重难点02：四边形综合（7大类型+拔优特训）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

重难点02：四边形综合专题训练 导航 类型1：直角三角形斜边上的中线 类型2：利用特殊平行四边形的对称性求面积… 类型3：中点四边形… 类型4：四边形中的动点问题… …16 类型5：四边形中的最值问题… ……25 类型6：垂美四边形……39 类型7：四边形其它综合问题…45 拔优特训… ……61 类型 类型1：直角三角形斜边上的中线 1,如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AB=8,则CD的长为() B A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】D 【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点， .CD=AB=4. 故选：D 2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，若∠C=30, AE=4,则AD的长度为() 1/89 A.3 B.23 C.1 D.2 【答案】B 【解析】解：在Rt△ABC中，E是BC的中点，AE=4, 则BC=2AE=2×4=8, 在Rt△ABC中，∠C=30°， 则AB=BC=4, 由勾股定理得：AC=VBC2-AB2=V⑧2-42=4W3, 在Rt△ADC中，∠C=30°， 则AD=AC=23, 故选：B. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，∠B=25°，则LADC的度数 是 D B 【答案】50 【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点， CD BD, .∠B=∠BCD=25°， ∴.∠ADC=∠B+∠BCD=50°， 故答案为：50 4.如图，△ABC中，∠ACB=90°.按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大 于AB的长为半径画弧，两弧交于点M、N;②作直线MN交AB于点D,③连接CD.设BC=Q ,AC=b,若a+b=6,ab=4,则CD的长为· M米 2/89 【答案】V7 【解析】解：根据作图过程可知点D是AB的中点， 在Rt△ABC中，CD是中线， CD=AB. 根据勾股定理得a2+b2=AB2,且a+b=6,ab=4, ∴4B2=(a+b)2-2ab=62-2×4=28, 解得AB=2y7, CD=2×2V7=V7. 故答案为：7. 5,如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，ED⊥BC于点D,交BA的延 长线于点E,若LE=35°，求LBDA的度数. B 【答案】70° 【解析】解：~ED⊥BC, ∠EDB=90°. LE=35°， ∠B=90°-∠E=55°. ∠BAC=90°，AD是边BC上的中线， DA=BC=BD, ∠BAD=∠B=55°， ∠BDA=180°-∠BAD-∠B=70°. 6.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD I BC,AB‖DC. 3/89 (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)E是AD上一点，F是BC的中点，连接BE,CE,EF.若LBEC=90°，BC=13,求EF的长， 【答案】(1)见解析 (2)6.5 【解析】(1)证明：AD IBC,AB ICD, :四边形ABCD是平行四边形. .ABC=90, :四边形ABCD是矩形. (2)解：LBEC=90°，点F是BC的中点， EF=BC=x13=6.5. 类型2：利用特殊平行四边形的对称性求面积 1.如图，在一块长为a,宽为2b的长方形铁皮中，若a=4,b=1时，则剩下的铁皮的面积 (π取3)为( a A.5 B.7 C.8 D.12 【答案】A 【解析】解：剩下的铁皮的面积=长方形的面积-圆的面积， S=2ab-πb2 =5 故选：A. 2.如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，针对四边形ABED与四边形ACFD,下 列说法正确的是() 4/89 A.周长与面积都相等 B.周长等，面积不等 C.周长不等，面积等 D.周长面积都不相等 【答案】C 【解析】~△ABC沿BC方向平移得到△DEF, :四边形ABED与四边形ACFD均为平行四边形. ,AB≠AC :四边形ABED与四边形ACFD周长不相等 ~四边形ABED与四边形ACFD底边同为AD,且高相等， :四边形ABED与四边形ACFD面积相等 故本题选择C 3.如图，点E,F分别是矩形ABCD的边CD,AB的中点，两条平行线AK,CL分别经过菱形 EGFH的顶点H,G和边FG,EH的中点M,N,己知菱形EGFH的面积为S,则图中阴影部分 的面积和为 (用含S的代数式表示) 【答案】S 【解析】解：如图，连接EF、GH交于点O,设EF交NG于点R,交AK于点T,连接AG, ~四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,ABIICD,∠D=90°， ~E、F分别是CD、AB的中点， .DE-CD.AF-AB, 1 .DE=AF, DEMAF, .四边形ADEF是平行四边形， 5/89 ∠D=90°， ·四边形ADEF是矩形， ∴.EFIAD,EF=AD,∠AFE=90°， ~四边形EGFH是菱形， ∴GH⊥EF,OG=OH=GH, ∠E0G=90°， ∴∠EOG=∠AFE, ∴GHIAF, ∴.∠GHM=∠FAM, ~点M是FG的中点， ∴GM=FM, (∠GHM=∠FAM 在△HGM和△AFM中， ∠GMH=∠FMA, GM=FM ∴.△HGM≌△AFM(AAS), .GH=AF, GH=AB, 0G=,0E=0R,0GAP, ∴点G是矩形ADEF的中心，即A、G、E三点在同一条直线上， .AG=EG, EFWAD, ∠LAG=∠REG, ∠LAG=∠REG 在△AGL和△EGR中， AG=EG ∠AGL=∠EGR ∴.△AGL兰△EGR(ASA), ∴.AL=ER, AKIICL,ALIICK, ∴四边形ALCK是平行四边形， 同理，四边形ALRT是平行四边形， ∴.AL=RT=CK, 6/89 .ER=RT, 同理可得，RT=FT, ER=RT=FT=EF=AD, ~菱形EGFH的面积为S, .EF.GH=2S, AD·AB=4S, AL=AD, SEALCK=AL·AB=3AD·AB=S, 1 SOGMHN =S, 1 5 6 故答案为：s」 6 4,将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是 正方形A面积的号，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积 的 图1 【答案】 【解析】将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，阴影部分恰 是正方形B的好阴影部分面积是正方形A面积的后即2=：将正方形A与B按图2放 置，则阴影部分正方形A的所以阴影部分面积是正方形®面积的时2P=4×合品 5.如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部 分的面积为平方厘米。 7/89 D B 【答案】5 【解析】解：如图所示，连接FB,则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积 相等，二者都减去公共部分（△BFH)则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相 等 1 1 S阴影=23小正方形=之×10=5 C B 6,如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数” 例如：8=32-12,16=52-32,24=72-52；则8、16、24这三个数都是奇特数 D (1)填空：32 奇特数，2018奇特数.（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数.，按此规律拼叠到正方形ABCD, 其边长为403，求阴影部分的面积. 【答案】(1)是，不是 (2)81608 【解析】(1)解：32=92-72 32是奇特数； 8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是8的倍数，而2018不是8的倍数 2018不是奇特数； 故答案为：是，不是， (2)S阴=32-12+72-52+112-92+…+4032-4012 8/89 =(3-1)(3+1)+(7-5)(7+5)+(11-9)(11+9)+…(403-401)(403+401) (1+403)×202 =2× 2 =81608 类型3：中点四边形 1.顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，则对角线互相垂直的 四边形ABCD的中点四边形的形状是() 0 C A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 【答案】A 【解析】解：如图 G 由题意得：AC⊥BD, E、F分别是AB、BC边的中点， .EF =AC,EF AC, 同理HG=AC,HGAC,. ..EF HG,EF WI HG, .四边形EFGH是平行四边形， E、H分别是AB、AD边的中点， ..EH WI BD, AC⊥BD,EF AC,EH I BD, EF⊥EH, 9/89 :四边形EFGH是矩形； 故选：A 2.如图，己知矩形ABCD的邻边长分别为a、b,进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A1B1C1D1;第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到 四边形A2B2C2D2.则第2025次操作后，得到四边形A2025B2025C2025D2025的面积是（) D D, B ab ab ab ab A.22023 B.2025 C.22024 24050 【答案】B 【解析】解：如图，连接A1B1C1D1, D D D. C B B ~顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B,C1D1, 四边形A1BCC1是矩形， ∴A1C1=BC,A1C1lBC. 同理，B1D1=AB,B1D1‖AB, A1C11B1D1, S1=b, ~顺次连接四边形A1B1C1D1,各边的中点，得到四边形A2B2C2D2, C2D2=AiC1,A2D2=BiD1, 1 1 S2=A1C1×B1D1=4ab, 依此可得Sn=2 b ab 四边形A2025B2025C2025D2025的面积是S2025=202, 故选：B. 10/89 重难点02：四边形综合专题训练 导 航 类型1：直角三角形斜边上的中线……………………………………1 类型2：利用特殊平行四边形的对称性求面积………………………3 类型3：中点四边形……………………………………………………4 类型4：四边形中的动点问题…………………………………………6 类型5：四边形中的最值问题…………………………………………9 类型6：垂美四边形……………………………………………………12 类型7：四边形其它综合问题…………………………………………14 拔 优 特 训……………………………………………………………18 类 型 类型1：直角三角形斜边上的中线 1．如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 2．如图，在中，，是边上的高，是的中点，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点D是斜边的中点，，则的度数是 ． 4．如图，中，．按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N；②作直线交于点D；③连接．设，若，则的长为 ． 5．如图，在中， ，是边上的中线，于点，交的延长线于点，若 ，求的度数． 6．如图，在四边形中， (1)求证：四边形是矩形； (2)E是上一点，F是的中点，连接．若，求的长． 类型2： 利用特殊平行四边形的对称性求面积 1．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 2．如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 3．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为 ．（用含的代数式表示） 4．将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的 ． 5．如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 6．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 类型3：中点四边形 1．顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，则对角线互相垂直的四边形ABCD的中点四边形的形状是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 2．如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是 （只填代号） 4．如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ． 5．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 6．（1）如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形的形状为_________； （2）如图②点E，F，G，H分别是四边形各边中点，且对角线，判定四边形的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，请对四边形增添一个条件，使四边形为正方形．（直接写出所添条件） 类型4：四边形中的动点问题 1．如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．2或 D．2或 2．如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（    ） A． B．3 C．3或 D．或 3．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为 ． 4．如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为 ．      （1）                   （2） 5．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点A出发，以速度沿线段向终点B运动．过点P作交折线于点Q，以为边向右侧作正方形．设点P的运动时间为，正方形与四边形重叠部分图形的面积为． (1)____________． (2)当点M与点C重合时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 6．综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 7．如图，在矩形中，是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为，其中． (1)若分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形？请说明理由． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． (3)在（1）的条件下，若两点运动的同时，点向点运动，点向点运动，且与点的速度相同，点运动到点时，四点都停止运动．当四边形是菱形时，求的值． 类型5：四边形中的最值问题 1．如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 2．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 3．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是 ． 5．在矩形中，，E为边中点，连接，P为上动点，F为中点，则的最小值为 ． 6．数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 7．平行四边形中，点在边上，连接，点在线段上，连接，． (1)如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度． (2)如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交延长线于点．若，请写出线段，，的数量关系并说明理由． (3)如图3，已知，若，，请直接写出的最小值． 8．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 类型6：垂美四边形 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 2．如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 3．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如：在如图1中，四边形的对角线与互相垂直，故四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？说明理由． (2)性质探究：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，与是垂美四边形的两组对边．求证：； (3)解决问题：如图3，在中，，分别以的斜边和直角边为边向外作等腰和等腰，使得，连接．若，则的值为_______． 4．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 类型7：四边形其它综合问题 1．如图，矩形的面积为288，分别是边的三等分点，若，则阴影四边形的周长为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．40 2．如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论：①；②；③；④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．长相等的两个正方形、如图摆放，正方形的边、在坐标轴上，交线段于点，的延长线交线段于点，连，已知长为，，，在直线上找点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为 ．    3．如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 ．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 ． 4．（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》中有这样的问题：如图1正方形的边长为1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明和小丽同学分别探究出了如下两种解题思路： 小明：如图a，证明，则，这样，可实现四边形的面积向面积的转化； 小丽：如图b，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 （填一个数值）； （2）【类比探究】 如图2，若将（1）中的“正方形”改为“含的菱形”，即，当绕点O旋转时，的边交边于点M，交边于点N． 请猜想： ①线段与之间的数量关系是 ； ②四边形与菱形的面积关系是 ； 5．定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”． (1)操作判断： 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）； (2)性质探究： ①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为______，的度数为______； ②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：； (3)四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出对角线的长． 6．定义：一组对角互补且对角线平分四边形其中一个内角，这样的四边形称为余缺四边形．如图1，在四边形中，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用____________（填序号）可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形； 【迁移应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于点，连接． （2）求证：四边形为余缺四边形； （3）若，则的值为____________．        拔优特训 1．我们知道：一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，那么顺次连接某个筝形各边中点得到的图形一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．以上都有可能 2．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 3．如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 5．如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，已知正方形的边长为3，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 7．小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，矩形中，已知，F为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③当时，则；④的最小值为10．其中正确的结论个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 10．如图，在矩形中，是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 11．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF． （1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为 ； （2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为 ． 12．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是 ． ①；②；③；④；⑤．    13．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 14．已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 15．如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 16．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． （1）填空：32___________奇特数，2018_________奇特数．（填“是”或者“不是”） （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 17．矩形中，，，是边上一点，且． （1）如图1，当在边上时，求的长； （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，为的中点，直接写出的最小值为_________． 18．已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)如图2，如果，求的面积； (2)如图1，若不平行于，求证：四边形是等腰梯形； (3)如果，当是直角三角形时，求的长． 19．如图1，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点，，垂足为，连接，．    (1)求证：四边形为菱形； (2)求的长； (3)如图2，动点P，Q分别从A、C两点同时出发，即点P自停止，点Q自停止，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 20．【问题情境】：如图，在中，，于，，，求的长． 【问题解决】小明同学是这样分析的：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，延长、相交于点，设为，在中运用勾股定理，可以求出的长．    （1）说明四边形是正方形； （2）求出的长． 【方法提炼】请用小明的方法解决以下问题： （3）如图，四边形中，，，，，求的最大值． （4）如图，四边形中，，，点是上一点，且，，，则的最大值为 （直接写出结果） 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $