -4 -2 O y x ● ● ● ● ● ● ● ● 1 2 3 4 5 6 -4 -1 -2 -3 -5 -6 1 2 4 5 6 3 -6 -5 -1 -3 -4 -2 O x ● ● ● ● ● ● ● ● y 22002 观察这两组函数图象，回答问题： 在每一个象限内，随着x的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ 结论1：一般地，当k>0时，反比例函数 的图象是双曲线， (1)双曲线的两支分别位于第一、第三象限; (2)在每一个象限内, y随x的增大而减小. (从左向右看是下降的) O x y x 增大 y 减 小 22002 结论2：一般地，当k<0时，反比例函数 的图象是双曲线， (1)双曲线的两支分别位于第二、第四象限; (2)在每一个象限内, y随x的增大而增大. (从左向右看是上升的) O x y x 增大 y 增大 22002 数形结合是函数问题的典型考向，所以对于图象的阅读、分析是找到问题突破口的关键，也是难点，所以一定要重视，尤其是首次要给学生从知识到认识上给予明确的提醒和强调 例1 反比例函数 的图像如图所示. (1) 判断k为正数还是负数. 如果A(－3，y1)和B(－1，y2)为这个函数图像上的两点，那么y1与y2的大小关系是怎样的？ 典型例题 22002 解:(1)∵反比例函数 的图像在第一、三象限, ∴k>0. (2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小. ∵-3<-1, ∴y1>y2. 22002 例2 如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为___． 1 导引：根据反比例函数中k的几何意义，得△POA和△BOA的面积分别为2和1，于是阴影部分的面积为1. 22002 3.如何判断点是否在反比例函数图像上? 1.函数图像上点的坐标与函数表达式之间的关系是什么? (函数图像上的点的坐标满足函数表达式,反之,满足函数表达式的点在该函数图像上) 2.待定系数法求反比例函数表达式时,需要几个点的坐标代入? (反比例函数中有一个待定系数,所以将函数图像上一个点的坐标代入即可) (将点的坐标代入函数表达式,满足函数表达式,则该点在函数图像上,反之,则不在函数图像上) 22002 双曲线的几何特性： 过双曲线 上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 . 归纳总结 22002 A 1.在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A.2022 B.0 C.2020 D.2019 当堂检测 22002 D 2.已知反比例函数 ，下列结论不正确的是（ ） A.图象必经过点（-1，3） B.若y＜0，则x＞0 C.图象在第二、四象限内 D.y随x的增大而增大 22002 3.（1）若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数 图象上，则y1_____y2；（填“＞”“＜”或“=”） ＜ 6 (2)如图，A,B两点在反比例函数 （x＞0）的图象上，分别过A,B两点向坐标轴作垂线，已知S阴影=1，则S1+S2=____. 22002 4. 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0． 解得m=3. 22002 反比例函数 的性质 增减 性质 当k＞0时，在每一象限内， y的值随x的增大而减小. 当k<0时，在每一象限内， y的值随x的增大而增大. 几何 性质 图像上任意一点坐标形成的矩形的面积为|k|; 图像上任意一点坐标形成的三角形的面积为 课堂总结 22002 $