2.5.1 直线与圆的位置关系 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5.1·直线与圆的位置关系 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、掌握直线与圆位置关系的判定方法，包括几何法和代数法 2、能根据直线与圆的位置关系，解决相关问题 3、体会用代数方法研究几何问题的思想 通过直线与圆位置关系的判定及相关问题解决，培养数学抽象、逻辑推理素养；运用几何法和代数法分析位置关系，提升数学运算、直观想象素养 重点 直线与圆位置关系的两种判定方法 用几何法和代数法解决直线与圆位置关系的相关问题 难点 深入理解几何法和代数法的内在联系 解决含参数的直线与圆位置关系问题 新知识导入 提问：在初中我们是如何判断直线与圆的位置关系的？今天我们将类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系. 知识清单 知识点一 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有_____________个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点_____________； （3）直线与圆相离，没有公共点_____________. 2.直线与圆的位置关系的判断：要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的_____________，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得_____________. 例题讲解 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长． 总结 方法对比：引导学生对比代数法和几何法，思考两种方法的优缺点. 代数法从方程解的角度出发， 几何法更直观地利用圆心到直线的距离与半径的关系. 例2 过点作圆的切线，求切线的方程． 例3：图2.5 - 3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到）. 课堂练习 1.直线与圆的位置关系是( ) A.相交且过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 2.已知直线与圆和圆都相切，则k的值为( ) A. B. C. D. 3.已知直线，圆，P为C上一动点，则P到l的最小距离为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.（多选）圆心在x轴上，半径为2，且与直线相切的圆的方程可能是( ) A. B. C. D. 5.若直线平分圆，则_____________. 课后练习 1．已知点在圆内，直线m是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为，则( ) A.且与圆相离 B.且与圆相切 C.且与圆相交 D.且与圆相离 2.过直线上一点P作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于直线对称时，线段PA的长为( ) A.4 B. C. D.2 3.若圆C的半径为1，圆心在第三象限，且与直线和y轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 4．当圆截直线所得的弦长最短时，实数( ) A. B.1 C. D. 5.如果实数x，y满足，那么的最大值是( ) A. B. C. D. 6．若圆与x轴相切，则这个圆截y轴所得的弦长为( ). A. B. C.6 D.8 7.（多选）已知圆，点，则下列说法正确的有( ) A.若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为 B.若点P在圆O外，则直线与圆O相交 C.若点P在圆O内，则直线与圆O相交 D.若点P在圆O外，则直线与圆O位置关系不确定 8.已知圆M：，直线交圆M于A、B两点，点，则三角形面积的最大值为__________. 9.已知两个定点,,动点P满足.设动点P的轨迹为曲线E,直线. (1)求曲线E的方程; (2)若直线l与曲线E交于不同的C,D两点,且（O为坐标原点）,求直线l的斜率; (3)若,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点为M,N,探究：直线MN是否过定点. 10.已知直线,,圆C以直线,的交点C为圆心,且过点 (1)求圆的方程; (2)若直线与圆C相切,求t的值; (3)求圆上的点到直线的距离的最大值. 答案以及解析 知识清单 1.两 2.解的个数 弦长 例题讲解 联立直线与圆的方程 消去，得 引导学生分析：通过判断此方程实数解的个数，来确定直线与圆公共点的个数，进而判断位置关系. 解得，． 有两个实数解，所以直线与圆相交. 求出交点坐标：把得，． 分别代入直线方程得，．交点为,, 再利用两点间距离公式求弦长. . 几何法： 对于圆，先化为标准方程，得出圆心坐标，半径为. 根据点到直线距离公式，计算圆心到直线的距离 总结：比较与的大小， 时直线与圆相交； 时直线与圆相切； 时直线与圆相离. 若相交，可利用垂径定理求弦长 例题2 解法1（几何法）： 设切线的斜率为，则切线方程为， 即. 由圆心(0,0)到切线的距离等于圆的半径1， 根据点到直线距离公式，解得或， 所求切线方程为或. 解法2（代数法）： 设切线的方程为，与圆方程联立，消元得到. 因为直线与圆相切，此方程只有一个解，所以，解得或，进而得到切线方程. 引导学生思考：如果点在圆上，切线方程又如何求？ 例题3 步骤一：建立平面直角坐标系：以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. 则 步骤二：求圆的方程：设圆的方程为，因为圆心在轴上，所以，圆过和两点，将其代入方程可得 解，． 圆的方程为 步骤三：求支柱高度：已知的横坐标为- 2，将 - 2代入圆的方程，即，因为，所以，支柱的高度约为3.86m． 课堂练习 1.答案：D 解析：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交但不过圆心， 故选：D. 2.答案：C 解析：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切，则，解得，. 故选：C. 3.答案：A 解析：圆的圆心C的坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线l与圆C相离， 所以圆上动点P到l的最小距离为. 故选：A. 4.答案：AC 解析：依题可设圆心坐标为， 由题意得圆心到直线的距离为2， 即，解得， 所以圆的方程为：或， 故选：AC. 5.答案：2 解析： 化为：， 所以C的圆心为， 因为直线平分圆， 所以l经过C的圆心， 则，解得，经检验符合题意. 故答案为：2. 课后练习 1．答案：A 解析：直线m以M为中点，直线m的斜率， 直线m的方程为：，即，则， 在圆内，， 则圆心到直线l的距离，与圆相离. 故选：A. 2.答案：C 解析：如图所示，圆心，连接CP，CA，因为直线，关于直线对称，所以CP垂直于直线，故，而，则.故选C. 3.答案：A 解析：设圆心（，），圆， 依题意有，圆心到直线的距离为，解得或（舍去）. 所以圆C的标准方程为. 故选A. 4．答案：D 解析：圆，即，圆心为，半径， 直线，即，令，解得，即直线l恒过定点， 又，所以点M在圆C内部， 所以当直线l时弦长最短，又，所以，即，解得； 故选：D. 5.答案：D 解析：将圆的一般方程化为标准方程，得，则该圆的圆心为点，半径为.的几何意义是圆上一点与点连线的斜率，如图.结合图像易知，当过原点的直线斜率为正，且与圆相切时，斜率最大，即最大.设此时直线的倾斜角为，则，所以的最大值为.故选D. 6．答案：D 解析：由圆，可得圆心，半径为r， 因为圆C与x轴相切，可得，即， 所以圆心到y轴的距离为， 则圆C截y轴所得的弦长为. 故选：D. 7.答案：AB 解析：对于A，点P在圆O上，则，因为点P的坐标满足，故直线过点P.又点到直线的距离，故直线与圆O相切.综上所述，若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为，A正确. 对于B，D，点P在圆O外，则，又点O到直线的距离，故直线与圆O相交，所以B正确，D错误. 对于C，点P在圆O内，则，又点O到直线的距离，故直线与圆O相离，C错误. 故选AB. 8.答案： 解析：的圆心，半径为3， 则到直线的距离为，解得， 到直线的距离为， ，故， 令，由于，故， 则， 当时，取得最大值，最大值为. 故答案为：. 9.解析：(1)设点P的坐标为,则由,得,平方可得, 整理得,曲线E的方程为. (2)直线l的方程为, 依题意可得为等腰直角三角形, 则圆心到直线l的距离,. (3)由题意可知,O,Q,M,N四点共圆且在以OQ为直径的圆上, 设Q,以OQ为直径的圆的方程为, 即 又M,N在曲线上, MN的方程为, 即, 由得. 10.解析：(1)联立直线,即. 圆的半径, 所以圆的方程为：. (2)因为直线与圆C相切, 到直线的距离, 解得. (3)到直线的距离, 所以圆C上点到直线距离的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $