10.1.2事件的关系和运算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件围绕概率章节中的事件关系与运算展开，从掷骰子等贴近生活的实例出发，通过样本空间的构建、集合表示和逻辑推理，层层递进地引导学生理解事件的包含、并、交、互斥与对立等核心概念，形成由具体到抽象的学习支架。 其亮点在于深度融合数学核心素养，以“数学眼光”观察现实情境，如用集合语言刻画事件关系；以“数学思维”进行逻辑推演，如通过Venn图分析事件运算规律；以“数学语言”表达复杂关系，如用符号准确描述互斥与对立的本质区别。例如在例2中，学生需结合摸球试验，自主列出样本空间并判断事件间的并、交与对立关系，既锻炼了抽象能力又强化了逻辑推理意识。此设计有助于学生建立清晰的概率模型认知结构，提升问题解决能力，也为教师提供可直接使用的教学范式，增强课堂实效性。

10.1.2事件的关系与运算 第十章 概率 11 九月 2025 10.1随机事件与概率 学习目标 重点：事件的关系与运算及其应用 难点：互斥事件与对立事件的区别与联系，用事件的混合运算 表示复杂事件 1.结合具体实例，了解随机事件的并、交与互斥的含义；会利用简单事件，借助并、交与互斥等事件关系准确的表示出较复杂的随机事件. 2.能结合具体实例进行随机事件的并、交运算. 从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算. 一起探究吧！ 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 任务一：探究事件的关系 在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件， 如：Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6； G＝“点数为奇数”； 1.你能写出样本空间吗？你能用集合表示下列事件吗？ C1＝“点数为1”；G＝“点数为奇数”. 2.你能发现这两个集合之间有什么关系，这两个事件之间又有何关系呢？ 1.样本空间Ω={1，2，3，4，5}，它们分别是C1＝{1}和G＝{1，3，5}. 2.集合关系：{1}⊆ {1，3，5}，即C1⊆ G. 事件关系：如果事件C1发生，那么事件G一定发生. 你还能写出这个试验中其他一些事件吗？ 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A (或事件A包含于事件B)，记作B⊇ A(或A⊆ B).可用下图表示. 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇ A且A⊇ B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B. A B 注意：不可能事件记为∅； 任何事件都包含不可能事件. 你能举出生活中具有包含关系和相等关系的实例吗？ 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 任务二：探究事件的运算 在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件， 如：C₂= “点数为2”; D₁= “点数不大于3”; E₁=“点数为1，2”;  E₂=“点数为2或3”. 1.你能用集合表示上面的事件吗? 2.①集合D1，E1，E2之间有什么关系？对应事件之间又有何关系？ ②集合C2，E1，E2之间有什么关系？对应事件之间又有何关系呢？ C2={2}，D1={1,2,3}，E1={1,2}，E2={2,3} ①集合关系：{1,2}∪{2,3}={1,2,3}，即 E1∪E2=D1. 事件关系：若事件E1和事件E2至少有一个发生，则事件D1发生. ②集合关系：{1,2}∩{2,3}={2}，即 E1∩E2=C2. 事件关系：事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 定义：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件 (或和事件)，记作A∪B (或A＋B). 下图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件 A∪B (或A＋B) 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 定义：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B (或AB). 下图中的蓝色区域表示这个交事件 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 任务三：探究互斥事件与对立事件 在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件， 如：C₃=“点数为3”; C₅=“点数为5”;F= “点数为偶数”;   G=“点数为奇数”. 1.你能用集合表示上面的事件吗? 2.①集合C₃,C₅之间有什么关系?对应事件之间又有何关系呢? ②集合F,G之间有什么关系?对应事件之间又有何关系呢? C3={3}，C5={5}, F={2,4,6}，G={1,3,5}. ②集合关系：{2,4,6}∪{1,3,5}=Ω，即 {2,4,6}∩{1,3,5}=∅. 事件关系：在任何一次试验中，事件F和事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一. ①集合关系：{3}∩{5}=∅，即 C3∩C5=∅. 事件关系：在任何一次试验中，事件C3和事件C5不可能同时发生. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 定义：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容). 下图中可以表示这两个事件互斥 提示：1.两事件互斥，两事件的交事件是不可能事件. 2.两事件互斥，两事件的和事件不一定是必然事件. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一 个发生，即AUB=Ω,   且A∩B=Φ,  那么称事件A与事件B 互为对立. 事件A的对立事件记为. 下图中可以表示这两个事件对立 提示：1.两事件对立，两事件的交事件是不可能事件. 2.两事件对立，两事件的和事件一定是必然事件 注意：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 概念辨析 (1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(　　) (2)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(　　) (3)若事件A与事件B在任何一次试验中都不同时发生，则事件A与事件B互斥．(　　) (4)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．(　　) × √ √ √ 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆ B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=∅，A∪B=Ω 总结：事件的关系及运算 推广 类似地,可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C, A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生, A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生,等等. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 例1.由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效. 设事件A= “甲元件正常”,B= “乙元件正常”. (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A,B 以及它们的对立事件； (3)用集合的形式表示事件AUB 和事件∩, 并说明它们的含义及关系. 解：(1)用,分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用( ,) 表示这个 并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为 Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. (2)根据题意，得A ={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)}, ={(0,0),(0,1)},={(0,0),(1,0)}. (3)AUB={(0,1),(1,0),(1,1},={(0,0)}; AUB表示电路工作正常， 表示电路工作不正常；AUB和互为对立事 件. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 例2.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？ (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？ 事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？ 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； 解：(1)所有的试验结果如图所示.用数组(x1，x2)表示可能的结果， x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间 Ω＝｛(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)｝. 事件R1＝“第一次摸到红球”，即x1＝1或2， 于是R1＝｛(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)｝； 事件R2＝“第二次摸到红球”，即x2＝1或2， 于是R2＝｛(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)｝ 同理，有R＝｛(1，2)，(2，1)｝， G＝｛(3，4)，(4，3)｝， M＝｛(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)｝， N ＝｛(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)｝. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 (2)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？ (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？ 事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？ 解：(2)因为 ,  所以事件R₁ 包含事件R; 因为=∅,  所以事件R 与事件G互斥；因为M∩N=∅, 所以事件M 与事件N互为对立事件. (3)因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件； 因为，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 事件运算的规律: (1)利用事件间运算的定义,列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算. (2)利用Venn图,借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,并进行运算. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 1.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对 C 解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但事件“甲分得红牌”不发生时，事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选C ． 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 2.从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是( ) A.恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B.至少有一个黄球与都是黄球 C.至少有一个黄球与都是蓝球 D.至少有一个黄球与至少有一个蓝球 解：从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，共有4种情况： ①3个球全是黄球；②2个黄球和1个蓝球；③1个黄球2个蓝球；④3个球全是蓝球． 恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确； 至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①， ∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误； 至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④， ∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误； 至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④， ∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选A． A 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 3. (多选题)一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，给出下列事件，其中互斥事件有     (     ) A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B.“至少有1件次品”和“都是次品” C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D.“至少有1件次品”和“都是正品” 解  对于A,“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”,与“2件都是次品”显然是互斥 事件.对于B,“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”,与“都是次品”可能 同时发生，因此这两个事件不是互斥事件.对于C,“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和 “2件都是正品”,与“至少有1件次品”不是互斥事件.对于D,“至少有1件次品”包括“恰有 1件次品”和“2件都是次品”,与“都是正品”显然是互斥事件. AD 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 4.有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，现从中任取1本，记取到语文、数学、英语、 物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E, 则事件“取出的是理科书”可记为           B∪D∪E 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 5.有5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5,依次有放回地抽取两个小球.记事件A=“ 第一次抽取的小球上的数字为奇数”,事件B=“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”,事件C=“抽取的两个小球上的数字之和为偶数”.试用集合的形式表示 A,B,C,A∩B,,. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 试验的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)}, A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)}, B={(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,2),(5,4)}, C={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}. 所以A∩B={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}, ={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)}, ∩C={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}. 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 本节课学习了哪些内容？ 创设情境 探索新知 布置作业 例题辨析 巩固练习 归纳总结 教材练习第1,2题. $