1.4.2.2利用空间向量求直线与平面所成的角同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2.2直线与平面所成的角 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 利用空间向量求线面角的解题步骤 微专题训练 一、单选题 1．在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（   ） A． B． C． D． 5．已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在三棱锥中，，则（    ） A． B．直线与直线夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（   ） A． B． C．侧棱与底面所成角的余弦值为 D．直线AM与CN所成角的正弦值为 11．给出下列命题，其中不正确的命题是（    ） A．向量，，共面，即它们所在的直线共面 B．若是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角. D．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于130°，则直线与平面所成的角为50° 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 13．如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 14．如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 四、解答题 15．如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 16．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，是底面三角形内一点，并且，，与平面所成角为，与平面所成角为，如图．    求： (1)与的所成角； (2)的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2.2直线与平面所成的角 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 利用空间向量求线面角的解题步骤 微专题训练 一、单选题 1．在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法即可求得答案. 【详解】设三棱柱的棱长为1，以B为原点， 以过B作的垂线为x轴，以为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图， 则，所以， 易知平面的一个法向量可取为， 设直线与平面所成角为，， 则. 故选：A 2．是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：三条射线两两所成的角均为,不容易直接建系.可以把放入正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，可满足两两的夹角均为．因此在正方体中建立空间直角坐标系，先求出直线与平面所成的角的正弦值，再根据同角三角函数关系式求出其余弦值. 方法二：把放入正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，可满足两两的夹角均为．与平面不相交的体对角线CD与与平面垂直，正方体中，易知与所成角的正弦值，即为直线与平面所成的角的余弦值. 方法三：过点向平面做垂线，可得直线与平面所的成的角. 【详解】方法一：如图所示，把放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则两两的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系（其中为原点），设正方体的棱长为1， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量，则 令，则，，所以， 所以． 设直线与平面所成的角为，所以， 所以. 故选：B. 方法二: 如图所示，把放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则两两的夹角均为． 正方体中，点出发的体对角线与平面垂直，所以直线与对角线所成的角的正弦值，即为直线与平面所成的角(记为）的余弦值. . 故选：B. 方法三: 设射线在平面的射影为射线，则直线与直线的夹角即为直线与平面所成的角.由最小角定理可得，． 由两两的夹角均为，易得是的角平分线，所以． 又，故． 故选：B. 3．已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 故选：B. 4．若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线l的方向向量与平面的法向量的夹角后可得. 【详解】由已知，，所以l与α所成的角为， 故选：A. 5．已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面中过作，连接，根据题设中的数量积可得的轨迹为以为直径的球面，故可求与平面所成角正切值的最大值. 【详解】 在平面中过作，连接， 则四边形为平行四边形，且， 故与平面所成角即为与平面所成的角. 而，故， 故即即，故， 不妨设的边长为， 则的轨迹为以为直径的球面（除去平面中以为直径的圆），如图， 设为的中点，连接， 当在球面上且平面平面时，与平面所成的角最大且为， 此时，故， 故此时， 故选：D. 6．是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系得出相关点的坐标，设，根据已知以及线面角的坐标表示得出.进而分六个面依次讨论，即可得出点坐标.进而根据线线角的坐标求解即可得出答案. 【详解】    如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，设，则 易知平面一个法向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面、平面、平面所成的角分别为， 由已知可得. 又，，， 所以有. 又由是正四棱柱表面上的一个动点，易知，所以. 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，点可以为； 若是平面上的一个动点，可知，，，没有满足条件的点； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，重复舍去. 综上所述，. 所以. 又 所以，与所成角的余弦值为. 故选：A. 7．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 8．如图，正方体中，，当直线与平面所成的角最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，得到线面角正弦值的表达式，再利用三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为. 则，，，，，. 所以，，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 又，设直线与平面所成的角为，则 ， 从而当时，取到最大值，又，故时直线与平面所成的角最大． 故选：C 二、多选题 9．在三棱锥中，，则（    ） A． B．直线与直线夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】由空间两点间距离可得A正确；由异面直线间夹角公式可得B错误；由法向量的计算方法可得C正确；由空间线面角公式可得D正确； 【详解】，，故A正确； ，， ，则直线与直线夹角的余弦值为，故B错误； ，，， 是平面的一个法向量，故C正确； 与平面所成角的正弦值为 ，故D正确. 故选：ACD 10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（   ） A． B． C．侧棱与底面所成角的余弦值为 D．直线AM与CN所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】把分别用表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD，连接，在上取点，使得，连接，则平面，解即可判断C. 【详解】由正四面体ABCD，可得， 对于A，， 则， 所以，故A正确； 对于B，， 则 ，故B错误； 对于D，， 则， ， 设直线所成角为， 则， 所以直线所成角的余弦值为，正弦值为,故D正确； 对于C，连接，在上取点，使得，连接， 则平面， 则即为直线与平面所成角的平面角， 在中，， 则， 由正四面体的结构特征可得，直线与平面所成角的相等， 所以侧棱与底面所成角的余弦值为，故C正确. 故选：ACD 11．给出下列命题，其中不正确的命题是（    ） A．向量，，共面，即它们所在的直线共面 B．若是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角. D．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于130°，则直线与平面所成的角为50° 【答案】ACD 【分析】根据共面向量定理的定义可判断A,B正误；举特例可判断C；由线面角的定义可判断D. 【详解】对于A，向量量，，可以通过平移后共面，但是它们的所在直线不一定是共面直线，故A不正确； 对于B，假设不是空间向量的一个基底， 所以， 因为是空间向量的一个基底， 所以可得，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立， 所以也是空间的一个基底，故B正确； 对于C，当时，向量，， ， 此时所成角为，则不为钝角，故C不正确； 对于D，因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于， 所以直线与平面所成的角等于，故D不正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据线面角的向量求法计算. 【详解】因为，所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 13．如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，得到点坐标即向量坐标，设，求得点坐标，从而得到坐标.由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得直线MN与平面所成角的正弦值的表达式，再由函数的性质求得最大值. 【详解】设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，，又， 所以， 则，，， 即， 所以， 设平面的一个法向量为， 又，， 则， 取， 设直线MN与平面所成角为，， 当时，N与上的重合，直线MN在平面内，不合题意， 当时， ， 令，则， 则，时，有最小值6， 所以当，即，即时 故答案为： 14．如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 四、解答题 15．如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2）由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 16．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，是底面三角形内一点，并且，，与平面所成角为，与平面所成角为，如图．    求： (1)与的所成角； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量法求出平面和平面的法向量，结合线面角计算求坐标，最后应用异面直线所成角余弦公式计算求解； （2）根据四点共面结合（1）计算求解的坐标，最后应用模长公式计算求解长度. 【详解】（1）因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，如图建系， 是底面三角形内一点，并且，， 所以，设，， 因为与平面所成角为，与平面所成角为，    设平面法向量为，所以，； 设平面法向量为，所以，； 所以，所以，所以， 因为， 设与的所成角为，所以， 所以； （2）因为四点共面， 所以，且， 所以， 由（1）可知，所以设， 所以，所以，所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $