3.3垂径定理 同步课堂 2025-2026学年浙教版数学九年级上册

3.3垂径定理 讲解目录 【知识，点1】垂径定理的应用 1 【知识点2】垂径定理… 【题型1】利用垂径定理求值。 【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 7 【题型3】垂径定理的实际应用… 13 【题型4】垂径定理的推论… 16 知识讲解 【知识点1】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： (1)得到推论：平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条孤. (2)垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题， 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方 法一定要掌握， 【知识点2】垂径定理 (1)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤. (2)垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条孤. 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤. 推论3：平分弦所对一条孤的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤. Q 题型专练 【题型1】利用垂径定理求值 【典型例题】如图，已知AB是⊙O的一条弦，AB=6,点M在AB上，且AM=2,若OM=√7， 则⊙0的半径为（) M A B A.4 B.5 C.6 D.10 【答案】B 【解析】过O点ON⊥AB于N点，连接AO, A B ON⊥AB,AB=6,AM=2, 4w=B=专4B=3 .∴.MN=AN-AM=1, 在Rt△AON中，由勾股定理得ON2=AO2-AN2, 在Rt△MON中，由勾股定理得OM2=NO2+MN2=17, ∴.A02-AN2+N2=17, ∴.A0=17-Mw2+AN2=17-1+9=√25=5， 故选：B 【举一反三1】如图，已知⊙0的半径为10，⊙0的一条弦AB=16,若⊙0内的一点P恰好在AB 上，则线段OP的长度为整数的值有() 0 P B A.2个 B.3个 0.4个 D.5个 【答案】c 【解析】过O作OC⊥AB交AB于C,连接OB如图： B 则OC⊥AB,C为AB中点，OC≤OP<OB, :OB=10,8C-4B=8, ∴在Rt△0BC中0C=NOB2-BC2=6, .6≤0P<10, 又：OP长度为整数， 0P长可为6,7,89， 故选：C. 【举一反三2】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希 腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋 在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意， 画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸)，则该圆材的直 径为（) B 1寸 A.25寸 B.25m寸 C.26寸 D.26π寸 【答案】C 【解析】设圆心为0，过0作0c⊥4B于C,交⊙O于D,连接OA,如图所示， D B 1 1 1C=24B=2x10=5, 2 设⊙0的半径为寸， 在Rt△AC0中，OC=r-1,0A=r, 则有2=52+(r-12, 解得r=13 .⊙0的直径为26寸， 故选：C. 【举一反三3】如图，⊙O的半径是5，弦AB的长为8，点P在线段AB上运动，则OP的长有 个不同的整数， 【答案】3 【解析】当OP⊥AB时，OP的值最小， 剥4P=BP=方B=4, 如图所示，连接OA, 在RteOAP'中，AP=4,OA=5, 则根据勾股定理知0P=V2-42=3, 即3≤0P≤5，OP为正数， 则0P=3,4,5,即有3个不同的整数， 故答案为：3. 【举一反三4】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB于点D,交OO于点E,若AB=8, DE=2,则BC的长为· A D E 【答案】6 【解析】OE⊥AB, :.4D=BD=4B=4,∠AD0=∠BD0=90, 2 .OA=OC, ∴.OD是△ABC的中位线， 0D=BC,即BC=20D 设半径为r,则OD=OE-DE=r-2, 在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2, .r2=(r-2+42,解得r=5, .OD=r-2=3, ∴.BC=20D=6. 【举一反三5】如图，在直角坐标系中，直线y=x-4与坐标轴相交于点A,B,过点0，A的 ⊙E与该直线相交于点C,连结OE,OE=2.5. O A (1)求点E到x轴的距离. (2)连结0C,求0C的长. 【答案】解：（1)过点E作EH⊥x轴于点H,如图， 0 H A 当y=0时，x-4=0,解得x=4, .A(40), EH⊥OA, 0H=4H-201=2, 在△0HE中，EH=OE-0i--2-》 :点E到x轴的距离为 (2)连结OC,CE,如图， 当x=0时，y=x-4=-4, .B(0,-4), 0A=0B=4, :△OAB为等腰直角三角形， .∠0AB=45°， ∠0EC=2∠0AB-90°， △OEC为等腰直角三角形， 0c=0z= 2 H A 【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 【典型例题】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙0半径为5cm,油面 宽AB为6cm,如果再注入一些油后，油面宽变为8cm,则油面AB上升了（)cm. o A ZB A.1 B.3 C.3或4 D.1或7 【答案】D 【解析】分两种情况求①如图1，宽度为8cm的油面CD,作ON⊥AB与CD、AB的交点为 M、N, 0 C A 拉8D 图1 由通意知oM1cD,CM=MD=CD=4m,4w=Bv=4B=cm, 1 在Rt△BON中，由勾股定理得ON=√OB2-BN2=4cm, 在RteDOM中，由勾股定理得OM=√OD2-DM2=3cm, ∴.MW=ON-OM=1cm, ②如图2，宽度为8cm的油面EF,作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P,连接OB, E 0 77B 图2 由题意知PV⊥AB,EP=PF=EF=4em,4AN=BV=AB=3cm, 在Rt△BON中，由勾股定理得ON=NOB2-BN2=4cm, 在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=√OE2-EP2=3cm, ∴.NP=ON+0P=7cm, ∴.油面AB上升到CD,上升了1cm,油面AB上升到EF,上升了7cm; 故选D 【举一反三1】已知在⊙0中两条平行弦AB∥CD,AB=12,CD=16,⊙0的半径是10，则AB 与CD间的距离是（) A.6或12 B.2或14 C.6或14 D.2或12 【答案】B 【解析】分类讨论：①当AB和CD位于圆心同侧时，如图，连接OA,OC,过点0作OE⊥AB于 点E,交CD于点F. E AB∥CD, .OE⊥CD, :4E=14B-6,CF-ICD-8. 1 2 2 ,·0A=0C=10 ∴.0E=V042-AE2=8,0F=V0C2-CF2=6, ∴.EF=OE-OF=2,即此时AB与CD间的距离是2； ②当AB和CD位于圆心异侧时，如图，连接OA,OC,过，点0作OP LAB于点P,延长PO交CD于 点Q D AB∥CD, ∴.O2LCD ∴4P=4=6,cg=cD=8. 1 .0A=0C=10, .0P=N0A2-AP2=8,09=W0C2-Cg2=6, ∴.P2=OP+OQ=14,即此时AB与CD间的距离是14. 综上可知AB与CD间的距离是2或14. 故选B. 【举一反三2】如图，AB,CD是⊙O的两条平行弦，且AB=4,CD=6,AB,CD之间的距离 为5，则⊙0的直径是() A B ● D A.13 B.23 C.8 D.10 【答案】B 【解析】作OM⊥AB于M,延长MO交CD于N,连接OB,OD,设OM=x, M B :: N AB、CD是两条平行弦， ..ON⊥CD MB-348-2,DN-ICD-3, 0B2=0M2+MB2, 0B2=xX2+22, .OD2 ON2+DN2, 0D2=(5-x2+32, .·OB=OD x2+4=(5-x)2+9, x=3, 0B2=32+4=13, 0B=3, ⊙0直径长是2， 故选：B. 【举一反三3】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙0交于点G,B,F,E,GB=5,EF=4, 那么AD= A C E B G 【容】月 【解析】如图，连接OF,过点0作OHLEF,垂足为H, 3.3垂径定理 讲解目录 【知识点1】垂径定理的应用 1 【知识点2】垂径定理 1 【题型1】利用垂径定理求值 1 【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 7 【题型3】垂径定理的实际应用 13 【题型4】垂径定理的推论 16 知识讲解 【知识点1】垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【知识点2】垂径定理 （1）垂径定理      垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论      推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．      推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．      推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 题型专练 【题型1】利用垂径定理求值 【典型例题】如图，已知是的一条弦，，点M在上，且，若，则⊙O的半径为（    ）    A.4 B.5 C.6 D. 【举一反三1】如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 【举一反三2】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），则该圆材的直径为（    ） A.寸 B.寸 C.寸 D.寸 【举一反三3】如图，的半径是，弦的长为，点在线段上运动，则的长有          个不同的整数． 【举一反三4】如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为     ．    【举一反三5】如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，． (1)求点E到x轴的距离． (2)连结，求的长． 【题型2】利用垂径定理求平行弦问题 【典型例题】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5 cm，油面宽AB为6 cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8 cm，则油面AB上升了（ ）cm. A.1 B.3 C.3或4 D.1或7 【举一反三1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A.6或12 B.2或14 C.6或14 D.2或12 【举一反三2】如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为5，则的直径是（    ） A. B. C.8 D.10 【举一反三3】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB =5，EF =4，那么AD =      ． 【举一反三4】已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为     ． 【举一反三5】如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点. (1)如图1,当半径为,若,求弦的长; (2)如图2,当半径为, ,若,求弦的长. 【题型3】垂径定理的实际应用 【典型例题】小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状．大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（   ） A.2 B. C. D.3 【举一反三1】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（    ） A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 【举一反三2】如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（    ） A.20 B.12 C.10 D.8 【举一反三3】苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20 cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为       cm． 【举一反三4】如图，台风中心位于点，并沿东北方向移动，已知台风移动的速度为40千米时，受影响区域的半径为260千米，市位于点的北偏东方向上，距离点480千米．问：本次台风是否会影响市．若这次台风会影响市，求市受台风影响的时间． 【题型4】垂径定理的推论 【典型例题】如图，已知，点是以线段为弦的圆弧的中点，，点，分别是线段，上的动点，设，，则能表示与的函数关系的图像是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，的直径，是上一点，点平分，，则弦      ． 【举一反三3】如图，点是的弦的中点，经过圆心交于点，，求的半径为      ． 【举一反三4】如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED． （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由； （2）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $