1.1 课时1 空间向量及其线性运算导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1 课时1 空间向量及其线性运算 【学习目标】 1.通过类比平面向量,了解空间向量的有关概念.(数学抽象) 2.通过类比平面向量,学习并掌握空间向量的线性运算:加法、减法以及数乘运算;掌握线性运算的运算律:结合律、交换律和分配律.(数学运算) 3.能根据一些条件,在简单的几何体中解决一些向量的运算问题,即掌握空间向量的应用.(数学运算、直观想象) 【自主预习】 预习教材P2~5的内容,并完成下面的思考,提出你的疑惑与发现. 1.类比平面向量,可以表示平面向量,也可以表示空间向量吗?它们模长的几何意义相同吗? 2.在空间中,零向量、单位向量、相反向量、共线(平行)向量、相等向量的概念与平面向量中的定义相同吗? 3.空间向量线性运算的结果,与向量起点的选择有关系吗? 4.如何定义直线的方向向量及共面向量? 5.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简++,++.你能发现什么规律? 6.三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在空间中,任意一个向量都可以进行平移. (　　) (2)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. (　　) (3)空间向量线性运算的结果不一定是向量. (　　) (4)任意两个空间向量都不能比较大小. (　　) 2.下列说法正确的是(　　). A.空间向量就是空间中的一条有向线段 B.由于0的方向不确定,故0不能与任意向量平行 C.若|a|=|b|,则a与b共线 D.空间向量的模可以比较大小 3.(人教A版选择性必修第一册P5练习T2改编)(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,E为CC'的中点,F是AC'上靠近点A的三等分点,则下列表达式化简正确的是(　　). A.+= B.-+= C.-+= D.= 4.已知b=-5a,|a|=2,则向量b的长度为　　　　,向量b的方向与向量a的方向　　　　.  【合作探究】 探究1　空间向量的概念 已知一块正三角形钢板,它的三个顶点用等长的绳子绑起,在力F的作用下匀速上升,三根绳子的受力情况如图所示. 问题1:在物理学中,力是什么量?这三个力共面吗?这三个力在数学上叫什么? 问题2:你能根据平面向量的定义,写出空间向量的定义吗? 问题3:平面向量与空间向量的定义有何区别?它们的本质是否相同? 1.空间向量 (1)定义:在空间中,我们把具有　 和的量叫作空间向量. (2)长度或模:空间向量的叫作空间向量的长度或模.  (3)表示法:①几何表示法,空间向量用有向线段表示. ②字母表示法,用字母a,b,c,…表示. 若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可记作,其模记为|a|或||. 2.几类常见的空间向量 名称 定义 表示 零向量 长度为的向量  0 单位向量 模为的向量  |a|=　　　　或 ||=　　　　 相反向量 与向量a长度而方向的向量  共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线或,那么这些向量叫作共线向量或向量  a∥b 规定:零向量与任意向量 0∥a 相等向量 方向且模的向量  a=b 或= 例1　(1)给出下列说法: ①在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=; ②若a∥b,b∥c,则a∥c; ③若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ④若a,b是相反向量,则|a|=|b|. 其中,正确的是　　　　.(填序号)  (2)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,由顶点连接而成的向量中,与向量相等的向量有　　　　　.  【方法总结】在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同.由于向量是由其模和方向确定的,因此解答空间向量有关概念的问题时,通常抓住这两点来解决.零向量是一个特殊的向量,其方向是任意的,且与任何向量都共线,这一点说明了共线向量不具备传递性. 下列说法正确的是(　　). A.若|a|<|b|,则a<b B.两个有公共终点的向量,一定是共线向量 C.空间内两平行向量相等 D.向量与的模相同 如图所示,在由平行六面体ABCD-A'B'C'D'顶点连接而成的所有向量中,与向量相等的向量有　　　　　　,与向量相反的向量有　　　　　　.(要求写出所有符合条件的向量)  探究2　空间向量的线性运算 问题1:空间中的向量如何进行线性运算?能用平面向量的线性运算法则进行计算吗? 问题2:平面向量所满足的运算律(结合律、交换律和分配律)在空间中是否也满足? 1.空间向量的加法、减法以及数乘运算 由图(1)知 ①a+b=+=; ②a-b=-=. 由图(2)知 当λ>0时,λa=λ=;  当λ<0时,λa=λ=;  当λ=0时,λa=　　　　.  2.空间向量的线性运算满足的运算律(λ,μ∈R) 交换律:a+b=　　　　.  结合律:(a+b)+c=　　　　,λ(μa)=　　　　.  分配律:(λ+μ)a=　　　　, λ(a+b)=　　　　.  3.一般地,对于三个不共面的向量a,b,c,以任意点O为起点,a,b,c为邻边作平行六面体,则a,b,c的和等于以为起点的平行六面体所表示的向量. 例2　已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',如图所示. (1)化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量. ①++;②++. (2)若M为AC上靠近点A的三等分点,N为A'D上靠近点D的三等分点,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示. 【方法总结】利用线性运算进行向量表示的技巧:(1)结合已知向量和所求向量观察图形;(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中;(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　　). ①(-)-;②(+)-;③(-)-;④(-)+. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 探究3　共线向量、直线的方向向量与共面向量 问题1:对任意两个空间向量a与b,如果a=λb(λ∈R),那么a与b有什么位置关系?反过来,当a与b有什么位置关系时,a=λb(λ∈R)? 问题2:若某直线l上的向量与向量a平行,则与向量a平行的非零向量称为什么? 问题3:什么是共面向量?任意两个向量都共面吗? 1.空间两个向量共线(平行)的充要条件 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使　　　　.  2.直线的方向向量 如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得=　　　　.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的　　　　.  3.与直线、平面平行的向量 如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA 与直线l或　　　　,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA 或　　　　,那么称向量a平行于平面α.  4.共面向量 平行于的向量,叫作共面向量.  5.三个向量共面的充要条件 如果两个向量a,b,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=　　　　.  一、三点共线 例3　对于空间的任意一点O,以下条件可以判定点P,A,B共线的是　　　　.(填序号)  ①=+t(t∈R,t≠0);②5=+;③=-+. 【方法总结】对于空间三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明三点共线. ①存在实数λ,使=λ成立; ②对空间任意一点O,有=+t(t∈R); ③对空间任意一点O,有=x+y(x+y=1). 已知向量a,b且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点为(　　). A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 二、四点共面 例4　(改编)(多选题)给出下列命题,其中为假命题的是(　　). A.空间三点P,M,N不共线,若点O满足+2+3=0,则O,P,M,N四点共面 B.若向量a,b所在的直线是异面直线,则a,b不共面 C.若对空间中任意一点O,有=++,则P,A,B,C四点共面 D.若M,N,A,B四点共面,则=x+y 【方法总结】对于空间四点A,B,C,P,可通过证明下列结论来证明四点共面: (1)存在实数x,y,使得=x+y成立; (2)对于空间任意一点O,有=x+y+z(x+y+z=1). (多选题)下列说法中,正确的有(　　). A.若+2=0,则向量是直线CD的方向向量 B.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb C.若++=0,则点M与点A,B,C一定共面 D.若=3+2-6,则点M与点A,B,C一定共面 【随堂检测】 1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 点M满足2=.若=a,=b,=c,则下列向量与相等的是(　　). A.a-b+c B.a+b+c C.-a+b+c D.-a-b+c 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量与共面的是(　　). A., B., C., D., 3.如图,在四面体PABC中,E是AC的中点,=3,则=(　　). A.-+ B.-+ C.++ D.-+ 4.如图,在空间四边形ABCD中,G为△BCD的重心,E,F分别为边CD,AD的中点,试化简+-,并在图中标出化简结果的向量. 参考答案 1.1　空间向量及其运算 课时1　空间向量及其线性运算 自主预习·悟新知 预学忆思 1.可以.相同. 2.相同. 3.无关. 4.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.平行于同一平面的向量,叫作共面向量. 5.++=+=; ++=+=. 发现:(+)+=(+)+. 6.对于三个不共面的向量a,b,c,以任意点O为起点,a,b,c为邻边作平行六面体,则a,b,c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.D　【解析】有向线段只是空间向量的一种表示形式,故A错误;规定0的方向是任意的,0与任意向量平行,故B错误;因为向量a,b的模相等,而向量a,b的方向不确定,所以a与b不一定共线,故C错误;因为向量的模是一个实数,所以可以比较大小,故D正确. 3.BCD　【解析】+=,A错误;在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,有=,=,故-+=++=,B正确;因为=,E为CC'的中点,所以-+=++=,C正确;因为F是AC'上靠近点A的三等分点,所以(++)==,D正确. 4.10　相反 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:力是矢量,不共面,这三个力在数学上叫空间向量. 问题2:在空间中,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量. 问题3:定义的区别:平面向量与空间向量的不同之处就在于一个在平面内,一个在空间中.它们的本质相同,空间中的任意一个向量均在某一平面内. 新知生成 1.(1)大小　方向　(2)大小 2.0　1　1　1　相等　相反　-a　互相平行　重合　平行　平行　相同　相等 新知运用 例1　(1)①④　(2),,　【解析】(1)①因为与的大小和方向均相同,所以=,故①正确;②当b=0时,a∥c不一定成立,故②错误;③相等向量的起点与终点不一定相同,故③错误;④相反向量的模相等,故④正确. (2)与向量相等的向量有,,. 巩固训练1　D　【解析】向量的模有大小,但向量不能比较大小,A错误;终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反,B错误;相等向量需满足模相等,方向相同两个条件,因此,平行向量不一定相等,C错误;D正确. 巩固训练2　,,　,,,　【解析】根据相等向量的定义知,与向量相等的向量有,,,与向量相反的向量有,,,. 探究2　情境设置 问题1:能.因为空间向量是可以自由移动的,所以对于空间中的任意两个非零向量,我们都可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面,所以平移后的向量是在同一个平面内的,接着就可以利用平面向量的运算法则来进行线性运算. 问题2:满足. 新知生成 1.　　0 2.b+a　a+(b+c)　(λμ)a　λa+μa　λa+λb 3.O　对角线 新知运用 例2　【解析】(1)①++=++=+, 设P是线段CC'的中点,则++=+=,向量如图所示. ②++=+(+)=+, 设Q是线段A'C'的中点,则++=+=+=, 向量如图所示. (2)连接AN(图略),则=+,由题知四边形ABCD是平行四边形, 故=+=a+b.因为M为AC上靠近点A的三等分点,所以=-=-(a+b). 又N为A'D上靠近点D的三等分点,所以=+=-=-=-=(c+2b), 则=+=-(a+b)+(c+2b)=(-a+b+c). 巩固训练　A　【解析】①(-)-=++=; ②(+)-=++=+=; ③(-)-=-=-=≠; ④(-)+=++=++=+≠. 故选A. 探究3　情境设置 问题1:a=λb(λ∈R),则a∥b.反过来,类似于平面向量共线的充要条件,对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb. 问题2:直线l的方向向量. 问题3:平行于同一个平面的向量叫作共面向量.任意两个向量都共面. 新知生成 1.a=λb 2.λa　方向向量 3.平行　重合　平行于平面α　在平面α内 4.同一个平面 5.不共线　xa+yb 新知运用 例3　①　【解析】对于①,∵=+t(t≠0), ∴-=t(t≠0),∴=t(t≠0), ∴P,A,B三点共线,故①正确; 对于②,∵5=+,∴5=,∴,共线, ∴P,O,B三点共线,点P,A,B不一定共线,故②错误; 对于③,∵=-+=--+,∴-=-2,∴=-2,若BP与OA平行,则点P,A,B不共线,故③错误. 巩固训练　A　【解析】因为=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2, 所以与共线,即A,B,D三点共线. 例4　BD　【解析】因为+2+3=0,所以=-2-3,所以,,共面,所以O,P,M,N四点共面,A为真命题; 空间中任意两个向量都是共面的,B为假命题; 若对空间中任意一点O,有=++,由于++=1,则P,A,B,C四点共面,C为真命题; 若M,N,A,B四点共面,其中M,A,B三点共线,点N与点M,A,B不共线,则不存在实数x,y,使=x+y成立,D为假命题. 巩固训练　AC　【解析】若+2=0,则=-2,所以与共线,又CD是直线,所以≠0,所以向量是直线CD的方向向量,A正确;若b=0,a≠0,则a∥b,但不存在实数λ,使a=λb,B错误;由++=0,可得=--,由空间向量共面定理知,M,A,B,C四点一定共面,C正确;=3+2-6,因为3+2-6=-1≠1 ,所以M,A,B,C四点不共面,D错误. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】因为点M满足2=,所以M为AC的中点.连接BD(图略),因为四边形ABCD为平行四边形,所以M为BD的中点,所以==(+)=(-a+b), 所以=+=c+(-a+b)=-a+b+c. 2.C　【解析】如图,BA1∥CD1,因为,,共面,所以,,共面,其他几组与不共面. 3.B　【解析】因为=3,所以==-. 又E是AC的中点,所以==(-), 所以=++=-++(-)=-+. 故选B. 4.【解析】∵G是△BCD的重心,BE是CD边上的中线, ∴=. 又=(-) =-=-=, ∴+-=+-=(如图所示). 学科网（北京）股份有限公司 $