3.5圆周角 同步课堂 2025-2026学年浙教版数学九年级上册

3.5圆周角 讲解目录 【知识，点1】相交弦定理 1 【知识，点2】圆周角定理… 【知识点3】圆内接四边形的性质… 2 【题型1】圆周角定理推论2 2 【题型2】圆周角的概念辨析…。 【题型3】圆周角定理推论1… 9 【题型4】圆周角定理 13 知识讲解 【知识点1】相交弦定理 (1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.（经过圆内一点 引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等)· 几何语言：若弦AB、CD交于点P,则PA●PB=PC●PD（相交弦定理) (2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P,则PC2=PA●PB（相交弦定理推论)· 【知识点2】圆周角定理 (1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可. (2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同孤或等孤所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆 心角的一半 推论：半圆（或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. (3)在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技 巧一定要掌握 (4)注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的 顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”-圆心角转化.③ 定理成立的条件是“同一条孤所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同 孤所对的圆周角与圆心角错当成同一条孤所对的圆周角和圆心角. 【知识点3】圆内接四边形的性质 (1)圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补， ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角)· (2)圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角 定理结合起来.在应用时要注意是对角，而不是邻角互补. 题型专练 【题型1】圆周角定理推论2 【典型例题】如图，△ABC内接于⊙O,AB是OO的直径，D是圆上一点，连接OD,BD,CD.若 DC平分∠ODB,∠BCD=20°，则∠CAB的度数为（) A.20 B.30 C.35° D.40° 【答案】C 【解析】.∠BCD=20°， .∠BOD=2∠BCD=40°， .'OB =OD ∠0DB=∠0BD=×180°-40)=70， 2 .DC平分∠ODB, 1 ∴.∠CDB=5∠ODB=35°， '.'BC=BC, ∴.∠CAB=∠CDB=35° 故选：C 【举一反三1】如图，点A,B,C,D均在⊙O上，且BD是直径，点C为优弧BDA的中点，连接 AB,AC,BC.若∠ABD=60°，则∠CBD的度数为（) A.20° B.15° C.25 D.30° 【答案】B 【解析】如图所示，连接AD, A」 D BD是直径，∠ABD=60°， ∴.∠BAD=90°，∠ADB=90°-∠ABD=30°， .'AB=AB, .∠C=∠ADB=30, 点C为优孤BDA的中点， ∴.AC=BC, ∴.AC=BC) ∠4Bc=∠B4c=ls0-∠c)=7s, ∴.∠CBD=∠ABC-∠ABD=75-60°=15°， 故选：B 【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两点，连接BC,CD,AD,BD,若 ∠ADC=25°，BC平分∠ABD,则∠BAD的度数为· 0 B D 【答案】40° 【解析】：∠ADC和∠ABC都是AC所对的圆周角， ∠ADC=∠ABC=25°， :BC平分∠ABD, :.∠ABD=2∠ABC=50°， :AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°， :.∠BAD=40° 【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E是⊙O上的点，连接BD、AE交于点F且 ∠C=35°，则∠DFE= B F D E 【答案】125 【解析】如图，连接EB, AB是OO的直径， .∠AEB=90°， ∠C=35°，∠C=∠DBE, ∴.∠DBE=∠C=35°， ∴.∠DFE=∠DBE+∠AEB=35°+90°=125°， 故答案为：125°. B D E 【举一反三4】我们已经学习过圆周角及圆周角定理，我们知道：在同圆或等圆中，同孤或 等孤所对的圆周角相等.如图1，A,B,C,D是⊙0上的，点，连接AD,BD,AC,BC,则 ∠ADB=∠ACB D D D 0. 0. B B 图1 图2 图3 (1)如图2，当点C在⊙O内部时，探究∠ADB与∠ACB的大小关系，并说明理由. (2)如图3，当点C在⊙O外部时，∠ADB ∠ACB.(填“>”、“=”或“<”) 【答案】解：（1)∠ACB>∠ADB.理由如下： 延长AC交⊙O于E,连接BE,如图， D B .AB=AB, ∴.∠ADB=∠E, .∠ACB>∠E, ∴.∠ACB>∠ADB (2)连接BE,如图， D A .'AB=4B, .∠ADB=∠E, '∠ACB<∠E, ∴.∠ADB>∠ACB, 故答案为：> 【举一反三5】如图，CD是⊙0的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD,垂足为M,E为D上一点， 且AE=AC,连接EC交AB于点F,连接AC. E F M B (1)求证：∠BAC=∠ECA; (2)若OM=3,0C=5,求FM的长 【答案】解：(1)：CD是OO的直径，AB⊥CD, ..AC=BC, 又AE=AC, ..BC=AC, ..BC=AE, .∠BAC=∠ECA. (2)连接0A, 0C=5, .0A=0C=5, 又AB⊥CD,OM=3, ..AM=OA2-OM2=4, 0M=3,0C=5, ..MC=OC-OM =2, 由（1)可知∠BAC=∠ECA, ∴.FA=FC; 设FA=FC=x, .FM =MA-FA=4-x, 在Rt△FMC中FM2+MC2=FC2, .(4-x)2+22=x2, 5 解得：x= 2 :R=2) 5 53 .FM=AM-AF=4- 22· E M B 【题型2】圆周角的概念辨析 【典型例题】下列四个图形的角是圆周角的是（) A B D ● 【答案】A 【解析】A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意； B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意： C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意： D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意： 故选：A. 【举一反三1】如图，图中共有圆周角（) 0 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【解析】图中的圆周角有：∠FAE,∠AEF,∠AFE,∠AED,∠FED共5个， 故选C. 【举一反三2】如图，点A,B,C,D均在圆上，则图中有个圆周角. A B 【答案】8 【解析】以点A,C为顶，点的圆周角各有3个，以点B,D为顶点的圆周角各有1个，共有8个圆 周角. 故答案为8 【举一反三3】观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】解：(a)∠1顶点在⊙0内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角： (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角： (C)图中∠3、∠4、∠BAD的顶，点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周 角 (d)∠5顶，点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角： ()∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【举一反三4】判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】解：图(3)顶点在圆上，并且两边都与圆相交，是圆周角.图（1)（2)的顶点没 有在圆上，图(4)(5)中角的两边没有都与圆相交，都不是圆周角. 【题型3】圆周角定理推论1 【典型例题】如图，已知等腰△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过，点D作线DE 垂直BC于点E,若AC=85,∠C=30°，则DE的长度是() C D B A.4W5 B.4 C.25 D.3 【答案】C 【解析】如图，连接BD, D AB是直径， ∠ADB=90°， AB=BC, .BD为△ABC的中线， 4D=Dc=4c=46, :∠C=30°，DE⊥EC, :DE=DC=25, 2 故选：C 【举一反三1】如图，AB是OO的直径，弦CD⊥AB,连接AC,BC,OD,若∠B=52°，则 ∠AOD=（) B A.104° B.109 C.114° D.119 【答案】A 【解析】AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .∠B=52°， ∴.∠CAB=90°-∠B=38°， 设CD⊥AB交AB与点E, ∴.∠CEA=90°， ∴.∠ACE=90°-∠CAB=52°， .aD=AD, .∠A0D=2∠ACE=2×52°=104°. 故选：A. 3.5圆周角 讲解目录 【知识点1】相交弦定理 1 【知识点2】圆周角定理 1 【知识点3】圆内接四边形的性质 2 【题型1】圆周角定理推论2 2 【题型2】圆周角的概念辨析 4 【题型3】圆周角定理推论1 5 【题型4】圆周角定理 6 知识讲解 【知识点1】相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD（相交弦定理） （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA•PB（相交弦定理推论）． 【知识点2】圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【知识点3】圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 题型专练 【题型1】圆周角定理推论2 【典型例题】如图，内接于，是的直径，是圆上一点，连接，，．若平分，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，点均在上，且是直径，点为优弧的中点，连接．若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，若，平分，则的度数为     ． 【举一反三3】如图，是的直径，点、、是上的点，连接、交于点且，则             ． 【举一反三4】我们已经学习过圆周角及圆周角定理，我们知道：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图1，A，B，C，D是⊙O上的点，连接，，，，则．    (1)如图2，当点在内部时，探究与的大小关系，并说明理由． (2)如图3，当点在外部时， ______．（填“>”、“=”或“<”） 【举一反三5】如图，是的直径，是的弦，，垂足为，为上一点，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型2】圆周角的概念辨析 【典型例题】下列四个图形的角是圆周角的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，图中共有圆周角（    ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【举一反三2】如图，点均在圆上，则图中有        个圆周角． 【举一反三3】观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【举一反三4】判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由： 【题型3】圆周角定理推论1 【典型例题】如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点，过点作线垂直于点，若，，则的长度是（    ） A. B.4 C. D.3 【举一反三1】如图，是的直径，弦，连接，，，若，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，半径为4，将三角板的60°、90°角顶点A，B放在圆上，AC，BC两边分别与交于D，E两点，，则△ABC的面积为      ． 【举一反三3】如图，已知，利用尺规作图作，使得A、、三点都在上，且．（不写作法，保留作图痕迹） 【举一反三4】已知：如图，在三角形中，，以腰为直径作半圆O，分别交、于点D、E，求证：．    【题型4】圆周角定理 【典型例题】如图，的直径与弦交于点 C，．若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，圆内接于，连接，，，．若，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，、是的弦，、是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连结．若，则的度数可能为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，是的内接三角形，，则        ． 【举一反三4】如图1，，，都是的半径，． (1)求证：； (2)如图2，过点作半径，垂足为，连接，若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $