24.1.3 弧 弦 圆心角 课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“弧、弦、圆心角”核心内容，通过“圆是否为中心对称图形”“旋转任意角度是否重合”的问题导入，承接圆的基本性质，以旋转不变性为支架，引导学生探究三者关系定理。 其亮点在于结合观察旋转、等圆问题探究，培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过定理推导及例2用HL证全等得圆心角相等，发展推理能力（数学思维），以符号表达和规范证明体现数学语言。助力学生构建知识体系，教师可依托结构化资源提升教学效率。

24.1.3 弧、弦、圆心角 R·九年级上册 新课导入 问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ 问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？ 这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理. (1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性. (2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理. (3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题. 观察 1. 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 重合， 圆是中心对称图形. . O A B 180° 知识点：圆心角、弧、弦之间的关系 2. 把圆绕圆心 O 顺时针旋转 45°、90° ，所得图形与原图形重合吗？旋转任意角度呢？ A A′ B B′ 旋转角______ = 45° 旋转角______ = 90° ∠AOA′ ∠BOB′ 仍重合. 顶点在圆心上 圆心角的定义：我们把顶点在圆心的角叫圆心角. 45° 90° 有什么特点？ 想一想 圆心角、弧、弦三个量之间有什么关系？ O A B 任意给圆心角，对应出现三角量： 圆心角 ∠AOB 弦 AB 弧 知1－练 感悟新知 解：∵∠N=90°，MN=ON，∴∠MON=45°. 由题意知，∠ NON′=60°，即∠BOD=60°. ∴劣弧AD所对的圆心角为∠AOD= ∠AOB+ ∠BOD= 45°+60°=105°. 知1－练 感悟新知 1-1.如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠B=36°，以点 C 为圆心， CA 长为半径的圆交 AB 于点D， 交 BC 于点E， 则弧 AD 所对的圆心角的度数为_______ . 72° 如图，在等圆中，如果圆心角 ∠AOB ＝∠A′O′B′，你发现的等量关系是否依然成立？ 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB =∠A′O′B′，那么 ，弦 AB = 弦 A′B′. 归纳 O′ · O A B · A′ B′ ①∠AOB = ∠A′OB′ ③ AB = A′B′ A B O B′ A′ 总结 弧、弦与圆心角的关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ② 1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦。 （1）如果AB=CD，那么 ， 。 （2）如果AB=CD，那么 ， 。 （3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。 （4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，OE与OF相等吗？为什么？ O C D F A B E 四、课堂练习 ⌒ ⌒ 11 2.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。 O A B E D C ⌒ ⌒ ⌒ 12 例2 如图所示，AB是⊙0的直径，M、N分别是AO、BO的中，CM⊥AB交圆于点C，DN⊥AB交圆于点D，求证： AC=BD. ︵ ︵ O C A B D M N 课堂总结 探究新知 当堂检测 学习目标 证明：连接OC、OD ∵ M、N分别是AO、BO的中点,而OA=OB ∴ OM=ON 在Rt△COM和Rt△DON中 OC=OD OM=ON ∴ Rt△COM≌ Rt△DON（HL） ∴ ∠AOC= ∠BOD ∴AC=BD ︵ ︵ O C A B D M N 课堂总结 探究新知 当堂检测 学习目标 (4) 如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ （4）解：OE=OF.理由如下： ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∵AB=CD， ∴AE=CF. ∵OA=OC， ∴Rt△AOE=Rt△COF. ∴OE=OF. A B C O 例2 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°. 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ∴ AB=AC， 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 证明： ∵ = ， ∴△ABC是等腰三角形． 1. 在⊙O中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则 与 的关系是（ ） A. =2 B. ＞2 C. ＜2 D.不能确定 A 随堂练习 因为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 并且∠AOB＝2∠COD，所以 =2 2.如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． · A O B C D E 解： ∵ ∠COD=35°， 知3－讲 感悟新知 拓宽视野 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两个弦心距中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等，其关系可表示为 感悟新知 知3－练 如图 24.1－27，在⊙ O 中， AB = CD，则在①AB=CD； ② AC=BD； ③ ∠ AOC= ∠ BOD； ④ AC = BD 中，正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ⌒ ⌒ 例3 ⌒ ⌒ 5.如图，已知AB、DE为⊙O的两条直径，点C是⊙O的一点，且 求证:BE＝CE. AD＝CE. ⌒ ⌒ A B E C D 当堂练习 6.如图，以▱ABCD的顶点为A圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E、F，延长BA交⊙A于点G， 求证： GE＝EF. ⌒ ⌒ B A F E C D G 当堂练习 　　例1　如图，在⊙O中， ＝ ，∠ACB＝60°．求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC． 　　∴AB＝AC． 　　又∠ACB＝60°， 　　∴△ABC是等边三角形 ． 　　∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC． 　　∴△ABC是等腰三角形． 　　∴AB＝BC＝CA． 　　证明：∵ ＝ ， B A C O 23 　　在同圆或等圆中，当证明等弦、等角的问题时，除利用三角形全等及其他相关的性质外，一定要善于利用弧、弦、圆心角三者的相关定理来完成． $