2.5.2 圆与圆的位置关系导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5.2·圆与圆的位置关系 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、掌握圆与圆位置关系的判定方法，包括几何法和代数法 2、能根据圆与圆的位置关系，解决相关问题 3、体会“数形结合”思想在研究圆与圆位置关系中的应用 通过圆与圆位置关系的判定及相关问题解决，培养数学抽象、逻辑推理素养；运用几何法和代数法分析位置关系，提升数学运算、直观想象素养 重点 圆与圆位置关系的两种判定方法 用几何法和代数法解决圆与圆位置关系的相关问题 难点 深入理解几何法和代数法的内在联系 解决含参数的圆与圆位置关系问题 新知识导入 之前我们研究了直线与圆的位置关系，运用直线和圆的方程来判断它们之间的位置情况. 那现在请大家思考一下，圆与圆之间又会有怎样的位置关系呢？我们可以看到，两个圆之间存在相交、相切（包括外切与内切）、相离（包括外离与内含）这三种位置关系. (1)两圆相交，有两个公共点； (2)两圆相切，包括外切和内切，只有一个公共点； (3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点. 那如何像研究直线与圆位置关系那样，利用圆的方程来判断圆与圆的位置关系呢？这就是我们今天要学习的内容. 知识清单 知识点一 圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系： （1）两圆相交，有________个公共点； （2）两圆相切，包括外切与____________，只有一个公共点； （3）两圆相离，包括____________与____________，没有公共点. 2.两圆方程的公共解的个数判断它们之间的关系： （1）两圆_________有两组公共解； （2）两圆相切有_________组公共解； （3）两圆_________没有公共解. 例题讲解 例 1 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系． 例2 已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍． 试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系． 课堂练习 1.圆与圆外切，则( ) A.2 B. C.2或 D.不确定 2.已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.若圆与圆有且仅有2条公切线，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.当___________时，圆和圆相切. 5.已知圆，圆，问：m为何值时， （1）圆与圆外切？ （2）圆与圆内含？ （3）圆与圆只有一个公共点？ 课后练习 1.已知圆，圆，则圆，的位置关系为( ) A.内含 B.外切 C.相交 D.外离 2.圆与圆的公切线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知P是圆上一点，Q是圆上一点，则的最小值为( ) A.1 B. C.2 D. 4.已知圆，点，，在圆M上存在点P，使得，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.已知圆，A，B为圆O上两个动点，且，M为弦AB的中点，，，当A，B在圆O上运动时，始终有为锐角，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.（多选）与圆的公切线的方程可能为( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知圆和圆，下列说法正确的是( ) A.两圆的公共弦所在直线的方程为 B.圆O上有2个点到直线的距离为 C.两圆有两条公切线 D.点E在圆O上，点F在圆M上，的最大值为 8.（多选）若点P在圆上，点Q在圆上，则下列说法正确的有( ) A.的最小值为0 B.的最大值为7 C.两个圆心所在直线的斜率为 D.两个圆的相交弦所在直线的方程为 9.已知圆，圆.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得，则实数a的取值范围为__________. 10.圆的方程为，圆的圆心为点. （1）若圆与圆外切，求圆的方程； （2）若圆与圆交于A，B两点，且，求圆的方程. 11.如图，已知圆和点，由圆O外一点向圆O引切线PQ，Q为切点，且. （1）求证：. （2）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试求出半径最小的圆的方程. 答案以及解析 知识清单 1.两 内切 外离 内含 2.相交 一 相离 例题讲解 解法 1（代数法） 将两圆方程联立 上下两式相减消去和 项，得到，即 . 把代入圆方程并整理得. 计算方程根的判别式，这表明方程有两个不相等实数根 ，，也就意味着两圆有两个公共点，所以两圆相交. 这里不需要具体求出公共点坐标. 解法 2（几何法） 把圆 的方程化成标准方程，可得圆心，半径 ；圆的方程化成标准方程，圆心，半径. 计算圆心距 ，两半径之和 ，两半径之差 . 因为，即，所以两圆相交. 例题2 分析：以线段的中点为原点，所在直线为轴，线段 的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. 由，得 ，. 设点 的坐标为 ，由 ，可得. 化简求解：对等式两边平方并化简，， 展开得，配方为. 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆. 判断位置关系：圆的圆心，半径 ，点 轨迹圆的圆心 ，半径 ，圆心距. 因为 ,所以点的轨迹与圆 相交. 课堂练习 1.答案：C 解析：圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为2.依题意有，即，解得或.故选C. 2.答案：A 解析：依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆C半径的最小值为. 故选：A. 3.答案：D 解析：因为圆与圆:有且仅有2条公切线， 所以圆与圆相交， 所以， 所以或. 故选：D. 4.答案： 解析：两圆的圆心分别为，，半径分别为，.两圆相切，包括内切和外切两种情况.当两圆外切时，，解得；当两圆内切时，必有，所以，解得.所以当时，两圆相切. 5.答案：（1）或 （2） （3）m的值为或或或2 解析：把圆，圆的方程化为标准方程，得圆， 其圆心为，半径为3，圆， 其圆心为，半径为2. （1）如果圆与圆外切，那么， 整理得，解得或， 即当或时，两圆外切. （2）如果圆与圆内含，那么， 整理得，解得，即当时，两圆内含. （3）如果圆与圆只有一个公共点，那么两个圆相切， 因此或， 解得或或或， 即当m的值为或或或2时，两圆只有一个公共点. 课后练习 1.答案：C 解析：圆，化为，圆心为，半径为；圆，化为，圆心为，半径为.两圆心距离为，因为，所以圆与圆相交.故选C. 2.答案：B 解析：两圆的圆心分别为，，半径分别为，，圆心距， 所以，所以两圆相交，有2条公切线.故选B. 3.答案：B 解析：因为，，所以，且两圆的半径分别为，，，即两圆外离，所以的最小值为.故选B. 4.答案：C 解析：如图，构造圆，当圆O与圆M有公共点P时，，即圆O与圆M的关系可以为相切或相交，所以解得.故选C. 5.答案：A 解析：如图，连接OM，CD.则，所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上.设线段CD的中点为N，则，且.因为当A，B在圆O上运动时，始终有为锐角，所以以O为圆心，1为半径的圆与以N为圆心，2为半径的圆外离，故，解得或，即a的取值范围为.故选A. 6.答案：CD 解析：圆O的圆心为，半径为，圆M的圆心为，半径， 由题意得，圆O与圆M的半径之和为，半径之差为0，因为，所以圆O与圆M相交. 由题意得，因为圆O与圆M的半径相等，所以公切线的斜率为2. 设公切线的方程为，即，由，得， 所以公切线的方程为或.故选CD. 7.答案：BCD 解析：因为圆，所以圆心，半径为， 因为圆，可化为，所以圆心，半径为.对于A，两圆的方程作差得，即，所以两圆公共弦所在的直线方程为，故A错误； 对于B，圆心到直线的距离为，则， 所以圆O上有2个点到直线的距离为，故B正确； 对于C，因为，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故C正确； 对于D，，故D正确.故选BCD. 8.答案：BC 解析：根据题意，圆，其圆心，半径. 圆，即，其圆心，半径. 圆心距，两圆外离，则的最小值为，最大值为，故A错误，B正确. 对于C，已知圆心，圆心，则两个圆心所在直线的斜率，C正确. 对于D，因为两圆外离，所以不存在相交弦，D错误.故选BC. 9.答案： 解析：由题意，得，，又，，所以四边形OAPB为正方形.所以，所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，方程为.若圆M上存在点P，则圆与圆有公共点，所以，所以，所以. 10.答案：（1） （2）或 解析：（1）因为圆的方程为， 所以圆的圆心坐标为，半径为2. 又因为圆的圆心为点，所以圆心距为. 又圆与圆外切，所以所求圆的半径为， 所以圆的方程为. （2）设圆的方程为. 因为圆的方程为， 所以两圆的方程相减得两圆公共弦AB所在直线的方程，为. 圆心到直线AB的距离为，解得或. 故圆的方程为或. 11.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：连接OP. 为圆O的切线， . 在中，.又， ，即， 整理，得，. （2）由（1）知，则点P在直线上移动. 圆心O到直线的距离， 即. 若以点P为圆心作圆，使它与圆O有公共点， 则半径最小的圆与圆O相外切， 此时圆的半径，. 由得即取最小值时，， 所求圆的方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $