3.3垂径定理 专题训练2024－2025学年浙教版数学九年级上册

浙教版九年级上学期第三章垂径定理专题 知识总结: 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 构建直角三角形:弦长的一半a,弦心距b,半径r 推论1、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 推论2、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 ※ 构建直角三角形:弦长的一半a,弦心距b,半径r 勾股定理列方程; ※ 圆中常见最值问题解题方法:将军饮马、中位线线段代换;过定点的最短弦垂直于圆心与定点的连线; 经典例题 【题型一:弦长的计算】 例1:如图,半圆O的直径为AB,E,F为AB的三等分点.EM∥FN交半圆于M,N,且∠NFB=60 ,EM+FN=,则它的半径是( ) A.2 B.3 C.4 D.3 练习1:如图,半径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD,已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180 ,则弦BC的长等于( ) A. B. C.8 D.6 练习2:如图,在⊙O内有折线OABC,其中OA=10,AB=16,∠A=∠B=60 ,则BC的长为 . 【题型二:最值问题】 例2:如图,在坐标系中以原点为圆心,半径为2的圆,直线y=kx﹣(k+1)与⊙O有两个交点A、B,则AB的最短长度是 . 练习1:如图,已知⊙O的半径为R,C、D是直径AB的同侧圆周上的两点,弧AC的度数为100 弧BC=2弧BD,动点P在线段AB上,则PC+PD的最小值为( ) A.R B.R C.R D.R 练习2:已知P为⊙O外的一点,P到⊙O上的点的最大距离为6,最小距离为2.若AB为⊙O内一条长为1的弦,则点P到直线AB的距离的最大值为 ,最小值为 . 【题型三:垂径定理的综合应用】 例3:如图,⊙O是 ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,连接CD,且AE=DE,BC=CE. (1)求∠ACB的度数; (2)过点O作OF⊥AC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长. 练习1:如图,D是⊙O弦BC的中点,A是弧BC上一点,OA与BC交于点E,若AO=8,BC=12,EO=BE,则线段OD= ,BE= . 练习2:如图,已知圆O的圆心为O,半径为3,点M为圆O内的一个定点,OM=,AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦,垂足为M. (1)当AB=4时,求四边形ADBC的面积; (2)当AB变化时,求四边形ADBC的面积的最大值. 巩固强化 1.如图,由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中,等边三角形与正方形的边长的比值为( ) A. B.3 C. D. 2.如图,长度为3的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P,若AB=8,则PM的最大值是 . 3.如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且AB=4,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为5,当GE+FH的值最大时,弦BC的长等于_. 4.如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为多少? 5.如图,正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O,EF与BC,CD分别相交于点G,H,则的值是( ) A. B. C. D. 6.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(4,a)(a>4),半径为4,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4,则a的值是 . 7.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E,F分别为AD,BC的中点,连接EF. (1)求∠ABC的度数; (2)设⊙O的半径为4. ①若BC=2AB,求四边形ABCD的面积; ②若,求EF的长. 浙教版九年级上学期第三章垂径定理专题 答案解析 经典例题 【题型一:弦长的计算】 例1:如图,半圆O的直径为AB,E,F为AB的三等分点.EM∥FN交半圆于M,N,且∠NFB=60 ,EM+FN=,则它的半径是( ) A.2 B.3 C.4 D.3 【解答】解:延长ME交⊙O于点G, ∵E、F为AB的三等分点,∠MEB=∠NFB=60 , ∴根据圆的对称性可得,FN=EG, ∴MG=ME+NF ∴MG=. 过点O作OH⊥MG于点H,连接OM, 则MH==. 设它的半径为x,则直径为2x, ∵AE=EF=BE, ∴AE=x,则OE=x, ∵EM∥FN,且∠NFB=60 , ∴∠MEB=60 , ∴OH=•sin60 =x, ∴+=x2,解得:x=3. 故选:D. 练习1:如图,半径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD,已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180 ,则弦BC的长等于( ) A. B. C.8 D.6 【解答】解:延长CA,交⊙A于点F,连接BF. ∵∠BAC+∠BAF=180 ,∠BAC+∠EAD=180 , ∴∠BAF=∠DAE, ∴BF=DE=6, ∵CF是直径, ∴∠ABF=90 ,CF=2 5=10, ∴BC==8. 解法二:如图,过点A作AM⊥BC于M,AN⊥DE于N. ∵AM⊥BC,AN⊥DE, ∴CM=MB,DN=NE=3, ∵AC=AB=AD=AE, ∴∠BAC=2∠MAC,∠EAD=2∠DAN, ∵∠BAC+∠EAD=180 , ∴2∠CAM+2∠DAN=180 , ∴∠CAM+∠DAN=90 , ∵∠ACM+∠CAM=90 , ∴∠ACM=∠DAN, ∵∠AMC=∠AND=90 , ∴ AMC≌ DNA(AAS), ∴AM=DN=3, ∴CM===4, ∴BC=2CM=8. 故选:C. 练习2:如图,在⊙O内有折线OABC,其中OA=10,AB=16,∠A=∠B=60 ,则BC的长为 26 . 【解答】解:延长AO交BC于D,作OH⊥BC于H,如图, ∵∠A=∠B=60 , ∴ ABD为等边三角形, ∴∠ADB=60 ,AD=BD=AB=16, ∴OD=AD﹣OA=16﹣10=6, 在Rt ODH中,∠ODH=60 , ∴∠DOH=30 , ∴DH=OD=3, ∴BH=BD﹣DH=16﹣3=13, ∵OH⊥BC, ∴BH=CH=13, ∴BC=2BH=26. 故答案为:26. 【题型二:最值问题】 例2:如图,在坐标系中以原点为圆心,半径为2的圆,直线y=kx﹣(k+1)与⊙O有两个交点A、B,则AB的最短长度是 2 . 【解答】解:∵直线y=kx﹣(k+1)可化为y=(x﹣1)k﹣1, ∴此直线恒过点(1,﹣1). 过点D作DH⊥x轴于点H, ∵OH=1,DH=1,OD===. ∵OB=2, ∴BD===, ∴AB=2. 故答案为:2. 练习1:如图,已知⊙O的半径为R,C、D是直径AB的同侧圆周上的两点,弧AC的度数为100 弧BC=2弧BD,动点P在线段AB上,则PC+PD的最小值为( ) A.R B.R C.R D.R 【解答】解:如图,作点D关于AB的对称点D′,连接CD′, 由轴对称确定最短路线问题,CD′与AB的交点即为所求的点P,CD′的长度为PC+PD的最小长度, ∵弧AC的度数为100 , ∴弧BC的度数为180 ﹣100 =80 , ∵弧BC=2弧BD, ∴弧BD的度数= 80 =40 , ∴弧CD′的度数=80 +40 =120 , 连接OD′,过点O作OE⊥CD′, 则∠COD′=120 ,OE垂直平分CD′, ∴CD′=2CE=2 R=R. 故选:C. 练习2:已知P为⊙O外的一点,P到⊙O上的点的最大距离为6,最小距离为2.若AB为⊙O内一条长为1的弦,则点P到直线AB的距离的最大值为 4+ ,最小值为 0 . 【解答】解:如图, 由题意设直线OP交⊙O于C,D,则PD=6,PC=2,CD=4, 当线段AB⊥线段CD于H时,点P到直线AB的距离最大,、 在Rt AOH中,∵OA=2,AH=, ∴OH==, ∴PH=4+, ∴点P到直线AB的最大距离为4+, 当A,B,P共线时,点P到直线AB的距离最小,最小值为0, 故答案为4+,0. 【题型三:垂径定理的综合应用】 例3:如图,⊙O是 ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,连接CD,且AE=DE,BC=CE. (1)求∠ACB的度数; (2)过点O作OF⊥AC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长. 【解答】(1)证明:在 AEB和 DEC中 , ∴ AEB≌ DEC(ASA), ∴EB=EC, 又∵BC=CE, ∴BE=CE=BC, ∴ EBC为等边三角形, ∴∠ACB=60 ; (2)解:作BM⊥AC于点M, ∵OF⊥AC, ∴AF=CF, ∵ EBC为等边三角形, ∴∠GEF=60 , ∴∠EGF=30 , ∵EG=2, ∴EF=1, 又∵AE=ED=3, ∴CF=AF=4, ∴AC=8,EC=5, ∴BC=5, ∵∠BCM=60 , ∴∠MBC=30 , ∴CM=,BM==, ∴AM=AC﹣CM=, ∴AB==7. 练习1:如图,D是⊙O弦BC的中点,A是弧BC上一点,OA与BC交于点E,若AO=8,BC=12,EO=BE,则线段OD= 2 ,BE= 4 . 【解答】解:(1)连接OB. ∵OD过圆心,且D是弦BC中点, ∴OD⊥BC,BD=BC, 在Rt BOD中,OD2+BD2=BO2. ∵BO=AO=8,BD=6. ∴OD=2; 在Rt EOD中,OD2+ED2=EO2. 设BE=x,则OE=x,ED=6﹣x. (2)2+(6﹣x)2=(x)2, 解得x1=﹣16(舍),x2=4. ∴ED=2, ∴BE=BD﹣ED=6﹣2=4. 故答案是:2;4. 练习2:如图,已知圆O的圆心为O,半径为3,点M为圆O内的一个定点,OM=,AB、CD是圆O的两条相互垂直的弦,垂足为M. (1)当AB=4时,求四边形ADBC的面积; (2)当AB变化时,求四边形ADBC的面积的最大值. 【解答】解:(1)作OE⊥CD于E,OF⊥AB于F,连接OB,OC, 那么AB=2=4, ∴OF=, 又∵OE2+OF2=OM2=5, ∴OE=0, ∴CD=6, ∴S四边形ADBC=AB CD=12; (2)设OE=x,OF=y,则x2+y2=5, ∵AB=2,CD=2, ∴S四边形ADBC=AB CD= 2 2=2=2, ∴当x2=时,四边形ADBC的最大面积是13. 巩固强化 1.如图,由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中,等边三角形与正方形的边长的比值为( ) A. B.3 C. D. 【解答】解:如图, 设圆的圆心为O,由题意知:三角形的重心以及三个正方形的共用顶点即为点O. 过A作AD⊥BC于D,则AD必过点O,且AO=2OD; 设 ABC的边长为2x,则BD=x,AD==x, OD=x; ∴正方形的边长为:x, ∴等边三角形与正方形的边长的比值是2x:x=, 故选:C. 2.如图,长度为3的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P,若AB=8,则PM的最大值是 4 . 【解答】解:延长CP交⊙O于K,连接DK, ∵AB⊥CK,AB是直径, ∴PC=PK, ∵CM=MD, ∴PM=DK, 当DK过O时,DK最大值为8, ∴PM的最大值=DK=4, 故答案为:4. 3.如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且AB=4,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为5,当GE+FH的值最大时,弦BC的长等于_. A.8 B.10 C.2或8 D.2或10 【解答】解:分两种情况: ①如图1, ∵AB=4,点E、F分别为AC、BC的中点, ∴EF=2, ∴当GH最长为直径时,GE+FH的值最大, ∴GH⊥BC, ∴CF=BF, ∵OC=5, ∴CF==, ∴BC=2; ②如图2, ∵AB=4,点E、F分别为AC、BC的中点, ∴EF=2, ∴当GH最长为直径时,GE+FH的值最大, ∴GH⊥AC, ∴CE=AE, ∵OC=5, ∴BC=10; ∴BC=10或2, 4.如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为多少? 【解答】解:连接OA,OB,OC,作CH垂直于AB于H. ∵AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F, ∴BE=AB=4,CF=CD=3, ∴OE===3, OF===4, ∴CH=OE+OF=3+4=7, BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7, 在Rt BCH中根据勾股定理得到BC===7,即PA+PC的最小值为7. 5.如图,正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O,EF与BC,CD分别相交于点G,H,则的值是( ) A. B. C. D. 【解答】解:如图,连接AC、BD、OF,, 设⊙O的半径是r, 则OF=r, ∵AO是∠EAF的平分线, ∴∠OAF=60 2=30 , ∵OA=OF, ∴∠OFA=∠OAF=30 , ∴∠COF=30 +30 =60 , ∴FI=r•sin60 =r, ∴EF=r 2=r, ∵AO=2OI, ∴OI=r,CI=r﹣r=r, ∴==, ∴GH=BD=r, ∴==. 故选:C. 6.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心坐标是(4,a)(a>4),半径为4,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4,则a的值是 4+2 . 【解答】解:作PC⊥x轴于C,交AB于D,作PE⊥AB于E,连接PB,如图, ∵⊙P的圆心坐标是(4,a), ∴OC=4,PC=a, 把x=4代入y=x得y=4, ∴D点坐标为(4,4), ∴CD=4, ∴ OCD为等腰直角三角形, ∴ PED也为等腰直角三角形, ∵PE⊥AB, ∴AE=BE=AB= 4=2, 在Rt PBE中,PB=4, ∴PE==2, ∴PD=PE=2, ∴a=4+2. 故答案为:4+2. 7.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E,F分别为AD,BC的中点,连接EF. (1)求∠ABC的度数; (2)设⊙O的半径为4. ①若BC=2AB,求四边形ABCD的面积; ②若,求EF的长. 【解答】(1)连接AC,在 ADC与 ABC中,, ∴ ADC≌ ABC, ∴∠D=∠B, ∴∠B+∠D=180 , ∴∠ABC=90 ; (2)①∵∠ABC=90 , ∴AC是⊙O的半径, 在Rt ABC中,AC2=AB2+BC2, ∵BC=2AB,AC=8, ∴AC2=AB2+(2AB)2=64, ∴AB2=, ∴S四边形ABCD=S ADC+S ABC=2S ABC=2 AB•BC=2 2AB2=; ②取AB的中点G,连接EG,FG, ∵, ∴∠BAC=2∠ACB, ∴∠BAC=60 ,∠ACB=30 , ∵BC=CD, ∴∠BAC=∠DAC=60 , ∴∠BAD=120 , ∵AC=8, ∴FG=AC=4,AE=AG=AB=2, ∴EG=2,∠AGE=30 , ∵∠BGF=60 , ∴∠EGF=90 , ∴EF==2. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$