2.1等式性质与不等式性质6题型分类(讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.1 等式性质与不等式性质6题型分类 一、等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【思考1】若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立. 【思考2】若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立. （一） 用不等式（组）表示不等关系 (1)数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系，用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:①要先读懂题，设出未知量;②抓关键词，找到不等关系;③用不等式表示不等关系。思维要严密、规范. (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于,超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ (3)用不等式(组)表示不等关系的步骤 ①审清题意，明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等. ②适当的设未知数表示变量. ③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式，此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 题型1：用不等式（组）表示不等关系 1．（2025高一·全国·专题练习）大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）（1）限速的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过，用不等式如何表示？ （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于，如何用不等式组表示上述关系？ 3．（2025·云南昆明·模拟预测）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 . 4．（2025高一·四川眉山·阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 5．（2025高一·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 （二） 利用不等式的性质判断命题的真假 (1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以通过举反例的方法. (2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质． ②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 题型2：利用不等式的性质判断命题的真假 6．（2025高一·四川成都·阶段练习）已知，则下列说法正确的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．【多选】（2025高一·江苏南京·阶段练习）已知∈R，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2025高一·四川广安·期中）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 9．（2025高一·江苏常州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高三·北京顺义·阶段练习）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 12．【多选】（25-26高三·广东深圳·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 13．（25-26高一·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一·全国·课前预习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． （三） 比较两个实数的大小 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 题型3：数（式）比较大小 15．（2025高一·全国·专题练习）已知为正实数，试比较与的大小． 16．（2025高一·全国·课后作业）已知，为正数，且，比较与的大小． 17．（2025高一·全国·课后作业）若,试比较和的大小. 18．（2025高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）比较下列各组中与的大小，并给出证明. (1)与，其中； (2)与； (3)与. 19．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知均为正实数，试利用作差法比较与的大小． （2）对于，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 20．（2025高一·上海静安·期中）已知、，比较与的大小. （四） 利用不等式的性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式应注意的事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 题型4：利用不等式的性质证明不等式 21．（2025高一·江苏·课后作业）已知，，求证：. 22．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知．求证：． （2）若．求证：． 23．（2025高一·北京西城·阶段练习）已知，求证 24．（2025高一·全国·专题练习）用比较法证明以下各题： (1)已知，．求证：． (2)已知，．求证：． 25．（2025高一·湖南·课后作业）证明不等式： (1)若，，则； (2)若，，则． 26．（2025高一·湖南长沙·阶段练习）若，，，求证：. （五） 利用不等式的性质求参数范围 (1)利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． (2)利用不等式性质求范围的方法: ①借助性质，转化为同向不等式相加进行解答; ②所给条件尽量整体使用，切不可随意拆分所给条件; ③结合不等式的传递性进行求解. (3)求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体，并用其表示所求范围的量，同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围，再去求由此构成的代数式的取值范围，这往往会扩大代数式的范围. 题型5：利用不等式的性质求参数范围 27．（2025高一·全国·课后作业）已知1<a<4，2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围． 28．（2025高一·广东揭阳·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 29．（2025高一·全国·课后作业）若，则的取值范围为 . 30．（2025高一·全国·课后作业）已知，，求的取值范围. 31．（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的取值范围是 . （六） 不等式的实际应用 解决决策优化型应用题时，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个,然后再比较它们的大小即可． 题型6：不等式的实际应用 32．（2025高一·浙江·课后作业）甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地． 33．（2025高三·江西吉安·期末）某城市有一个面积为的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（    ） A．步行道的宽度 B．步行道的宽度 C．步行道的宽度 D．草坪不可能为黄金矩形 34．（2025高一·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 35．（2025高一·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 36．【多选】（2025高一·河北石家庄·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）若，则的值为（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．（2025高一·湖北·阶段练习）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·吉林·阶段练习）若且，则的值与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．（2025高一·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 5．（2025高一·重庆渝中·期末）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·课后作业）若规定（，且），则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·课后作业）若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 8．（2025高一·全国·课后作业）下列不等式，正确的个数为（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2025高一·全国·课后作业）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．（2007·江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是(    ) A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1 二、多选题 11．（2025高一·全国·课后作业）设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（    ） A． B．ac<bc C．a(b－c)>b(a－c) D． 12．（2025高一·全国·课后作业）下面列出的几种不等关系中，正确的为（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度t可表示为“” 13．（2025高一·全国·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．a2<b2 B．ab<b2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b| 14．（2025高一·江西南昌·期末）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（2025高一·广东广州·阶段练习）已知，则与的大小关系为 ． 16．（2025高一·全国·课后作业）已知，则与的大小关系是 ． 17．（2025高一·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 18．（2025高一·全国·课后作业）已知三个不等式：①，②，③，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成 个真命题． 19．（2025高一·全国·课后作业）已知，且，则的取值范围是 ． 20．（2025高一·天津武清·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是 ． 21．（2025高二·甘肃武威·期中）比较大小： . 22．（2025高一·福建福州·阶段练习）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度跑步速度均相同，则先到教室的是 ． 四、解答题 23．（2025高一·全国·课后作业）如果.分别求及的取值范围． 24．（2025高一·全国·课后作业）（1）设，比较与的大小； （2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小． 25．（2025高一·浙江·课后作业）甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地． 26．（2025高一·上海金山·期中）现有四个长方体容器，的底面积都是，高分别是 ；的底面积都是，高分别是，现规定一种游戏规则：每人每一次从容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有哪几种？并证明你的结论；若没有的话，说明理由. 27．（2025高一·广东梅州·期末）洗衣服是人们日常生活中的一件极普通但又不可或缺的事.对于一件用洗衣粉已搓洗好而即将进入漂洗阶段的衣服，如果用定量的清水来漂洗它，问对清水分配使用的不同，对最终漂洗出来的衣服的干净程度有影响吗？为此，我们研究漂洗一块毛巾的情形，提出以下假设：①漂洗前和每一次漂洗拧干后，毛巾上总残留清水b克；②每一次漂洗时，毛巾上残留的污物会均匀地溶解在漂洗和残留的清水里，污物则按浓度比例（注：浓度比例）随着拧走的水而去除，剩余污物留在残留的清水中；③符号假设：用来漂洗的清水总质量为M克，漂洗之前毛巾上的初始污物质量为克，现在，有以下两种方案：方案一：一次性用完全部的清水去漂洗毛巾；方案二：把清水均匀地分两次，对毛巾进行漂洗. (1)如果采用方案一，求漂洗拧干后的毛巾中污物剩余质量； (2)如果采用方案二，设第一次漂洗之后毛巾上残留的污物质量为克，第二次漂洗之后毛巾上残留的污物质量为克，求两次漂洗后的毛巾中污物剩余质量；并对比哪种方案的效果好. 28．（2025高一·全国·课后作业）某种商品计划提价，现有四种方案： 方案（1）先提价，再提价； 方案（2）先提价，再提价； 方案（3）分两次提价，每次提价； 方案（4）一次性提价. 已知，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？ （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.1 等式性质与不等式性质6题型分类 一、等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【思考1】若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立. 【思考2】若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立. （一） 用不等式（组）表示不等关系 (1)数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系，用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时:①要先读懂题，设出未知量;②抓关键词，找到不等关系;③用不等式表示不等关系。思维要严密、规范. (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于,超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ (3)用不等式(组)表示不等关系的步骤 ①审清题意，明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等. ②适当的设未知数表示变量. ③用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式，此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 题型1：用不等式（组）表示不等关系 1．（2025高一·全国·专题练习）大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】限重就是不超过，可以直接建立不等式． 2．（2025高一·全国·专题练习）（1）限速的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过，用不等式如何表示？ （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于，如何用不等式组表示上述关系？ 【答案】（1）；（2） 【解析】略 3．（2025·云南昆明·模拟预测）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 . 【答案】 【分析】根据题目所给已知条件列出不等关系式. 【解析】依题意，. 故答案为： 4．（2025高一·四川眉山·阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案. 【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为. 因为两段绳子长度之差不小于，所以， 化简得：. 故选：D 5．（2025高一·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”. 【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得. 故选：C. （二） 利用不等式的性质判断命题的真假 (1)对于关于不等式的命题判断，需要通过不等式的性质及等式的性质进行判断，除了通过正面证明也可以通过举反例的方法. (2)感悟提升利用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质． ②解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 题型2：利用不等式的性质判断命题的真假 6．（2025高一·四川成都·阶段练习）已知，则下列说法正确的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意，由不等式的性质，分别举出反例，即可得到结果. 【解析】对于A，若，则不成立，故A错误； 对于B，若，则不成立，故B错误； 对于C，将两边同时除，可得，故C正确； 对于D，取，可得不成立，故D错误； 故选：C 7．【多选】（2025高一·江苏南京·阶段练习）已知∈R，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于ABC项：根据不等式的性质逐项判断.对于D项，使用作差法比大小. 【解析】对于A：因为，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，两边同乘以得，故B正确； 对于C：因为，所以，所以，又，两式相乘得 ，故C错误； 对于D：, 因为，所以,所以，所以，故D正确. 故选：ABD 8．（2025高一·四川广安·期中）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质或者特值排除法可得答案. 【解析】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 9．（2025高一·江苏常州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】对于A，举例判断，对于B，利用不等式的性质判断，对于CD，作差判断 【解析】对于A，若，则，，此时，所以A错误， 对于B，由可得，则，所以由不等式的性质可得，所以B正确， 对于C，因为，所以， 所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以 ， 所以，所以D正确， 故选：A 10．（25-26高三·北京顺义·阶段练习）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【解析】A：若，则，错； B：若时，，错； C：由，，同向相加，不等式符号方向不变知，对； D：若，则，错. 故选：C 11．（25-26高一·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【解析】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B 12．【多选】（25-26高三·广东深圳·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】BC 【分析】利用作差法可判断AD选项；利用不等式性质可判断BC选项. 【解析】对于A，若，且，则，即，不知道的符号， 则的符号无法确定，即不一定成立，A错； 对于B，若，则，且，所以，所以，B对； 对于C，若，且，则，所以，C对； 对于D，，若，且，则，， 所以，所以，D错. 故选：BC 13．（25-26高一·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【解析】由，得，而， 所以，得，故，B错误； 因为，所以，所以，A错误； 由两边同时乘以，且，所以，C错误； 由两边同时乘以，且，得，D正确． 故选：D 14．（25-26高一·全国·课前预习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质及特殊值法判断各项的正误. 【解析】由，知，则，A正确； 取，则，B，C错误； 因为，所以，D错误． 故选：A （三） 比较两个实数的大小 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 题型3：数（式）比较大小 15．（2025高一·全国·专题练习）已知为正实数，试比较与的大小． 【答案】 【解析】解法一  （作差法） ． 为正实数，， ，当且仅当时等号成立． （当且仅当时取等号）． 解法二  （作商法） ， 当且仅当时取等号． ， （当且仅当时取等号）． 解法三  （平方后作差） ， ． ，又， 故（当且仅当时取等号）． 16．（2025高一·全国·课后作业）已知，为正数，且，比较与的大小． 【答案】 【分析】通过作差，提取公因式便可得出，并根据条件可以判断，这样即可得出所比较两个式子的大小关系 【解析】 ； ，且； ，； ； 即； ． 【点睛】本题主要考查作差法比较两个代数式的大小关系，分解因式法的运用，以及平方差公式，属于基础题． 17．（2025高一·全国·课后作业）若,试比较和的大小. 【答案】 【分析】根据不等式的性质比较即可. 【解析】，， 又，∴， ∴， ∴， 又∵， ∴. 18．（2025高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）比较下列各组中与的大小，并给出证明. (1)与，其中； (2)与； (3)与. 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)答案见解析，证明见解析 【分析】（1）（2）（3）利用作差法可得出、的大小关系. 【解析】（1）解：，故. （2）解：， 当且仅当时，等号成立，故. （3）解：. 当时，；当时，；当时，. 19．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知均为正实数，试利用作差法比较与的大小． （2）对于，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 【答案】（1）；（2）若，则 【解析】（1） ． 当时，； 当时，． 综上所述，． （2）若，则． 20．（2025高一·上海静安·期中）已知、，比较与的大小. 【答案】答案见解析 【分析】对和的大小进行分类讨论，利用作差法可得出与的大小关系. 【解析】解： 当时，，，则； 当时，，则 当时，，，则. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. （四） 利用不等式的性质证明不等式 利用不等式的性质证明不等式应注意的事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 题型4：利用不等式的性质证明不等式 21．（2025高一·江苏·课后作业）已知，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】证法1 ：作出可得，，两式相加即可求解；证法2：利用不等式的相加即可证明. 【解析】证法1 ： 由，得；由，得. 因为，所以 . 证法2：  因为，所以. 又因为，所以. 即. 22．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知．求证：． （2）若．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】证明:（1）， ． （2）， ． 23．（2025高一·北京西城·阶段练习）已知，求证 【答案】见解析 【分析】利用分析法，结合不等式性质即可. 【解析】要证：，又，即证： 又，即证：， 即证：，此式显然成立， 故成立. 24．（2025高一·全国·专题练习）用比较法证明以下各题： (1)已知，．求证：． (2)已知，．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作差可得，由完全平方的性质可得； （2）作差变形可得，可证不等式． 【解析】（1）证明：，， ， ； （2），，则与符号相同，且， ， . 25．（2025高一·湖南·课后作业）证明不等式： (1)若，，则； (2)若，，则． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）利用不等式的性质可证得结论； （2）由，知，利用，即可证得结论； 【解析】（1），两边同乘以，则 又，两边同乘以，则 即 （2），两边同乘以，得； 两边同乘以，得，所以 又，则，又，则， 即 26．（2025高一·湖南长沙·阶段练习）若，，，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】因为，所以，又，先得出，再得出，由不等式的同号可乘性即可证明. 【解析】证明：因为，所以， 又因为， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得， 所以， 所以， 因为，， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得. 又，所以， 所以 由不等式的同号可乘性可得. （五） 利用不等式的性质求参数范围 (1)利用不等式的性质求取值范围的策略 ①建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． ②同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． (2)利用不等式性质求范围的方法: ①借助性质，转化为同向不等式相加进行解答; ②所给条件尽量整体使用，切不可随意拆分所给条件; ③结合不等式的传递性进行求解. (3)求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体，并用其表示所求范围的量，同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围，再去求由此构成的代数式的取值范围，这往往会扩大代数式的范围. 题型5：利用不等式的性质求参数范围 27．（2025高一·全国·课后作业）已知1<a<4，2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围． 【答案】8<2a＋3b<32，－7<a－b<2. 【分析】由1<a<4，2<b<8，求出2a、3b、－b的范围，然后利用不等式的性质得结果 【解析】∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24 ∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又∵1<a<4， ∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2. 故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2. 【点睛】本题主要考查利用不等式的基本性质求范围，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 28．（2025高一·广东揭阳·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【解析】解：因为，且， 所以， 所以， 所以的取值范围是 故答案为： 29．（2025高一·全国·课后作业）若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件结合不等式性质求范围即可. 【解析】因为,所以, 又因为,所以. 故答案为：. 30．（2025高一·全国·课后作业）已知，，求的取值范围. 【答案】 【分析】先把转化为，利用不等式的可乘性和同向不等式相加即可求得. 【解析】设，则有： ，解得：，所以. 因为，所以， 因为，所以， 所以， 即， 所以的取值范围为. 31．（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将用来表示，根据不等式的性质，即可求得答案. 【解析】由题意可得， 因为，所以， 故， 即的取值范围是， 故答案为： （六） 不等式的实际应用 解决决策优化型应用题时，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个,然后再比较它们的大小即可． 题型6：不等式的实际应用 32．（2025高一·浙江·课后作业）甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地． 【答案】甲先到达B地． 【分析】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，． 然后利用作差法或作商法比较大小，作商法中要注意结合基本不等式的使用得到结论. 【解析】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，． 方法一  因为，即，所以甲先到达B地． 方法二  ，因为，所以，从而，即，所以甲先到达B地． 【点睛】本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题. 33．（2025高三·江西吉安·期末）某城市有一个面积为的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的比为），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（    ） A．步行道的宽度 B．步行道的宽度 C．步行道的宽度 D．草坪不可能为黄金矩形 【答案】D 【分析】分别设草坪的长、宽，利用求解. 【解析】设草坪的长、宽分别为，（），步行道的宽度为， ， 则，草坪不可能为黄金矩形. 故选：D. 34．（2025高一·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 【答案】 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案. 【解析】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为： 35．（2025高一·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)答案见详解 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【解析】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 36．【多选】（2025高一·河北石家庄·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【答案】ABD 【分析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案． 【解析】解：设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节， 则，则，解得， ，解得，所以，， 则或或，共种方案． 故选：ABD． 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）若，则的值为（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】A 【分析】利用作差法借助于题设条件即可判断. 【解析】＝. 因，故， ＞0，即＞0. 故选：A. 2．（2025高一·湖北·阶段练习）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取，，，利用排除法即可得正确选项. 【解析】令，，，则，，， 故排除A、B、D、 故选：C. 3．（2025高一·吉林·阶段练习）若且，则的值与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】借助作差法及配方法比大小即可得. 【解析】， 由且，故，即. 故选：C. 4．（2025高一·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【解析】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 5．（2025高一·重庆渝中·期末）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质可判断ABD，取特殊值可判断C选项. 【解析】选项A：因为，所以， 所以，故A错误； 选项B：因为，则， 所以，即， 又，所以不等式 两侧同时乘以，则，故B错误； 选项C：当时，此时， ，， ，故C错误； 选项D：因为，所以， 则 ，故D正确. 故选：D. 6．（2025高一·全国·课后作业）若规定（，且），则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义表示，利用作差法即可比较大小. 【解析】由题意得，，， ∴， ∵，∴，即. 故选：B. 7．（2025高一·全国·课后作业）若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】利用作差比较大小可得答案. 【解析】由题意知， ， 因为，， 所以， 即， 所以， 故. 故选：A. 8．（2025高一·全国·课后作业）下列不等式，正确的个数为（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用作差法以及因式分解对各式逐一判断即可得出结论. 【解析】①，所； ②， 易知，但的符号不能确定，所以②不一定正确； ③，所以.故①③正确． 故选：C. 9．（2025高一·全国·课后作业）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的性质可判断A；举反列可判断BCD. 【解析】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，已知，取， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，，故C错误； 对于D，已知，取， ，所以，故D错误. 故选：A. 10．（2007·江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是(    ) A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1 【答案】A 【分析】根据圆柱，圆锥的体积公式求出与酒杯的内空高度的关系，由此比较它们的大小. 【解析】设酒杯的内空高度为，杯口半径为，杯口面积为， 则，所以， 对于圆锥形酒杯，设剩余酒的液面对应的圆的半径为，则， 由已知，所以，所以，， 观察可得球形酒杯，圆台形酒杯都是上部大，下部小，所以当剩余一半酒时，余下部分的高度都应大于，即，，所以最小，B，D错误， 当剩余的酒的高度等于时，观察从左至右的三个酒杯可得，第二个酒杯中剩余的酒的体积占原杯中酒的体积的比例最大，所以当剩余的酒为原杯中的酒的体积的一半时，，，C错误，A正确， 故选：A. 二、多选题 11．（2025高一·全国·课后作业）设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（    ） A． B．ac<bc C．a(b－c)>b(a－c) D． 【答案】ABC 【分析】对于A，作差比较可知A正确；对于B，在a>b的两边同时乘以－c可知B正确；对于C，作差比较可知C正确；对于D，在a>b的两边同时乘以可知D错误． 【解析】对于A，∵a>b>1，c<0，∴>0，∴，故A正确； 对于B，∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴ac<bc，故B正确； 对于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正确； 对于D，∵<0，a>b>0，∴，故D错误． 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用不等式的性质比较大小，属于基础题. 12．（2025高一·全国·课后作业）下面列出的几种不等关系中，正确的为（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度t可表示为“” 【答案】CD 【分析】由不等关系求解. 【解析】A.x与2的和是非负数，应表示为“”，故错误； B.小明比小华矮，应表示为“”，故错误； C.，D正确． 故选：CD． 13．（2025高一·全国·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．a2<b2 B．ab<b2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b| 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质逐一分析判断各个选项即可得出答案. 【解析】解：因为，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A，B，C均正确，因为b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误. 故选：ABC. 14．（2025高一·江西南昌·期末）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】可根据已知条件，根据、的范围，分别表示出、的范围，然后再表示出、、、的范围，验证即可判断. 【解析】选项A，由，可得，故选项A正确； 选项B，由可得，而，所以，故选项B错误； 选项C，由，可得，故选项C正确； 选项D，由可得，而，所以，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 15．（2025高一·广东广州·阶段练习）已知，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】用作差法比较大小. 【解析】， 因为，所以，， 所以，即， 所以. 故答案为：. 16．（2025高一·全国·课后作业）已知，则与的大小关系是 ． 【答案】 【解析】利用作差法比较即可. 【解析】作差得： ∵，， ∴. 即. 【点睛】比较不等式的大小时，一般可采用以下几个方法： （1）作差比较法；若，则； （2）利用作商比较法.当，，且时，. 17．（2025高一·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【解析】由题意得，即. 故答案为：. 18．（2025高一·全国·课后作业）已知三个不等式：①，②，③，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成 个真命题． 【答案】3 【分析】根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 【解析】由不等式性质，得；； ．故可组成3个真命题． 故答案为：3. 19．（2025高一·全国·课后作业）已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将用和线性表示，再运用不等式的性质求其范围即得. 【解析】设， 则,解得， 即. 又，， 故，， 则， 即的取值范围是． 故答案为：. 20．（2025高一·天津武清·阶段练习）已知实数x，y满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，得，，得到，计算范围得到答案. 【解析】设， 故，解得，，，， 故，故. 故答案为：. 21．（2025高二·甘肃武威·期中）比较大小： . 【答案】 【分析】作差配方即可比较出大小. 【解析】解： . . 故答案为：. 【点睛】本题考查了运用作差法，配方法，完全平方公式来比较数的大小，属于基础题. 22．（2025高一·福建福州·阶段练习）甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度跑步速度均相同，则先到教室的是 ． 【答案】乙． 【解析】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室,故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作商法比较大小． 【解答】设从寝室到教室的路程为，甲、乙两人的步行速度为，跑步的速度为， 且， 甲所用的时间， 乙所用的时间满足，解得， 所以， 因为， 所以，即乙先到. 故答案为：乙先到教室. 四、解答题 23．（2025高一·全国·课后作业）如果.分别求及的取值范围． 【答案】 【分析】先利用不等式的性质分别求，的范围，再结合所求运用不等式的同向可加性，同向皆正可乘性即得. 【解析】因，故； 因，故； 又因，则，即. 24．（2025高一·全国·课后作业）（1）设，比较与的大小； （2）已知，函数，当时，，当时，，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用作差法比较数的大小可得结论； 【解析】（1） 因为，所以， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，所以，所以， （2）， 因为，所以，， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即. 25．（2025高一·浙江·课后作业）甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地． 【答案】甲先到达B地． 【分析】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，． 然后利用作差法或作商法比较大小，作商法中要注意结合基本不等式的使用得到结论. 【解析】设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，． 方法一  因为，即，所以甲先到达B地． 方法二  ，因为，所以，从而，即，所以甲先到达B地． 【点睛】本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题. 26．（2025高一·上海金山·期中）现有四个长方体容器，的底面积都是，高分别是 ；的底面积都是，高分别是，现规定一种游戏规则：每人每一次从容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有哪几种？并证明你的结论；若没有的话，说明理由. 【答案】先取容器必胜.理由见解析. 【解析】计算出容器的容积，然后作差：，，，观察哪个恒大于0即可得． 【解析】先取容器必胜. 证明：依次记容器的容积为 则 作差即可， ， ， 只有必大于0，即． 所以，先取容器必胜． 27．（2025高一·广东梅州·期末）洗衣服是人们日常生活中的一件极普通但又不可或缺的事.对于一件用洗衣粉已搓洗好而即将进入漂洗阶段的衣服，如果用定量的清水来漂洗它，问对清水分配使用的不同，对最终漂洗出来的衣服的干净程度有影响吗？为此，我们研究漂洗一块毛巾的情形，提出以下假设：①漂洗前和每一次漂洗拧干后，毛巾上总残留清水b克；②每一次漂洗时，毛巾上残留的污物会均匀地溶解在漂洗和残留的清水里，污物则按浓度比例（注：浓度比例）随着拧走的水而去除，剩余污物留在残留的清水中；③符号假设：用来漂洗的清水总质量为M克，漂洗之前毛巾上的初始污物质量为克，现在，有以下两种方案：方案一：一次性用完全部的清水去漂洗毛巾；方案二：把清水均匀地分两次，对毛巾进行漂洗. (1)如果采用方案一，求漂洗拧干后的毛巾中污物剩余质量； (2)如果采用方案二，设第一次漂洗之后毛巾上残留的污物质量为克，第二次漂洗之后毛巾上残留的污物质量为克，求两次漂洗后的毛巾中污物剩余质量；并对比哪种方案的效果好. 【答案】(1) (2)，，方案二的效果更好 【分析】（1）依照方案一漂洗时加入清水M克，此时克污物均匀地溶解在克清水里，取出毛巾拧“干”后，毛巾上残留的污物量均匀地溶解在毛巾上残留的清水b克里.得出，求出. （2）方案二，第一次漂洗，与问题一相同，有：，求出，同理得出，比较的大小关系即可得出结果. 【解析】（1）由假设知，第一次漂洗前，毛巾上有污物克，残留的清水b克.依照方案一漂洗时加入清水M克，此时克污物均匀地溶解在克清水里，取出毛巾拧“干”后，毛巾上残留的污物量均匀地溶解在毛巾上残留的清水b克里. 由于毛巾拧干前后污物的浓度相等，故拧干后毛巾上残留的污物量与毛巾上残留的清水量b之比，等于拧干前毛巾上残留的污物量与清水量之比， 即：，从而. （2）先采用方案二，第一次漂洗，与问题一相同，有： 即：第一次漂洗之后剩余污物量， 同理，在第二次漂洗拧干前，毛巾上残留的污物量与清水量之比，等于在拧干之后毛巾上残留的污物量与毛巾上残留的清水量b之比，即， 也即，然而. 因此，即说明方案二的效果更好. 28．（2025高一·全国·课后作业）某种商品计划提价，现有四种方案： 方案（1）先提价，再提价； 方案（2）先提价，再提价； 方案（3）分两次提价，每次提价； 方案（4）一次性提价. 已知，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？ 【答案】方案（3） 【分析】设单价为，计算四种提价方案后的价格，比较大小后可得出结论. 【解析】依题意，设单价为，那么方案（1）提价后的价格是， 方案（2）提价后的价格是， 方案（3）提价后的价格是， 方案（4）提价后的价格是， 所以，提价最少的是方案（4），方案（1）和方案（2）提价后的价格是一样的， 只需比较与的大小即可， 因为，则， 所以，， 所以， ， 因此，方案（3）提价最多. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $