4.7相似三角形的性质 课时1 课件2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“相似三角形的性质”展开，从对应角相等、对应边成比例的基础概念出发，逐步引导学生探究高、角平分线、中线等几何量在相似三角形中的比值关系，通过问题链设计构建清晰的知识脉络，形成由浅入深的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以真实情境引入（如灯光投影、正方形内接问题），激发学生观察与建模意识，借助推理证明强化逻辑思维，用方程思想解决实际问题体现应用能力。例如第14页正方形边长求解过程，巧妙结合相似比与代数表达，既训练几何直观又提升运算能力。此设计有助于学生理解数学本质，培养理性精神，也为教师提供可迁移的教学范式，提升课堂实效性。

4.7 相似三角形的性质 第四章 图形的相似 第1课时 相似三角形中的对应线段之比 1 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. （重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 学习目标 2 A C B A1 C1 B1 问题1： ΔABC与ΔA1B1C1相似吗？ 3 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 A C B A1 C1 B1 相似三角形对应角相等、对应边成比例. ΔABC∽ ΔA1B1C1 4 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 5 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 A C B D ∟ A1 C1 B1 D1 ∟ 1.CD和C1D1分别是它们的高，你知道 比值是多少吗？ 2.如果CD和C1D1分别是他们的对应角平分线呢？ 3.如果CD和C1D1分别是他们的对应中线呢？ A C B D A 1 C1 B1 D1 想一想 6 量一量，猜一猜 D1 A 1 C1 B1 ∟ A C B D ∟ ΔABC ∽ ΔA1B1C1, ,CD和C1D1分别是它们的高, 你知道 等于多少吗？ 7 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 相似三角形对应高的比等于相似比 一 证明: ∵△ A′B′C′∽△ABC， ∴ ∠B′= ∠B． 又∵ ∠AD′B =∠ADB =90°, ∴△A′B′D′∽△ABD (两角对应相等的两个三角形相似). 从而 (相似三角形的对应边成比例). 问题：如图，△A′B′C′ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′上的高AD，A′D′． 求证： 8 由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比． 　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比． 归纳总结 9 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 如图,电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是 m. P A D B C 2 4 1.5 练一练 10 例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （1）AE是Δ ASR的高吗？为什么？ （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ （3）求正方形PQRS的边长. S R Q P E D C B A 典例精析 11 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 （1）AE是ΔASR的高吗？为什么？ 解： AE是ΔASR的高. 理由如下： ∵AD是ΔABC的高， ∴ ∠ADC=90 °.， ∵四边形PQRS是正方形 ∴SR ∥BC ∴∠AER=∠ADC=90 °， ∴ AE是ΔASR的高. S R Q P E D C B A BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. 12 BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ 解： ΔASR与ΔABC相似 . 理由如下: ∵ SR∥BC， ∴ ΔASR∽ΔABC. S R Q P E D C B A 13 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形. （3）求正方形PQRS的边长. 是方程思想哦！ 解：∵ ΔASR ∽ ΔABC AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC 对应边上的高 ∴ 设正方形PQRS的边长为xcm, 则SR=DE=xcm AE=（40-x）cm ∴ 解得x=24. ∴正方形PQRS的边长为24cm. S R Q P E D C B A 14 变式一： 如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？ S R Q P E D C B A 15 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm. 设SP=xcm，则SR=2xcm 得到： 所以 x=2 2x=4 S矩形PQRS= 2×4=8cm2 S R Q P E D C B A 分析： 情况一：SR=2SP 16 设SR=xcm，则SP=2xcm 得到： 所以 x=2.5 2x=5 S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2 原来是分类思想呀！ S R Q P E D C B A 分析： 情况二：SP=2SR 如图，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm 17 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都 等于相似比 二 问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 18 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, ∠B′A′C′= ∠BAC． 又BE,B'E'分别为对应角的平分线， ∴ △ABE∽△A′B′E′. A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想1 19 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 由此得到： 相似三角形对应的中线的比也等于相似比． 同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比． 归纳总结 20 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即 求证： 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠A′B′C′= ∠ABC, ． 又AD,AD′分别为对应边的中线. ∴ △ABD∽△A′B′D′. A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想2 21 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 归纳总结 22 典例精析 例2：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：设较短的角平分线长为xcm， 则由相似性质有 解得x＝18. 较长的角平分线长为24cm. 故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm. 23 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 ΔABC∽ ΔA1B1C1 ，BD和B1D1是它们的中线， 已知 ,B1D1 =4cm，则BD= cm. 6 2.ΔABC∽ ΔA1B1C1, AD和A1D1是对应角平分 线，已知AD=8cm， A1D1=3cm ,则 ΔABC与 ΔA1B1C1的对应高之比为 . 8:3 练一练 24 3．两个相似三角形对应中线的比为 ， 则对应高的比为______ . 2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______. 2∶ 3 1．两个相似三角形的相似比为 , 则对应高的比为_________, 则对应中线的比为_________. 25 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 解：∵ △ABC∽△DEF， 　 解得,EH＝3.2(cm). 答：EH的长为3.2cm. A G B C D E F H （相似三角形对应角平 线的比等于相似比）， 4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长. 26 5.如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当 时，求DE的长.如果 呢？ 　 ∴△ASR∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD， B A E R C D S ∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C. (相似三角形对应高的比等于相似比)， 27 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 当 时，得 解得 B A E R C D S 当 时，得 解得 28 选做题： 6. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留） F A B C D E （1） F G B A C E D （2） 相信自己是最棒的！ 29 混合问题在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解几何画板应用的本质有助于更好地扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主熟练。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，圆锥表面积是一个核心概念，学生需要学会补救。 S R Q P E D C B A 7.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方 形的边长. 拓展延伸 A C B D (1) A C B D (5) D C B A (4) A C B D (3) D C B A (1) A C B D (2) 30 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 相似三角形对应中线的比等于相似比 31 $