3.1.1 椭圆及其标准方程导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1·椭圆及其标准方程 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、了解椭圆的实际背景，掌握椭圆的定义，明确椭圆上的点满足的几何条件 2、推导并掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程 3、体会从具体情境中抽象出椭圆几何特征 通过椭圆定义的学习与标准方程的推导，培养数学抽象、逻辑推理素养；利用椭圆标准方程解决相关问题，提升数学运算、直观想象素养 重点 椭圆的定义 椭圆的标准方程 难点 深入理解椭圆标准方程推导过程中的代数运算与几何意义的结合 根据已知条件求椭圆的标准方程 新知导入 圆的定义：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆． 类比猜想：改变圆定义中的某些条件，问动点的轨迹是什么？ 把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 问题4：应该如何完善刚才对椭圆的定义？ 我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆． 知识清单 知识点一 椭圆的定义及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点，的距离的和等于__________（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的__________，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为__________. 2.椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上的椭圆的标准方程是，焦点坐标__________，，其中__________. （2）焦点在y轴上的椭圆的标准方程是____________________，焦点坐标，__________，其中. 例题讲解 例 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 (－2，0)，(2，0)，并且经过点 ，求它的标准方程． ． 例 2 在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足.当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 为什么? (当点 P 经过圆与 x 轴的交点时，规定点 M 与点 P 重合.) 例 3 如图，设 A，B 两点坐标分别为 （−5，0），（5，0）. 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是，求点 M 的轨迹方程. 试题练习 1.已知P为椭圆上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.平面内点P到，的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 3.若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 5.已知动点满足，则动点M的轨迹方程是______. 6.与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程为___________. 课后练习 1.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程为( ) A. B. C. D. 2.已知定点，，动点P满足，则点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.椭圆或射线 C.椭圆或线段 D.不存在 3.“”是“方程表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l交C于A，B两点，则的周长为( ) A.2 B.4 C. D. 5.一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 6.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，则点P横坐标的取值范围是( ) A. B.C. D. 7.（多选）设点A，，的坐标分别为，，，动点满足：，则下列说法正确的有( ) A.点P的轨迹方程为 B. C.存在4个点P，使得的面积为 D. 8.设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，.若，则椭圆的标准方程为__________. 9.在平面直角坐标系中，若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为__________. 10.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，当轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）当时，求的面积. 答案以及解析 知识清单 1.常数 焦点 半焦距 2. 例题讲解 解：由于椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 c＝2， , 所以 ．所以 b2＝a2－c2＝10－4＝6． 所以，所求椭圆的标准方程为 例题2 分析：点 P 在圆 x2＋y2＝4 上运动，点 P 的运动引起点 M 运动. 我们可以由 M 为线段 PD 的中点得到点 M 与点 P 坐标之间的关系式，并由点 P 的坐标满足圆的方程得到点 M 的坐标所满足的方程. 解：设点 M 的坐标为 (x，y)，点 P 的坐标为 (x0，y0)，则点 D 的坐标为 (x0，0). 由点 M 是线段 PD 的中点，得 因为点 P(x0，y0) 在圆 x2＋y2＝4 上，所以 ①. 把 x0=x，y0=2y 代入方程①，得 x2＋4y2＝4， 即，所以点 M 的轨迹是椭圆. 例题3 分析：设点 M 的坐标为 (x，y)，那么直线 AM，BM 的斜率就可用含 x，y 的关系式分别表示. 由直线 AM，BM 的斜率之积是，可得出 x，y 之间的关系式，进而得到点 M 的轨迹方程. 解：设点 M 的坐标为 （x,y），因为点 A 的坐标是 （−5,0），所以直线AM 的斜率. 同理，直线 BM 的斜率.由已知，有 化简，得点 M 的轨迹方程为 点 M 的轨迹是除去 （−5,0）,（5,0） 两点的椭圆. 课堂练习 1.答案：C 解析：由可得：，则， 因，则，故. 故选：C. 2.答案：B 解析：由题意， 平面内点P到，的距离之和是10， 动点P的轨迹为椭圆，焦点在轴上， ，，解得:， ， 轨迹方程为:， 故选：B. 3.答案：C 解析：因为方程表示椭圆， 所以且与不相等， 所以. 故选：C. 4.答案：B 解析：由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点， 所以，，， 椭圆的标准方程为． 故选：B． 5.答案： 解析：设，， 因为，可得， 可知动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，则，， 所以动点M的轨迹方程是. 故答案为:. 6.答案： 解析：由题意可设所求椭圆的标准方程为.因为椭圆过点，将，代入方程得，解得或（舍去）.故所求椭圆的标准方程为. 课后练习 1.答案：A 解析：由题意，得椭圆的焦点坐标分别为，，即.设所求椭圆的方程为（且）.将点的坐标代入，得，解得（舍去）或，所以所求椭圆的方程为.故选A. 2.答案：A 解析：因为，所以，当且仅当时取等号，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选A. 3.答案：B 解析：方程表示椭圆，解得或.故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.选B. 4.答案：D 解析：由得，则由椭圆的定义可知，的周长为.故选D. 5.答案：A 解析：设动圆半径为r，圆心为M，根据题意可知，，，，，，，，，故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且焦点坐标为和，其中，，，，所以，故动圆圆心的轨迹方程为，故选A. 6.答案：B 解析：由椭圆方程得，，设，则，，所以.① 又点P在椭圆上，则，即，代入①得， 所以， 故选B. 7.答案：AD 解析：对于A，由得，， 所以点P的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，即，，则，故点的轨迹方程为，A正确. 对于B，D，将的坐标代入椭圆方程左边得，所以点在椭圆内部，如图所示，所以，当且仅当点P运动到点处时，等号成立，故B错误； ， 因为，所以，当且仅当点P运动到点处时，等号成立，故D正确. 对于C，，其中h为点P到直线的距离，若，则，由于当点P为椭圆的右顶点时，h取得最大值3，故满足条件的点P只有一个，C错误.故选AD. 8.答案： 解析：，，.又， .由椭圆定义可知，，，，椭圆的标准方程为. 9.答案： 解析：由平面上两点间的距离公式可知，点M到点与的距离之和为8.又与两点间的距离为4，且，所以动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆.其中，，所以，，.故点M的轨迹方程为. 10.答案：（1） （2） 解析：（1）由知，因此. 因为轴时，，所以可得点P的坐标为或， 因为点P在椭圆上，所以， 又，所以， 解得，所以椭圆的方程为. （2）设，，在中，由余弦定理可得 ，又， 所以，所以， 所以， 所以的面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $