1.3 正方形的性质与判定（14题型+针对训练）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第1章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 命题1：正方形性质的理解……………………………………………2 命题2：利用正方形的性质求角度……………………………………3命题3：利用正方形的性质求线段长…………………………………5 命题4：利用正方形的性质求面积……………………………………7 命题5：正方形折叠问题………………………………………………8 命题6：正方形重叠部分的面积………………………………………10 命题7：根据正方形的性质进行证明…………………………………13命题8：正方形判定定理的理解………………………………………17 命题9：添加一个条件使四边形为正方形……………………………19 命题10：根据正方形的性质与判定求角度…………………………20 命题11：根据正方形的性质与判定求线段长………………………23 命题12：根据正方形的性质与判定求面积…………………………26 命题13：根据正方形的性质与判定证明……………………………29命题14：证明四边形是正方形………………………………………34 针 对 训 练………………………………… ………………………36 命题1： 正方形性质的理解 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．四条边都相等 B．对角线互相垂直且平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】解：A、正方形和菱形的四条边都相等，则此项不符题意； B、正方形和菱形的对角线都互相垂直且平分，则此项不符题意； C、正方形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，则此项符合题意； D、正方形和菱形的对角线都平分一组对角，则此项不符题意； 故选：C． 2．如图，的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为 ．    【答案】48 【解析】解：由题意得：正方形的面积为， ∴正方形的边长为12， ∴周长为． 故答案为：48． 3．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:． 【答案】证明见解析． 【解析】解：是正方形， ，， 在与中， 命题2：利用正方形的性质求角度 4．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 5．如图，在正方形中，，交于点，则的度数为 ． 【答案】/80度 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F． (1)尺规作图：在图中求作点E，使得EF=EC；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．    【答案】（1）作图见解析；（2）∠BCF=67.5°. 【解析】解：（1）如图，点E即为所求． （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD． ∴∠DBC＝∠CDB＝45°， ∵EF⊥BD， ∴∠BFE＝90°． 由（1）得EF＝EC，BE＝BE， ∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL） ∴BC＝BF． ∴∠BCF＝∠BFC， ∴∠BCF＝(180°−∠FBC)＝67.5°．    命题3：利用正方形的性质求线段长 7．对角线长为4cm的正方形其边长为（　　） A．2cm B．cm C．4cm D．cm 【答案】B 【解析】解：设这个正方形的边长为x cm， 则， 解可得cm； 则它的边长是cm； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，理解对角线长，边长之间的关系是解题关键． 8．如图，在正方形ABCD中，，E是AD的中点，点A关于BE的对称点为F，则DF的长为 ． 【答案】 【解析】解：连接AF，交BE于点G， 由题意可知，， 在中，由勾股定理可得 ， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴为直角三角形， 由勾股定理可得， 故答案为：． 9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB于点F，求EF的长． 【答案】EF= 4-2． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°． ∵∠BAE=22.5°， ∴∠DAE=67.5°， ∴∠DEA=67.5°． ∴DA=DE， ∵正方形的边长为4， ∴DE=AD=4，BD=4  ． ∴BE=4-4． ∴EF= BE= （4 -4）=4-2． 故答案为EF= 4-2． 命题4：利用正方形的性质求面积 10．如图，正方形的边在正方形的边上，边在下方，连接，若，则四边形（阴影部分）的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的四边相等是解题的关键．由正方形的性质可得，，由梯形的面积公式即可求解． 【解析】解：四边形和四边形都是正方形， ，， 四边形（阴影部分）的面积． 故选：C． 11．如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是 ． 【答案】1 【解析】解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合， ∴△AOE≌△BOF， ∴S△AOE＝S△BOF， ∴四边形BEOF面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1， 故答案为：1． 12．如图，大正方形与小正方形的面积之差是，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为25 【解析】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 故阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD） ＝（AB﹣BE）（BC+BD） ＝（a﹣b）（a+b） ＝（a2﹣b2） ＝×50 ＝25． 故阴影部分的面积为25． 命题5：正方形折叠问题 13．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CB1的长为（　　） A．cm B．cm C．8cm D．10cm 【答案】B 【解析】解：∵∠AB1E＝∠B＝90°，∠BAB1＝90°， ∴四边形ABEB1为矩形， 又∵AB＝AB1， ∴四边形ABEB1为正方形， ∴BE＝AB＝6cm， ∴EC＝BC﹣BE＝2cm， ∴CB1＝cm． 故选B． 14．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAD'=33°，则∠CAE的度数为 【答案】6°/6度 【解析】解：设∠CAE=α， 根据折叠的性质知∠DAE=∠D'AE=∠CAE+∠D'AC=α+33°， ∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠CAD=45°，即∠DAE+∠CAE=α+33°+α=45°， 解得：α=6°， ∴∠CAE的度数为6°， 故答案为：6°． 15．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：根据翻折的性质，，， 又，，， ，， 在和中，， ． （2）证明：如图，连接，交于点． 由（1）知， ，, 又， ， ， ， ， 点为中点． 命题6：正方形重叠部分的面积 16．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 17．如图，两个边长为a的正方形重叠，其中一个的顶点在另一个的对角线的交点上，则重叠部分的面积为 平方单位． 【答案】 【解析】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝a2， ∴重叠部分的面积为a2， 故答案为a2． 18．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 【答案】(1) (2)面积不发生变化，理由见解析 【解析】（1）解：如图1，四边形和四边形都为正方形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 故答案为：； （2）解：四边形的面积不发生变化． 理由如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积； 即四边形的面积不发生变化． 命题7：根据正方形的性质进行证明 19．如图，E、F、G分别是正方形边、、的中点，交于H点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【解析】解：①正确；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵E、F、分别是正方形边、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴． ②正确；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵G是的中点， ∴． ③正确；理由如下： ∵E、F、分别是正方形边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． ④不正确；理由如下： ∵与不平行， ∴， ∴， 正确的是①②③， 故选：A． 20．如图所示，是正方形对角线上任意一点，过点作，垂足分别为、，连接，给出下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论有(填序号) ． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正确证明，以及理解的任意性是解决本题的关键．连接，根据正方形的对角线平分一组对角可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，对应角相等可得，再根据矩形的对角线相等可得，于是得到结论． 【解析】解：如图，连接，在正方形中，，， 在和中， ， ， ，， 又，， 四边形是矩形， ，， ，，故①②正确； 是正方形对角线上任意一点，是正方形的边长， 不一定成立，故③错误， 故答案为：①②． 21．如图，在正方形中，是边上的一点，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接． 求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：连接， 四边形是正方形， ，， 点关于直线的对称点为， ∴△ABE≌△AFE， ，， ， 在和中， ，， ∴Rt△AFG≌Rt△ADG(HL)， ． 命题8：正方形判定定理的理解 22．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误； B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确； C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误； D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误； 故选：B． 23．如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】解：∵矩形， ∴补充， ∴矩形是正方形； 故答案为：． 24．已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． 【解析】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． 命题9：添加一个条件使四边形为正方形 25．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（    ） A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC 【答案】A 【解析】A. OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，能判定； B. AB∥CD，AC＝BD，不能判定； C. AD∥BC，∠A＝∠C，不能判定； D. OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC，不能判定； 故答案为：A． 26．四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由： 的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【解析】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 27．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．    【答案】详见解析 【分析】先证明，则平行四边形为矩形，再证明，即可得到结论． 【解析】证明：四边形为平行四边行， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 平行四边形为矩形， 为的平分线， ， ∴， ， ∴平行四边形为正方形 命题10：根据正方形的性质与判定求角度 28．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（    ） A．135° B．90° C．75° D．60° 【答案】D 【解析】连接BC， ∵AC、AB、BC是正方形的对角线， ∴AC=AB=BC， ∴△ABC为等边三角形． ∴∠BAC=60°． 故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、正方形与正方形的性质；证明△ABC为等边三角形是解题的关键． 29．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 【答案】135 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 30．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【答案】65° 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 在和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 命题11：根据正方形的性质与判定求线段长 31．如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质即可得到四边形是矩形，四边形是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到和 ，进而得到，从而得到的长度． 【解析】解：延长于交于点， ∵在正方形中， ∴，，， ∴， ∴， ∵为垂足， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 32．如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .    【答案】 【分析】判定四边形是正方形，即可得到，再根据，即可利用勾股定理求得的长． 【解析】解：如图所示，连接，    由折叠可得，， 又， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，， 又， ， 由折叠可得，， 中，， 故答案为：． 33．如图，正方形ABCD，CEFG的边长分别为a，b，点G在边CD上，这两个正方形的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，求DG的长． 【答案】3 【分析】设BC为x，CE为y，利用面积之差为51cm2，且BE＝17cm，得出方程解答即可． 【解析】解：∵四边形ABCD，CEFG都是正方形， 设BC为x，CE为y， 可得：， 解得：x−y＝3， ∴DG＝CD−CG＝BC−CE＝3（cm）． 命题12：根据正方形的性质与判定求面积 34．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【解析】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 35．如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为 ．    【答案】4 【分析】直接利用翻折变换的性质再结合等边三角形的判定方法得出的长，再证明出四边形是正方形，进而求出答案． 【解析】解：∵将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形，   ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵四边形，是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题考查菱形的性质，翻折变换的性质等知识，准确判断四边形是正方形是解题关键． 36．如图，，平分，直角三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角分别与相交于点C、D． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）过P分别作于E，于F，根据角平分线的性质，可得，可证得，即可； （2）先证得四边形是正方形，根据，从而得到，即可求解． 【解析】（1）证明：过P分别作于E，于F， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正方形的判定和性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 命题13：根据正方形的性质与判定证明 37．如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，可证，，，，由此即可求解． 【解析】解：正方形中，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，，为公共边， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∵与是等底等高的两个三角形， ∴与的面积相等，，即， ∵，， ∴，故结论③正确； 由结论①，②可知，， ∵， ∴， ∴．故结论④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：． 38．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②③ 【分析】①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2． 【解析】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝4． ∴DE＝AC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． 39．如图1，已知在中，平分，交于点E，过点E作，交于点F，O是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示： ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】对于（1），根据平行四边形的性质得，可知四边形是平行四边形， 再根据平行线的性质和角平分线的定义得，然后说明,可得结论； 对于（2），①先说明四边形是正方形，可得，进而得出，再说明四边形是矩形，可得，接下来证明，可得，则答案可证； 对于②，取的中点M，连接，根据中位线的性质得，再根据正方形的性质得，进而求出，然后由（2）①得，结合直角三角形的性质得出答案. 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴. ∵平分, ∴. ∵， ∴, ∴四边形是菱形； （2）①证明：∵，四边形是菱形, ∴四边形是正方形． 又∵O是的中点． ∴. ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴. ∵，，, ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即． ②解：如图，取的中点M，连接，则是的中位线． ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴，． 又∵， ∴. 由（2）①得， ∴， 在中， ∴． 命题14：证明四边形是正方形 40．如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列添加的条件错误的是（    ） A．①有一个角是直角 B．②有一组邻边相等 C．③对角线相等 D．④有一个角是直角 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握各个的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理进行求解． 【解析】解：解：A、有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法不正确，符合题意； D、有一个角为直角的菱形是正方形，正确，不符合题意； 故选：C． 41．如图，在矩形中，有以下结论：①是等腰三角形；②；③；④；⑤当时，矩形会变成正方形．正确的结论是 ．    【答案】①②③⑤ 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC= BD，AO= CO，BO= DO， 故③正确； ∴AO= BO， ∴△AOB是等腰三角形，故①正确； 设点A到BD的距离为h， 则 ， 故②正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC= BD，但是AC不一定和BD垂直， 故④错误； ∵∠BAD= 90°， ∴当∠ABD= 45°时，∠ADB= 45°， ∴AB= AD， ∴矩形ABCD是正方形，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 42．小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不太方．商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱中沿对角线对折，让小颖检验（如图）．小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验．小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾．你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形吗？你认为用什么方法可以检验纱巾是不是正方形？ 【答案】不一定，如要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等． 【分析】根据正方形的判定定理求解即可．正方形的判定定理：1.对角线相等的菱形是正方形；2.对角线垂直的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形． 【解析】不能认为小颖买的这块纱巾一定是正方形． ∵菱形也满足要求，如要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等． 【点睛】此题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．正方形的判定定理：1.对角线相等的菱形是正方形；2.对角线垂直的矩形是正方形；3.有一个角是 针对训练： 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟记各判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理、矩形的判定定理和正方形的判定定理，平行四边形的判定定理，逐一判断即可得出结论． 【解析】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意； B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，错误，符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意． 故选：B． 2．夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质以及平行线的性质解答即可． 【解析】∵夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上， ∴∠BAD=90°，∠DFE=60°， ∵l1∥l2，A、D、F在一条直线上， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠DFE， 即∠1+90°=∠2+60°， 可得：∠2-∠1=30°， 故选B． 3．如图，在平行四边形纸片中，，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作于点，根据折叠的性质以及已知条件得出四边形是正方形，进而得出，在中，勾股定理，即可求解． 【解析】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ 又∵， ∴， 在中， ∴ ∵折叠， ∴ ∴， 在中， ∴在中，， 故选：D． 4．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值． 【解析】解：连接，，如图， 在中，， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 四边形是边长为9的正方形，， ，，， ， 解得． 故选：B． 5．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【解析】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 6．如图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个与图1中完全相同的直角三角形分别摆放为如图2、图3所示的图形，其中阴影小正方形的面积分别记为，则的值为（    ） A．9 B．4 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点． 设直角三角形另一直角边为a，然后分别用a表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可． 【解析】解：设直角三角形的另一直角边为a，则 ， ， ． 故选A． 7．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，勾股定理，掌握正方形的判定和性质以及勾股定理是解题的关键． 根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，，可用含a，b的式子表示，，再根据勾股定理即可求解． 【解析】解：根据题意，，，， ， 四边形是菱形， ， ，即， 四边形是正方形， ，， ∴设，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积是． 故选：B． 8．如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由正方形的性质得到，，再证明得到，由等边三角形的性质推出，，据此求出的度数，进而求出的度数，即可得到答案． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【解析】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10．如图，在中，，，于点D．点从点出发，沿→→的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题的函数图象的性质的应用．根据题意，分两段分别求，一是到的过程，二是到的过程，分别用含的式子表示出，再结合图象判断即可． 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∵于点D， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点P运动的路程为x， ∴当点P从点A出发，沿路径运动时，即时，， 则， ∴， ∵四边形的面积为y， ∴ ， ∴当时，抛物线开口向下； 当点P沿路径运动时， 即时， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴． ∴当时，抛物线开口向上， 综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A． 故选：A． 11．如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加的条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．依据正方形的判定定理进行判断即可． 【解析】解：四边形是菱形， 当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形为正方形， 当或时，菱形为正方形， 故答案为：或． 12．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形平行四边形、菱形、矩形的判定，即可求解， 本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 【解析】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④错误； 所以正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 13．如图，在矩形中，E是边上一点，F是的延长线上一点，连结，，已知． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，勾股定理，三角形全等的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积计算． （1）先证明，进而可依据“”判定和全等，则，由此可得出结论； （2）在中，根据已知得，则， ，由此可得四边形的面积． 【解析】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， ∴． 14．如图，在长方形中，是边上的一个动点，把沿折叠，点落在点处，当是直角三角形时，求的长． 【答案】或7 【分析】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、正方形的判定与性质，勾股定理等知识．注意分类讨论．分两种情况讨论：当时，如图，是直角三角形，则点共线，设，由翻折的性质和勾股定理求得；当时，是直角三角形，此时四边形是正方形，易得，当时，不符合题意，舍去． 【解析】解：∵四边形为长方形， ∴， ①当时，如图， ∵， ∴， ∴点共线． ∴，而， ∴． 根据折叠的性质，得， ∴． 设，则． 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当时，如图， ∴． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴． ③当时，不符合题意，舍去； 综上，或7． 15．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【解析】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 16．如图，在的网格中（每个小正方形的边长为1），每个小正方形的顶点叫作格点．已知点A在格点上，仅用无刻度的直尺，按以下要求画四边形，并使其各顶点都在格点上． (1)在图1中画一个以A为顶点，面积为6的平行四边形； (2)在图2中画一个以A为顶点，不是正方形的菱形； (3)在图3中画一个以A为顶点，面积最大的正方形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查格点作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）画一个底边为3，高为2的平行四边形即可； （2）根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形，作图即可； （3）根据点的位置，画出一个边长为的正方形即可． 【解析】（1）解：如图1，为所求平行四边形， （2）如图2，为所求菱形， （3）如图1，为所求正方形， 17．在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线，分别交于点F，E． (1)依据题意画出示意图； (2)求证：四边形为菱形； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解 (3) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边等等： （1）根据题意作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （3）先证明四边形是正方形，再根据正方形面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【解析】（1）解；如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）解：∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴四边形的面积为． 18．下列图形是由四块完全相同，底角为的等腰梯形拼接而成的平行四边形和正方形，如图（1）、（2）所示． (1)设图1中的阴影部分面积为，图2中阴影部分面积．请你用含、的代数式表示，． (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式． (3)当，，时，试利用这个公式计算的值． 【答案】(1)； (2)平方差公式 (3) 【分析】（1）先证明图1的面积为，再利用正方形的判定与性质可得； （2）结合（1）的结论可得答案； （3）利用平方差公式先计算，再代入数据计算即可； 【解析】（1）解：如图，作出等腰梯形的两条高，而， ∴四边形是矩形， ∴， ∵等腰梯形是轴对称图形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由四条边相等，四个角是直角的四边形是正方形可得图2的两个四边形是正方形， 由正方形的性质可得： （2）解：由（1）得：平方差公式； （3）解：∵ 当，，时， 原式； 【点睛】本题考查的是平方差公式的几何意义与应用，等腰梯形的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用等面积法证明乘法公式是解本题的关键． 19．【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【解析】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 过点F作于P，连接， 则四边形是矩形， ，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接， 正方形是轴对称图形，F为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由模型呈现知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ， ，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ， ，，， 则， 是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ． 故答案为：． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 命题1：正方形性质的理解……………………………………………2 命题2：利用正方形的性质求角度……………………………………2命题3：利用正方形的性质求线段长…………………………………3 命题4：利用正方形的性质求面积……………………………………4 命题5：正方形折叠问题………………………………………………4 命题6：正方形重叠部分的面积………………………………………5 命题7：根据正方形的性质进行证明…………………………………6命题8：正方形判定定理的理解………………………………………7 命题9：添加一个条件使四边形为正方形……………………………8命题10：根据正方形的性质与判定求角度……………………………9 命题11：根据正方形的性质与判定求线段长………………………10 命题12：根据正方形的性质与判定求面积…………………………10 命题13：根据正方形的性质与判定证明……………………………11命题14：证明四边形是正方形………………………………………12 针 对 训 练………………………………… ………………………13 命题1： 正方形性质的理解 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．四条边都相等 B．对角线互相垂直且平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．如图，的矩形分成四块后可拼成一个正方形，该正方形的周长为 ．    3．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:． 命题2：利用正方形的性质求角度 4．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，，交于点，则的度数为 ． 6．在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F． (1)尺规作图：在图中求作点E，使得EF=EC；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．    命题3：利用正方形的性质求线段长 7．对角线长为4cm的正方形其边长为（　　） A．2cm B．cm C．4cm D．cm 8．如图，在正方形ABCD中，，E是AD的中点，点A关于BE的对称点为F，则DF的长为 ． 9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB于点F，求EF的长． 命题4：利用正方形的性质求面积 10．如图，正方形的边在正方形的边上，边在下方，连接，若，则四边形（阴影部分）的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 11．如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是 ． 12．如图，大正方形与小正方形的面积之差是，求阴影部分的面积． 命题5：正方形折叠问题 13．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CB1的长为（　　） A．cm B．cm C．8cm D．10cm 14．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAD'=33°，则∠CAE的度数为 15．如图，正方形中，是边上的一点，将沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求证：为的中点． 命题6：正方形重叠部分的面积 16．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 17．如图，两个边长为a的正方形重叠，其中一个的顶点在另一个的对角线的交点上，则重叠部分的面积为 平方单位． 18．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________． (2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论． 命题7：根据正方形的性质进行证明 19．如图，E、F、G分别是正方形边、、的中点，交于H点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 20．如图所示，是正方形对角线上任意一点，过点作，垂足分别为、，连接，给出下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论有(填序号) ． 21．如图，在正方形中，是边上的一点，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接． 求证：． 命题8：正方形判定定理的理解 22．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 23．如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 24．已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 命题9：添加一个条件使四边形为正方形 25．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（    ） A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC 26．四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由： 的矩形是正方形． 27．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．    命题10：根据正方形的性质与判定求角度 28．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（    ） A．135° B．90° C．75° D．60° 29．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °． 30．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 命题11：根据正方形的性质与判定求线段长 31．如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 32．如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .    33．如图，正方形ABCD，CEFG的边长分别为a，b，点G在边CD上，这两个正方形的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，求DG的长． 命题12：根据正方形的性质与判定求面积 34．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 35．如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为 ．    36．如图，，平分，直角三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角分别与相交于点C、D． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 命题13：根据正方形的性质与判定证明 37．如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 38．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为 ． 39．如图1，已知在中，平分，交于点E，过点E作，交于点F，O是的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示： ①求证：； ②若，求的长． 命题14：证明四边形是正方形 40．如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列添加的条件错误的是（    ） A．①有一个角是直角 B．②有一组邻边相等 C．③对角线相等 D．④有一个角是直角 41．如图，在矩形中，有以下结论：①是等腰三角形；②；③；④；⑤当时，矩形会变成正方形．正确的结论是 ．    42．小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，非常想买，但当她拿起来时，又感觉纱巾不太方．商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱中沿对角线对折，让小颖检验（如图）．小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验．小颖发现这两次对折后两个对角都能对齐，终于下决心买下这块纱巾．你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形吗？你认为用什么方法可以检验纱巾是不是正方形？ 针对训练： 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2．夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形纸片中，，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 4．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 5．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 6．如图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个与图1中完全相同的直角三角形分别摆放为如图2、图3所示的图形，其中阴影小正方形的面积分别记为，则的值为（    ） A．9 B．4 C．1 D．0 7．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 8．如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 9．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 10．如图，在中，，，于点D．点从点出发，沿→→的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加的条件是 . 12．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有 ．（只填序号） 13．如图，在矩形中，E是边上一点，F是的延长线上一点，连结，，已知． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求四边形的面积． 14．如图，在长方形中，是边上的一个动点，把沿折叠，点落在点处，当是直角三角形时，求的长． 15．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 16．如图，在的网格中（每个小正方形的边长为1），每个小正方形的顶点叫作格点．已知点A在格点上，仅用无刻度的直尺，按以下要求画四边形，并使其各顶点都在格点上． (1)在图1中画一个以A为顶点，面积为6的平行四边形； (2)在图2中画一个以A为顶点，不是正方形的菱形； (3)在图3中画一个以A为顶点，面积最大的正方形． 17．在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线，分别交于点F，E． (1)依据题意画出示意图； (2)求证：四边形为菱形； (3)若，，求四边形的面积． 18．下列图形是由四块完全相同，底角为的等腰梯形拼接而成的平行四边形和正方形，如图（1）、（2）所示． (1)设图1中的阴影部分面积为，图2中阴影部分面积．请你用含、的代数式表示，． (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式． (3)当，，时，试利用这个公式计算的值． 19．【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $