27.2 反比例函数的图像和性质 知识清单 2024—2025学年冀教版数学九年级上册

《27.2 反比例函数的图像和性质》知识清单 一、反比例函数的概念 1、 定义 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y ＝ k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。比如说，咱们在生活中，假如你有一笔钱k元，去买东西，东西的单价x和能买到的数量y就可能是这种反比例关系。就像我有100元（k ＝ 100），去买笔记本，笔记本单价是5元（x ＝ 5）时，能买到20本（y ＝ 20）；如果单价变成10元（x ＝ 10），就只能买到10本（y ＝ 10）了。这里的y ＝ 100/x就是一个反比例函数。 2、 自变量和函数值的取值范围 自变量x不能为0，因为在y ＝ k/x中，x ＝ 0时分母为0就没意义了。函数值y也不能为0，因为k≠0，x≠0，所以y ＝ k/x不可能等于0。 二、反比例函数的图像 1、 图像形状 反比例函数的图像是双曲线。这双曲线可有意思了，就像两个弯弯的线，它们要么在一、三象限，要么在二、四象限，不会跑到别的地方去。 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限。我有一次观察蚂蚁找食物，蚂蚁们从蚁巢（就像原点）出发，有的往右上方向找，有的往左下方向找，这就有点像k>0时双曲线在一、三象限的分布。 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。就好比冬天的寒风，把树上的叶子吹得有的往左上飘，有的往右下飘，这和k<0时双曲线在二、四象限的分布有点相似呢。 2、 图像的对称性 反比例函数的图像关于原点对称。这是什么意思呢？就是说如果在图像上有一个点（x,y），那么一定有另一个点（ x, y）也在图像上。就像照镜子一样，不过这个镜子是在原点这个位置，把图像从一边反射到另一边。 同时，双曲线的两支也是关于直线y ＝ x或y=x对称的。比如说，你把一支双曲线沿着y ＝ x这条线对折，就会发现它和另一支正好重合，是不是很神奇呢？ 三、反比例函数的性质 1、 当k>0时的性质 在每个象限内，y随x的增大而减小。比如说，还是前面买东西的例子，假如y ＝ 10/x（k ＝ 10），当x ＝ 1时，y ＝ 10；当x ＝ 2时，y ＝ 5。可以看到在第一象限（因为x>0），x从1增大到2，y从10减小到5。但是要注意，是在每个象限内哦，如果x从 1增大到 2（在第三象限），y也是从 10减小到 5的。 2、 当k<0时的性质 在每个象限内，y随x的增大而增大。例如y=－5/x（k ＝ 5），当x=－1时，y ＝ 5；当x ＝ 2时，y ＝ 2.5。在第二象限（因为x<0），x从 1增大到 2，y从5增大到2.5。同样也是在每个象限内的规律哦。 四、反比例函数的渐近线 1、 概念 反比例函数的图像无限接近于x轴和y轴，但永远不会与它们相交。x轴和y轴就像是反比例函数图像的两条渐近线。就像你跑步，你可以无限接近终点线，但永远也碰不到终点线（这里的终点线就像x轴或者y轴）。 2、 与图像性质的联系 因为渐近线的存在，所以反比例函数在x趋近于0或者y趋近于0的时候，函数值会趋近于无穷大或者无穷小。比如说y ＝ 1/x，当x越来越接近0的时候，y的值就会变得非常大（正的或者负的，取决于x是从正方向还是负方向接近0）。 五、反比例函数图像与性质的应用 1、 比较函数值大小 当知道反比例函数表达式和自变量取值时，可以根据反比例函数的性质比较函数值大小。例如，对于y ＝ 2/x（k ＝ 2>0），如果x1 ＝ 1，x2 ＝ 2，因为在第一象限y随x增大而减小，所以当x1<x2时，y1>y2。 2、 确定函数表达式 如果知道反比例函数图像经过的一个点的坐标，就可以确定函数表达式。比如图像经过点（2,3），把x ＝ 2，y ＝ 3代入y ＝ k/x中，得到3 ＝ k/2，解得k ＝ 6，所以函数表达式就是y ＝ 6/x。 3、 解决实际问题 在工程问题中，反比例函数也有用处。比如一项工程，如果工作效率x和工作时间y成反比例关系，设反比例函数为y ＝ k/x。如果2个人工作（x ＝ 2）需要10天完成（y ＝ 10），那么把x ＝ 2，y ＝ 10代入y ＝ k/x，得到k ＝ 20。如果有4个人工作（x ＝ 4），那么工作时间y ＝ 20/4 ＝ 5天。 六、典型问题 1、 判断反比例函数 给一个函数表达式，判断它是不是反比例函数。例如y ＝ 3/x是反比例函数，因为符合y ＝ k/x（k ＝ 3≠0）的形式；而y ＝ 3x不是反比例函数，它是正比例函数。 2、 根据性质求参数范围 已知反比例函数y=（m 1)／x的图像在第二、四象限，求m的取值范围。因为图像在二、四象限，所以k ＝ m 1<0，解得m<1。 3、 函数图像的平移 如果把反比例函数y ＝ 2/x的图像向上平移3个单位，得到的函数表达式是什么呢？根据平移规律“上加下减”，得到y ＝ 2/x+3。 一、选择题 1、 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. y ＝ 3x B. y ＝ 1/（3x) C. y ＝ x ＋ 3 D. y ＝ x² 答案：B。因为只有B符合y ＝ k/x（k为常数，k≠0）的形式，A是正比例函数，C是一次函数，D是二次函数。 2、 反比例函数y ＝ 4/x的图像在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 答案：B。因为k ＝ 4<0，所以双曲线的两支分别位于第二、四象限。 3、 对于反比例函数y ＝ 3/x，当x>0时，y随x的变化情况是（ ） A. y随x的增大而增大 B. y随x的增大而减小 C. y不变 D. 无法确定 答案：B。因为k ＝ 3>0，在每个象限内（这里x>0是第一象限），y随x的增大而减小。 二、填空题 1、 已知反比例函数y ＝ k/x的图像经过点（2, 3），则k ＝＿_____。 答案： 6。把x ＝ 2，y ＝ 3代入y ＝ k/x，得到 3 ＝ k/2，解得k ＝ 6。 2、 反比例函数y ＝ 5/x的图像关于______对称。 答案：原点、直线y ＝ x和直线y=x。因为反比例函数的图像关于原点对称，且双曲线的两支关于直线y ＝ x或y=x对称。 三、解答题 1、 已知反比例函数y ＝ k/x（k≠0）的图像经过点A（ 2,4）。 （1）求k的值； （2）这个函数的图像在哪个象限？y随x的增大如何变化？ 答案： （1）把x ＝ 2，y ＝ 4代入y ＝ k/x，得到4 ＝ k/（ 2)，解得k ＝ 8。 （2）因为k ＝ 8<0，所以函数图像在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。 2、 若反比例函数y=（m ＋ 1)／x的图像在第一、三象限，求m的取值范围。 答案：因为图像在第一、三象限，所以k ＝ m ＋ 1>0，解得m> 1。 学科网（北京）股份有限公司 $$