重难点02：数轴上动点的十类问题 【精英班课程】2025-2026学年 沪教版（五四制）（2024）六年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 数轴上动点的十类问题 题型01：数轴上动点之间的距离 【例1】数轴上表示的点与表示6的点之间的距离为_____． 【答案】8 【分析】根据，计算求解即可． 【解析】解：由题意知，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键在于熟练掌握：数轴上两点间的距离用右边的数减去左边的数进行计算即可． 【例2】如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是和2，C是的中点，则点C所表示的数是（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据A，B两点所表示的数分别是和2，利用中点公式求出线段的中点所表示的数即可． 【解析】解：∵A，B两点所表示的数分别是和2， ∴线段的中点所表示的数． 即点C所表示的数是． 故选：A． 【点睛】本题考查数轴，熟记中点公式是解题的关键． 【例3】在数轴上，如果点A所表示的数是，那么到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是______． 【答案】和3 【分析】画出数轴，确定出表示A的点，即可确定出到点A距离为4个单位的点所表示的数. 【解析】解：在数轴上，如果点A所表示的数是，那么那么到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是和3，如下图所示；    故答案为：和3. 【点睛】此题主要考查了数轴，画出相应的数轴是解本题的关键. 【例4】在数轴上表示数－1和2023的两个点分别为点A和点B，则点A和点B之间的距离为（    ）个单位． A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】由有理数的减法，数轴上两点之间的距离公式的几何意义求出点A和点B两点间的距离为2024个单位． 【解析】∵表示数－1和2023的两个点分别为点A和点B， ∴点A和点B之间的距离为 故选：C． 【点睛】本题综合考查了数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握数轴的应用． 【例5】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题： (1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______； (2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______； (3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？ 【答案】(1)4 (2)1 (3)终点表示数是（a﹣m+n） 【分析】（1）根据-3点为A，右移7个单位得到B点为-3+7=4，则可以得出答案； （2）根据3表示为A点，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，得到点为3-7+5=1，可以得出答案； （3）方法同（2），根据数轴上表示的数左减右加的原则计算即可．． 【详解】（1）∵点A表示数﹣3， ∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7＝4， 故答案是：4； （2）∵点A表示数3， ∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度， 那么终点表示的数是3﹣7+5＝1； 故答案是：1； （3）∵A点表示的数为a， ∴将A点向左移动m个单位长度，再向右移动n个单位长度， 那么终点表示数是（a﹣m+n）． 【点睛】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键． 【例6】【方法感悟】阅读下面材料： 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或； 若点A，B表示的数分别是，4则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或． 【知识迁移】 (1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________； (2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________； 【拓展应用】 (3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路. (4)结合几何意义，求最小值. 【答案】(1)或 (2)−10；30 (3)村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁 (4)的最小值为6 【分析】（1）根据题意可得，求出b的值即可； （2）由题意可得，再分别求出，即可； （3）设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，得出，然后分别求出结果即可； （4）由绝对值的几何意义可得，当时，的值最小． 【解析】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，b， ∴， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合， ∴把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70， ∴， ∴，， 故答案为：−10，30； （3）解：设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，根据题意得： ，，， ∴， ∴， ， 答：村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁． （4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示数1、2、3、4、5的距离和， ∴当时，的值最小， ∴， ∴的最小值为6． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． 题型02：数轴上动线段覆盖整点问题 【例7】把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【解析】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 【例8】如图，数轴上标出的所有点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到A点的距离与到点的距离之和为24，则这样的点有 ___________个． 【答案】25 【分析】由题意可计算出点A到点G的长度为24，即得出点在线段上，再根据点表示的数是整数，即可得出答案． 【解析】解：根据题意可得：， ∴点在线段上，即点P所表示的数的取值范围为是， ∵点表示的数是整数， ∴或或或…或7或8，共25个． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题．判断出点在线段上是解题关键． 题型03：数轴上动点的相遇问题 【例9】A，B两个动点在数轴上做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间以及对应位置所对应的数记录如表． 时间（秒） 0 4 7 A点位置 8 m B点位置 n 16 31 (1)_______；______； (2)A，B两点在第________秒时相遇，此时A，B点对应的数是__________； (3)在运动到多少秒时，A，B两点相距10个单位长度？ 【答案】(1)-13， (2)， (3)或 【分析】（1）由表格信息分别求解的运动速度与运动方向，从而可得答案； （2）先表示运动后对应的数，在利用相遇时，两数相同列方程，再解方程可得答案； （3）先利用绝对值的含义求解再解方程可得答案． 【解析】（1）解： A由0秒在8对应的点，4秒时在对应的点， A以每秒3个单位长度的速度向左运动， ∴可得A点7秒时对应的数为： B由4秒在16对应的点，7秒时在对应的点， B以每秒5个单位长度的速度向右运动， 所以可得B点0秒时对应的数为：， 故答案为：-13；-4； （2）解：由（1）可得A点运动后对应的数为，点运动后对应的数为 当相遇时，则， 解得：， 此时： 则对应的数为：， 故答案为：，； （3）解：由A点运动后对应的数为，点运动后对应的数为 ， ， 或 解得：或． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，掌握“利用绝对值方程解决数轴上的动点问题”是解题的关键． 【例10】如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请直接写出的中点M所对应的数为________； (2)动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设动点P、Q在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ (3)若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向左运动，设动点P、Q在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ 【答案】(1)40 (2)点C对应的数是； (3)点D对应的数是． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题； （1）根据中点公式可列式算得答案； （2）设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；，根据表示的数相同列方程可得t的值，从而可得C表示的数； （3）设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；，列方程可解得的值． 【详解】（1）解：M点对应的数为， 故答案为：40； （2）解：设动点P、Q经过t秒相遇， 则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；， 根据题意得， 解得， ∴， 答：点C对应的数是； （3）解：设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；， 根据题意得， 解得， ∴， 答：点D对应的数是． 【例11】数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出： (1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)； (2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1 【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为； （2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t； ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； （3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1． 【解析】（1）∵A表示的数为−2，点B表示的数为13， ∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为； 故答案为：15；． （2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t； 故答案为：−2＋3t；13−2t． ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t， 解得t＝3， 相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． （3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−）， 根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−）， 解得t＝9， 第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数． 题型04：数轴动点中的翻折问题 【例12】点A、B、C在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如5与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2022（点M在点N的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数． 【答案】(1)；6 (2)9 (3)①3；②点表示的数为，点表示的数为1010 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，结合数轴的特点正确列出方程是解题的关键． （1）观察数轴即可得出答案； （2）由数轴可得，点A表示的数是，设点A与表示数的点重合，根据数轴折叠列出方程，求出的值即可解答； （3）①由题意得，、分别表示与3、与6在数轴上所对应的点之间的距离，再分析数轴上点的位置即可求解；②设点表示的数为，则点表示的数为，根据数轴折叠列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由数轴可得，点B表示的数是，点C表示的数是6． 故答案为：；6． （2）解：由数轴可得，点A表示的数是， 设点A与表示数的点重合， 由数轴折叠可得，， 解得：， ∴点A与表示数9的点重合． 故答案为：9． （3）解：①表示与3在数轴上所对应的点之间的距离， 表示与6在数轴上所对应的点之间的距离， 当时，有最小值，最小值为6与3在数轴上所对应的点之间的距离，即， ∴的最小值为3； ②设点表示的数为，则点表示的数为， 由数轴折叠可得，， 解得：， 则， ∴点表示的数为，点表示的数为1010． 【例13】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧），则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．t为何值时，P、A点之间的距离为3个单位长度； 【答案】(1)3 (2)， (3)或时，P、A之间距离为3个单位长度 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧）， ∴点A到对称中心的距离为，且A点在的右边，点B到对称中心的距离为，且B点在的左边， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：，； （3）解：∵动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）， ∴点P对应的数为， 当P、A之间距离为3个单位长度时， 或 ， 解得或， ∴或时，P、A之间距离为3个单位长度． 【例14】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题： (1)若数轴上数1表示的点与表示的点重合，则数轴上数表示的点与数 ___________表示的点重合． (2)若数轴上数表示的点与数1表示的点重合． ①则数轴上数3表示的点与数 ___________表示的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为7（A在B的左侧），并且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ___________． ③若数轴上C、D两点之间的距离为d，C在D的左侧并且C、D两点经折叠后重合，求C、D两点表示的数分别是多少？（用含d的代数式表示） 【答案】(1)5 (2)①，②与2.5，③C表示的数是，D表示的数是 【分析】（1）根据数轴上表示数1的点与表示的点重合，得到原点为对称中心，即可得到所求； （2）①根据与1重合，得到中点为，即可得到所求；②求出7的一半，加上或减去即可得到A与B表示的数；③求出d的一半，加上或减去即可得到C与D表示的数． 【详解】（1）∵数轴上表示数1的点与表示的点重合， ∴原点为对称中心， ∴数轴上表示数的点与表示数5的点重合； 故答案为：5 （2）∵数轴上数表示的点与表示数1的点重合， ∴为对称中心， ①∵， ∴数轴上表示数3的点与数表示的点重合； ②AB的一半， ∵A在B的左侧， ∴A表示的数是， B两点表示的数， ∴A、B两点表示的数分别是：与2.5； ③CD的一半为， ∵C在D的左侧， ∴C表示的数是， D表示的数是． 故答案为：（①，②与2.5． 【点睛】本题考查了数轴，主要利用了两点间的距离的求解，对折以及线段中点的表示，读懂题目信息是解题的关键． 【例15】平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_______． A．（+3）+（+2）＝+5       B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5     D．（﹣3）+（+2）＝﹣1 ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2021次时，落在数轴上的点表示的数是　　． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2021的点与表示　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示　　B点表示　　． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣17、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；② (2)①；②；1010；③ 【分析】（1） ①以原点为标准，向左移动为负数，向右移动为正数，即可得出答案； ②根据前边几次跳动得出规律，再将2021代入可得； （2） ①根据表示-1的点与表示3的点重合，可得出翻折的点在1处，根据此规律即可求出答案； ②根据规律以及两点的距离为2018得出方程组，解出即可求得答案； ③通过来推出对应的实数的值，再结合翻折点的规律即可求出答案． 【详解】（1）①∵向负方向移动3个单位长度为-3，向正方向移动2个单位长度为+2 ∴（﹣3）+（+2）＝﹣1 故选择：D． ②第1次向左跳1个单位为-1 第2次向右跳2个单位为1 第3次向左跳3个单位为-2 第4次向右跳4个单位为2 第5次向左跳5个单位为-3 第6次向右跳6个单位为3...... 可得出奇数次的数为，偶数次的数为 将2021代入得： 故2021次的数为-1011． （2）①∵表示-1的点与表示3的点重合 ∴翻折的点为 ∴点2021对应的点为 解得：n=-2019 故2021与表示-2019的点重合． ②∵数轴上A、B两点之间的距离为2018，设A,B在数轴上所对应的数为a,b， ∴ 根据①得： 联合两式解得：a=-1008,b=1010 故A表示的点为-1008，B表示的点为1010． ③∵点A对应的点落在点B的右边，并且，A'在数轴上表示的数为m, ∴ ∴C点为 故C表示的数为-3． 【点睛】本题考查了数轴表示数的定义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键． 题型05：动点中的定值、无关问题 【例16】如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ；线段 ； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)运动时间为12秒或1秒 (3)是， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题. （1）根据题意和平方绝对值的非负性可求出a，b，c，进而可求出和的值； （2）运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，根据A、C两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可； （3）设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b，根据题意表示出即可求解 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得：运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为， ∵A、C两点之间的距离为11个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或， ∴运动时间为12秒或1秒； （3）解：线段为定值； 设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b， 则点A：，点B：，点C：，点D：， ∵点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足， ∴，， ∴． 【例17】如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 已知，数轴上四点A、B、C、D所表示的数分别为、b、c、d，且满足： ， b是最大的负整数，（C与A不重合） (1) ； ； ；． (2)若将点A向右移动个单位，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示） (3)试求出点C到点D的距离． (4)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时B、D点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，运动过程中始终满足（点C也随之运动）．设移动时间为t秒． 试探索：大小是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)4； (4)大小是否会随着t的变化而改变．理由见解析． 【分析】（1）根据非负数的性质得到，由b是最大的负整数，得到； （2）根据两点间的距离公式即可得到结论； （3）设点C表示的数为c,根据题意解方程即可得到结论； 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∵b是最大的负整数， ∴， ∵（C与A不重合）， ∴， ∴； 故答案为：； （2）将点A向右移动个单位，则移动后的点表示的数为：， 故答案为：； （3）设点C表示的数为c, ∵， ∴， 解得：； ∴． （4）改变，理由如下： 由题意得：t秒后， ∴点C表示的数为：， ∵点D表示的数为：， ∴， ∴大小是否会随着t的变化而改变． 【点睛】此题考查了列代数式，数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 【例18】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置； (2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm． (3)若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？ (4)若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)经过或秒后点A到点C的距离为3cm (4)的值不会随着t的变化而变化， 【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可； （2）利用数轴上两点间的距离公式解题； （3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧； （4）表示出BA、CB，再相减即可解题． 【解析】（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为， 点A，B，C在数轴上表示如图： （2）解：设原点为O，如图， ∴，，∴． 故答案为：． （3）解：①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：，解得：． ②当点A在点C的右侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：，解得：． 综上，经过或秒后点A到点C的距离为3cm． （4）解：的值不会随着t的变化而变化，． 由题意：，， ∵移动t秒后，，， ∴． ∴的值不会随着t的变化而变化，． 【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 题型06：数轴动点中的往返问题 1)确定起始位置对应的数：起始点为a； 2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动； 3)确定移动的距离：若n为奇数：即向左移动了次，移动距离为. 若n为偶数：即向右移动了次，移动距离为 4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)； 起始点-移动的距离(向左移动) 【例19】已知多项式（实数为常数）的次数是，且二次项系数为．数轴上，，三点所对应的数分别是，和，点，沿数轴同时出发相向匀速运动，速度分别为每秒个单位长度，每秒个单位长度． (1)______，______； (2)若点与点之间的距离记为，原点与点之间的距离记为，，两点运动秒时有，求此时的值； (3)当点运动到点时，立即以初始速度的倍返回，到达点的起始位置后，再以初始速度的倍折返向点运动，再次到达点后停止运动．点始终保持原来的运动方向和速度不变．求点开始运动后与点相遇时的的值． 【答案】(1)， (2)当运动时间为秒或秒时， (3)运动过程中，两点相遇时的值为秒或秒或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、多项式以及实数与数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）由多项式的次数是二次，二次项系数为，可得出，，解之即可得出、的值； （2）当运动时间为秒时，，对应的数分别为，，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，结合点的速度变化，可求出各节点的时间，分，及三种情况考虑，根据点、相遇时两点对应的数相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】（1）解：多项式的次数是二次，二次项系数为， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：运动秒后，，对应的数分别为，， ，而， ， ， 或， 解得：或， 当运动时间为秒或秒时，； （3）解：由（1）知：点的初始运动速度是每秒个单位长度，则从点返回点的速度为每秒个单位长度，再从点折返的速度为每秒个单位长度， ， 点第一次运动到点时：， 从点返回点时：， 再从点折返到点时：， 运动秒后，点对应的数分别为， 当时，点对应的数为：， 第次相遇时，，解得， 当时，点对应的数为：， 第次相遇时，，解得， 当时，点对应的数为：， 第次相遇时，，解得； 运动过程中，两点相遇时的值为秒或秒或秒． 【例20】已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为． (1)求a，b的值； (2)点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为4个单位/秒，点B的速度为1个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值； (3)在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发，当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动．当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时经过的点在数轴上对应的数． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，数轴的运用，绝对值的运用，非负数性质的运用，解答时根据行程问题的追击问题和相遇问题的数量关系建立方程是关键． （1）根据非负数的性质，建立方程求出，的值； （2）根据，两点到原点的距离相等分两种情况，当、在原点的右侧、相遇和、在原点的异侧时，建立方程求出其解即可； （3）分四种情况讨论：当、在原点的右侧相遇时；当点从点返回出发点时与相遇；当点从出发点返回点时与点相遇．分别依据线段的和差关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ，， 解得：，； （2）解：设原点为O， 点对应的数为，对应的数是， ，，． 当、在原点的异侧时， 若点到原点的距离和点到原点的距离相等， 则， 解得：． 当、在原点的右侧相遇时，点到原点的距离和点到原点的距离相等， 则， 解得， ，两点到原点的距离相等时，的值为或； （3）解：点C对应的数为14，点D对应的数为， ， 点运动至点所需的时间为， 故， 由（2）得，当时，，两点同时到达的点表示的数是； 由题意，得当点从点返回出发点时，若与相遇， 则， 解得：， 此时，两点同时到达的点表示的数是； 当点第二次从出发点返回点时，若与点相遇， 则， 解得， 此时，两点同时到达的点表示的数是； 当点第二次从点返回出发点时，若与相遇， 则， 解得：（不符合题意）， 综上所述，，两点同时到达的点在数轴上表示的数为：或或． 题型07：几何图形在数轴上的运动问题 【例21】如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 【答案】（1）13，−11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6． 【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可； （2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可； （3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可. 【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5， ∴点H表示的数为：， ∵两点之间的距离为12， ∴点D表示的数为：， ∵长方形的长是4个单位长度， ∴点A表示的数为：， 故答案为：； （2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x； ①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点， 则有， 解得x＝2 ； ②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇， 则有7﹣3x＝﹣9+4x 解得：x＝ 综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ； （3）设长方形ABCD运动的时间y为秒， ①当重叠部分为长方形EFCD时， DE=−7+2y−5= 2y−12 ∴ 2(2y−12) = 6，     解得：y = 7.5； ②当重叠部分为长方形CDHG时， HD=4- (−7+2y-13)= 24− 2y， ∴ 2(24−2y) = 6，     解得：y =10.5； 综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6. 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键. 【例22】如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8 ①第_____次滚动后，小圆离原点最远； ②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留） 【答案】（1）；（2）①6，② 【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长； （2）①分别计算出第几次滚动后，小圆离原点的距离，比较作答；②根据计算总路程即可． 【解析】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动一周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是． （2）①第1次滚动后，， 第2次滚动后，， 第3次滚动后，， 第4次滚动后，， 第5次滚动后，， 第6次滚动后，， 则第6次滚动后，小圆离原点最远． ②， ∴当小圆结束运动时，小圆运动的路共有． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，明确向右移动坐标加的关系，向左移动坐标减的关系，是解题的关键． 【例23】已知A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ， ； (2)如图所示，有一辆玩具小火车CD放置在数轴上，小火车可以沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，求玩具小火车的长度； (3)在（2）的条件下，将玩具小火车沿数轴左右水平移动，当时，请求出点所表示的数． 【答案】(1)，9 (2)玩具小火车的长度为4 (3)点C所表示的数是3或9 【分析】题目主要考查绝对值和平方的非负性，解一元一次方程，理解题意是解题关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）根据题意得出，结合题意求解即可； （3）设点所表示的数为，则点表示的数为，得出，然后结合题意，得出方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 故答案为：，9 （2）解：由（1）可知 表示的数是表示的数是9 当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为 玩具小火车的长度为4． （3）解：设点所表示的数为，则点表示的数为 点在点的右侧，当时，可知， 两点只能在点的右侧 只能向右运动，即 当时，有 或 解得：或 点C所表示的数是3或9． 题型08：数轴动点中的规律探究问题 【例24】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2020次后，数轴上数2020所对应的点是（　　） A．点C B．点D C．点A D．点B 【答案】B 【分析】通过题意得到4个数为一个循环，由2020÷4=505，得到2020对应点D． 【解析】解：在翻转过程中，1对应的数是A，2对应的数是B，3对应的数是C，4对应的数是D，…依次4次一循环的出现， ∵， ∴2020所对应的点是D， 故选：B． 【点睛】本题考查实数与数轴，能够确定多少个数为一个循环是解答本题的关键． 【例25】如图，数轴上有一个点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳个单位长度，经过次跳动，点落在表示数的点上，则点的不同运动方案共有___________种． 【答案】 【分析】根据题意可以用列举法把符合要求的方案写出来，从而得到问题的答案． 【解析】解：根据题意，动点的不同运动方案为： 方案一：； 方案二：； 方案三：； 方案四：； 方案五：； 共计5种． 故选：D． 【点睛】本题考查数轴，解题的关键是可以根据题目中的信息，把符合要求的方案列举出来． 【例26】一只跳蚤在数轴上从原点开始，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，…依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离原点的距离是________个单位长度． 【答案】 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可． 【解析】解： ； 故答案为． 【点睛】本题考查了数轴与图形的变化规律，数轴上点的移动规律是“左加右减”，在学习的过程中培养数形结合的思维是解题的关键． 题型09：数轴与绝对值的最值问题 求出每个绝对值等于0时x的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇数个零点，则取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里的任意值，整个式子都能取到最小值. 简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 【例27】如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)6或2 (3)8， (4) 【分析】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． （1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可； （2）根据绝对值的性质，列出方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，结合图形，即可解答； （4）把问题转化为式子，当最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几何意义分析，得出当x在与3之间时，有最小值8，然后把的最小值8代入代数式，计算即可得出代数式的最大值． 【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数， ∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为； 故答案为：； （2）根据题意， ， 解得：或 故答案为：6或2 （3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离， 由图可知， 当或时，， 当时， ∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为； 故答案为：8， （4）， 当式子的最小值为8时，有最大值； 此时 的最大值为 【例28】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3． (1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______； (2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题， 直接回答：，则 ：有最小值是______； (3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。 【答案】(1)4；1 (2)或4；4 (3)存在；或2 【分析】（1）数轴上点表示的数为，点表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点公式直接求出线段的长度为4，线段中点表示的数为1； （2）按或或化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按或或分类讨论，求出在每种情况下的值或取值范围，再进行比较，得出结果； （3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按或或分类讨论，根据列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果． 【解析】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为3， ∴，， ∴线段的长度为4，线段中点表示的数为1； 故答案为：4；1． （2）解：当时，， 解得：； 当时，， ∴当时，不存在x的值使； 当时，， 解得：； ∴时，或； 当时，， 当时，， 当时，， ∴的最小值为4； 故答案为：或4；4． （3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m， 解， ∴， 解得：， ∴点S表示的数为6， 当时，由得： ， 解得：； 当时，由得： ， 解得：； 当时，由得： 或， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）， 综上所述：“幸运点”P对应的数是或2． 【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 【例29】如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，解答下列问题： (1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x和的两点之间的距离是______．（用含x的式子表示） (3)若x表示一个实数，则当x在什么范围内时，有最小值？请写出x的范围及的最小值． (4)当x为何值时，有最小值？并求出该最小值 【答案】(1)4，7 (2) (3)当时，有最小值，且最小值为4． (4)当时，有最小值，且最小值为6． 【分析】（1）根据A、B两点之间的距离，进行计算可得答案；（2）根据A、B两点之间的距离，进行计算可得答案；（3），该式子表示实数x到1和的距离之和，当时，有最小值，且最小值为1和之间的距离4；（4），该式子表示实数x到1、、的距离之和，当时，有最小值，且最小值为1和之间的距离6． 【解析】（1）解：∵， ∴数轴上表示3和7的两点之间的距离是4． ∵， ∴数轴上表示2和的两点之间的距离是7． 故答案为：4，7 （2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离是， 故答案为： （3）解：∵， ∴当实数x满足时， 实数x到1与的距离和有最小值，最小值为1与之间的距离，即， 故当时，有最小值，且最小值为4． （4）解：∵， ∴当时，有最小值，且最小值为与1之间的距离， 即最小值为． 故当时，有最小值，且最小值为6． 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，充分理解绝对值的几何意义，运用数形结合的思想进行分析是解题的关键． 【例30】数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________； (3)①找出所有使得的整数x； ②求的最小值． 【答案】(1)5，5 (2)3， (3)①，0，1，2．  ②4 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式直接代入计算即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式直接代入可得之间的距离为；当时，即时，可求得x的值； （3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2）就有，可得这样的整数是； ②对x进行讨论，可得的最小值． 【解析】（1）表示和2的两点之间的距离是， 表示和3的两点之间的距离是； 故答案为：5，5； （2）由题意可得，， ∴或， ∴或； 故答案为：3，． （3）①从数轴上可以看出只要x取和2之间的数（包括，2）， 就有，因此这样的整数是； ②对x进行讨论： 当时，，恒成立； 当时，； 当时，； 综上，的最小值为4． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，绝对值的性质等内容，根据题意进行分类讨论是解决本题的关键． 【例31】阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是___________（直接写出计算结果）； (2)若，则___________； (3)若，则___________； (4)利用数轴求出的最小值为___________，且此时整数x的值为___________； (5)利用数轴可求出：的最小值为___________． 【答案】(1)5； (2)6或4； (3) (4)3；，，0，1； (5)2023 【分析】（1）根据题意可得3与的两点之间的距离是，计算即可； （2）表示x到5的距离为1，据此可解； （3）表示x到1的距离和到的距离相等，据此可解； （4）根据绝对值的意义可知表示x到的距离与x到1的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可； （5）根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到1011的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可． 【解析】（1）解：由题意可得：， 故答案为：5； （2）解：表示x到5的距离为1， 根据数轴可得，到数轴上表示5的数距离为1的点表示的数为6或4 故答案为：6或4； （3）解：表示x到1的距离和到的距离相等， 根据数轴上点的位置可得到1的距离和到的距离相等的点表示的数为， 即， 故答案为：； （4）解：根据绝对值的意义可知表示x到的距离与x到1的距离之和， ∵表示的数与表示1的数之间的距离为， 根据数轴可知，当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，有最小值为3，且此时整数x的值为，，0，1； 故答案为：3；，，0，1； （5）解：如图， 根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到1011的距离之和， ∵表示的数与表示1011的数之间的距离为， 根据数轴可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，有最小值为2023， 故答案为：2023． 【点睛】本题主要考查了绝对值及数轴，解题的关键是理解两点间的距离表达式，注意数形结合思想的应用． 题型10：数轴动点中的新定义问题 【例32】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【答案】(1) (2)①或或；②50或110或70 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键． （1）根据“友好点”的定义，分别验证三点即可． （2）①设点P在数轴上所表示的数为x．根据“友好点”的定义，当点P在点A的右侧，，，当点P在点A的左侧， ,进行分类讨论，列出方程求解即可．②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“友好点”；点B是点A、点P的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，然后根据“友好点”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴不是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， 综上，是点M，N的“友好点”， 故答案为： （2）解：设点P表示的数为x， ∵点A表示数， 点B表示的数30， ∴①若点P在点B的左侧，， 当点P在点A的右侧，， ∵点P是点A，B的“友好点”， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得； 当点P在点A的左侧，， 此时，, ∴， 解得； 综上，点P表示的数为或或； ②若点P在点B的右侧，则， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 综上，点P表示的数为50或110或70． 故答案为：50或110或70． 【例33】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为____________； (2)若点A表示数，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是____________； (3)点A表示数，点B表示数25，P为数轴上一点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是____________； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数____________． 【答案】(1)-1； (2)C1或C4； (3)①；②65；45；105． 【分析】（1）先求出AB=9，再根据联盟点的定义求出M表示的数是2与 -1，最后根据点M表示一个负数，即可求解； （2）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案； （3）①分点P位于点A左侧、点P表示的数位于AB之间，且靠近点A、点P表示的数位于AB之间，且靠近点B三种情况讨论，即可求解； ②分当P为A、B的联盟点、点B为AP联盟点且AB=2BP、点B为AP联盟点且PB=2AB三种情况讨论，即可求解． 【解析】（1）解：由题意得，因为点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间， ∴AM=2BM，或BM=2AM， 所以AM= 或AM= ， 所以点M表示的数是-4+6=2或-4+3=-1， 因为点M表示一个负数， 所以点M表示的数为-1． 故答案为：-1； （2）解：由题意得 C1A＝，C1B＝，C1B＝2C1A，故C1符合题意； C2A＝C2B＝2，故C2不符合题意； C3A＝6，C3B＝2，故C3不符合题意； C4A＝8，C4B＝4，C4A＝2C4B，故C4符合题意． 故答案为：C1或C4； （3）解；由题意得AB=40． ①当点P位于点A左侧时，PB=2PA，所以PA=AB=40，所以点P表示的数为-15-40=-55； 当点P表示的数位于AB之间，且靠近点A时，PB=2PA，所以PA=，所以点P表示的数为； 当点P表示的数位于AB之间，且靠近点B时，PA=2PB，所以PA=，所以点P表示的数为； 故答案为：； ②当P为A、B的联盟点时，则PA=2PB，所以AB=PB=40，所以点P表示的数为25+40=65； 当点B为AP联盟点且AB=2BP时，BP=，所以点P表示的数为； 当点B为AP联盟点且PB=2AB时，BP=，所以点P表示的数为； 故答案为：65；45；105． 【点睛】本题为新定义问题，难度较大．考查了在数轴上表示有理数，有理数的加减运算等知识，理解“联盟点”的意义，根据题意结合数轴分类讨论是解题关键． 【例34】【新知理解】 如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧． (1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)； (2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ； 【问题探究】 (3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长； 【问题解决】 (4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数． 【答案】（1）3π+3，=；（2）5或5 π；（3）MN长为π-1；（4）D点表示的数为：或或或 【分析】（1）根据圆周率伴侣线段定义得出线段之间的关系，代值求解，根据定义分别得出AC、BD与AB的关系判断AC与BD的关系；（2）根据圆周率点定义，分两种情况，得到AM与BM的关系，代值求解；（3）设OM=x，由定义得MC=πx，根据OC=OM+MC列方程求解；（4）根据点D是线段OE的圆周率点和点E是线段OD的圆周率点，得出四种线段之间的关系，代值求解. 【解析】解：（1）∵AC=3，BC=π AC， ∴AB=AC+BC=3π+3； ∵点D、C都是是线段的圆周率点且不重合， ∴BC=π AC ，AD=πBD， ∴AB=AC+BC=BD+AD， ∴AB=AC+π AC，AB=BD+πBD， ∴AC= ，BD=， ∴AC=BD. （2）设线段AB中点为C，当点M在线段AC之间时，如图1 ∵点M是线段的圆周率点， ∴BM=π AM ， ∵, ∴AM+π AM=5+5π ∴AM=5； 当点M在线段BC之间时，如图2 ∵点M是线段的圆周率点， ∴AM=π BM ， ∵， ∴π BM+BM=5+5π， ∴BM=5， ∴AM=5 π. 综上所述，AM长为5或5 π. （3）如图，由题意可知，C点表示的数是π+1， M、N均为线段OC的圆周率点，设M点离O点近，且OM=x， ∴MC=πOM=πx ∴x+πx=π+1， 解得x=1， ∴OM=1， ∴OM=CN=1 ∴MN=OC-OM-CN=π+1-1-1=π-1. （4）根据题意得点C表示的数为π+2，设点D表示的数为x， 如图1，若OD=πDE， ∴x=π(π+2-x)， 解得，x=， ∴D点表示的数为：； 如图2，若DE=πOD， ∴ π+2-x= πx， 解得，x=， ∴D点表示的数为：； 如图3，若OE=πDE， ∴π+2=π(x-π-2)， 解得，x=， ∴D点表示的数为：； 如图4，若DE=πOE， ∴x-π-2=π(π+2)， 解得，x=， ∴D点表示的数为：. 综上所述：D点表示的数为：或或或. 【点睛】本题主要考查了新定义题目，根据定义，借助数轴和一元一次方程求解，读懂题目，用新思路解决问题是解答此题的关键. 【例35】对于数轴上的两点给由如下定义：两点到原点O的距离之差的绝对值称为两点的“绝对距离”，记为．例如，两点表示的数如图（1）所示， 则． (1)两点表示的数如图（2）所示． ①求两点的“绝对距离”； ②若点为数轴上一点（不与点O重合），且，求点表示的数； (2)点为数轴上的两点．（点在点左侧）且，， 请直接写出点表示的为___________． 【答案】(1)①2；②2或； (2)或 【分析】（1）①根据绝对距离的定义即可解题； ②由题意可求出，再根据绝对距离的定义即可解题； （2）由题意可知，即得出或．再分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时和③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，结合，即可求解； 【解析】（1）①； ②∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得：或2， ∵C点不与O点重合， ∴点C表示的数为2或； （2）由题可知， ∴或． ∵点M在点N左侧， 故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时， ∴． ∵， ∴， ∴此情况不存在； ②当M，N都在原点的右侧时， ∵， ∴， ∴此情况不存在； ③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时， ∵， ∴． ∵或， ∴或， ∴点M表示的数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的实际应用，数轴上两点之间的距离．读懂题意，理解绝对距离的概念是解题关键． 【例36】在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 【答案】(1)1，3 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据目中所给定义进行计算即可； （2）分为线段在线段左侧或线段在线段右侧两种情况进行讨论即可； （3）分别分析出每一秒的情况，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=1， ∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=3， 故答案为：1，3． （2）当线段在线段左侧时： （线段，线段）， 解得：， 当线段在线段右侧时： （线段，线段）， 解得：， 综上：或． （3）当时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则， 当时，点C表示的数为2t,点D表示的数为,则，成立； 当时，点C表示：2，点D表示：， 此时：（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：4，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∴， ∵时，点C表示：6，点D表示：， ∴（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∵当时，点C表示：8，点D表示：， ∴（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在6和8之间；点D表示：，在2和6之间， ∴此时：（线段，线段）， 或（线段，线段）， 解得：， ∴， 当时，点C表示：10，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在8和10之间；点D表示：，在和4之间， ∴此时，，则当时，（线段，线段）， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 数轴上动点的十类问题 题型01：数轴上动点之间的距离 【例1】数轴上表示的点与表示6的点之间的距离为_____． 【例2】如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是和2，C是的中点，则点C所表示的数是（    ）    A． B．1 C． D． 【例3】在数轴上，如果点A所表示的数是，那么到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是______． 【例4】在数轴上表示数－1和2023的两个点分别为点A和点B，则点A和点B之间的距离为（    ）个单位． A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【例5】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题： (1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______； (2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______； (3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？ 【例6】【方法感悟】阅读下面材料： 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或； 若点A，B表示的数分别是，4则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或． 【知识迁移】 (1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________； (2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________； 【拓展应用】 (3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路. (4)结合几何意义，求最小值. 题型02：数轴上动线段覆盖整点问题 【例7】把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【例8】如图，数轴上标出的所有点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到A点的距离与到点的距离之和为24，则这样的点有 ___________个． 题型03：数轴上动点的相遇问题 【例9】A，B两个动点在数轴上做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间以及对应位置所对应的数记录如表． 时间（秒） 0 4 7 A点位置 8 m B点位置 n 16 31 (1)_______；______； (2)A，B两点在第________秒时相遇，此时A，B点对应的数是__________； (3)在运动到多少秒时，A，B两点相距10个单位长度？ 【例10】如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请直接写出的中点M所对应的数为________； (2)动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设动点P、Q在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ (3)若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向左运动，设动点P、Q在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ 【例11】数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出： (1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 题型04：数轴动点中的翻折问题 【例12】点A、B、C在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的数是______，点C表示的数是______； (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与表示数______的点重合； (3)有理数、在数轴上对应的点之间的距离可表示为，如5与在数轴上所对应的点之间的距离为． ①求的最小值； ②若、两点之间的距离为2022（点M在点N的左侧），将数轴折叠，使得1对应的点与对应的点重合，此时、两点也重合，求、两点分别表示的数． 【例13】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧），则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．t为何值时，P、A点之间的距离为3个单位长度； 【例14】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题： (1)若数轴上数1表示的点与表示的点重合，则数轴上数表示的点与数 ___________表示的点重合． (2)若数轴上数表示的点与数1表示的点重合． ①则数轴上数3表示的点与数 ___________表示的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为7（A在B的左侧），并且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ___________． ③若数轴上C、D两点之间的距离为d，C在D的左侧并且C、D两点经折叠后重合，求C、D两点表示的数分别是多少？（用含d的代数式表示） 【例15】平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_______． A．（+3）+（+2）＝+5       B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5     D．（﹣3）+（+2）＝﹣1 ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2021次时，落在数轴上的点表示的数是　　． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2021的点与表示　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示　　B点表示　　． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣17、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 题型05：动点中的定值、无关问题 【例16】如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ；线段 ； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【例17】如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为MN．我们规定：MN的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 已知，数轴上四点A、B、C、D所表示的数分别为、b、c、d，且满足： ， b是最大的负整数，（C与A不重合） (1) ； ； ；． (2)若将点A向右移动个单位，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示） (3)试求出点C到点D的距离． (4)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时B、D点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，运动过程中始终满足（点C也随之运动）．设移动时间为t秒． 试探索：大小是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【例18】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm． (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置； (2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm． (3)若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？ (4)若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值． 题型06：数轴动点中的往返问题 1)确定起始位置对应的数：起始点为a； 2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动； 3)确定移动的距离：若n为奇数：即向左移动了次，移动距离为. 若n为偶数：即向右移动了次，移动距离为 4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)； 起始点-移动的距离(向左移动) 【例19】已知多项式（实数为常数）的次数是，且二次项系数为．数轴上，，三点所对应的数分别是，和，点，沿数轴同时出发相向匀速运动，速度分别为每秒个单位长度，每秒个单位长度． (1)______，______； (2)若点与点之间的距离记为，原点与点之间的距离记为，，两点运动秒时有，求此时的值； (3)当点运动到点时，立即以初始速度的倍返回，到达点的起始位置后，再以初始速度的倍折返向点运动，再次到达点后停止运动．点始终保持原来的运动方向和速度不变．求点开始运动后与点相遇时的的值． 【例20】已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为． (1)求a，b的值； (2)点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为4个单位/秒，点B的速度为1个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值； (3)在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发，当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动．当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时经过的点在数轴上对应的数． 题型07：几何图形在数轴上的运动问题 【例21】如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 【例22】如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8 ①第_____次滚动后，小圆离原点最远； ②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留） 【例23】已知A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ， ； (2)如图所示，有一辆玩具小火车CD放置在数轴上，小火车可以沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，求玩具小火车的长度； (3)在（2）的条件下，将玩具小火车沿数轴左右水平移动，当时，请求出点所表示的数． 题型08：数轴动点中的规律探究问题 【例24】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2020次后，数轴上数2020所对应的点是（　　） A．点C B．点D C．点A D．点B 【例25】如图，数轴上有一个点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳个单位长度，经过次跳动，点落在表示数的点上，则点的不同运动方案共有___________种． 【例26】一只跳蚤在数轴上从原点开始，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，…依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离原点的距离是________个单位长度． 题型09：数轴与绝对值的最值问题 求出每个绝对值等于0时x的对应值，把所有的对应值从小到大排列，如果题目中有奇数个零点，则取“中间点”的对应值时，整个式子取最小值，如果题目中有偶数个零点，则取“中间段”里的任意值，整个式子都能取到最小值. 简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 【例27】如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【例28】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3． (1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______； (2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题， 直接回答：，则 ：有最小值是______； (3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。 【例29】如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，解答下列问题： (1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x和的两点之间的距离是______．（用含x的式子表示） (3)若x表示一个实数，则当x在什么范围内时，有最小值？请写出x的范围及的最小值． (4)当x为何值时，有最小值？并求出该最小值 【例30】数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为点表示的数记为b．则两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示和2的两点之间的距离是_____________，数轴上表示和3的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为5，那么x为_____________； (3)①找出所有使得的整数x； ②求的最小值． 【例31】阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是___________（直接写出计算结果）； (2)若，则___________； (3)若，则___________； (4)利用数轴求出的最小值为___________，且此时整数x的值为___________； (5)利用数轴可求出：的最小值为___________． 题型10：数轴动点中的新定义问题 【例32】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【例33】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数5，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为____________； (2)若点A表示数，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点A，B的“联盟点”的是____________； (3)点A表示数，点B表示数25，P为数轴上一点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是____________； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数____________． 【例34】【新知理解】 如图1，点在线段上，点将线段分成两条不相等的线段，，如果较长线段是较短线段的倍，即，则称点是线段的一个圆周率点，此时，线段，称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段的圆周率点有两个，一个在线段中点的左侧(如图中点)，另一个在线段中点的右侧． (1)如图1，若，则 ；若点是线段的不同于点的圆周率点，则 (填“”或“”)； (2)如果线段，点是线段的圆周率点，则 ； 【问题探究】 (3)如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点是线段的两个不同的圆周率点，求线段的长； 【问题解决】 (4)如图3，将直径为1个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示2的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点的位置．若点在射线上，且线段与以、中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点所表示的数． 【例35】对于数轴上的两点给由如下定义：两点到原点O的距离之差的绝对值称为两点的“绝对距离”，记为．例如，两点表示的数如图（1）所示， 则． (1)两点表示的数如图（2）所示． ①求两点的“绝对距离”； ②若点为数轴上一点（不与点O重合），且，求点表示的数； (2)点为数轴上的两点．（点在点左侧）且，， 请直接写出点表示的为___________． 【例36】在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $