28.3 圆心角和圆周角 课件2025-2026学年 冀教版九年级数学上册

28.3 圆心角和圆周角 课时1 圆心角的概念及性质 22002 1 1.理解圆心角的概念,掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系及推论. （重点） 2.学会运用圆心角、弧、弦之间的关系进行简单的计算和证明. （难点） 学习目标 22002 圆是中心对称图形. . O A B 180° 观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 新课导入 22002 2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性. · 22002 一、圆心角 O A B M 1.定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB . 3.圆心角∠AOB 所对的弦为AB. 任意给定圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 2.圆心角∠AOB 所对的弧为 AB. ⌒ 弦 新课讲授 22002 想一想：判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 【解】（1）是圆心角； （2）不是，顶点不在圆心； （3）不是，顶点在圆上； （4）是圆心角. 【归纳总结】圆心角的顶点在圆心上. 22002 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等． ①∠AOB=∠COD ③ AB=CD ⌒ ⌒ ② AB=CD 二、圆心角、弦、弧之间的关系 新课讲授 22002 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C 22002 　　在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 　　在同圆或等圆中，若两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 三、圆心角、弧、弦之间的相等关系的推论 新课讲授 22002 A B O D C 在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.即知一得二. 归纳总结 22002 例1 如图所示,已知AB为☉O的直径,点M,N分别在AO,BO上,CM⊥AB,DN⊥AB,分别交☉O于点C,D,且.求证CM=DN. 典型例题 22002 【证明】如图所示,连接OC,OD. ∵,即, ∴.∴∠AOC=∠BOD. 在Rt△CMO和Rt△DNO中, ∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴∠CMO=∠DNO=90°. 又∵OC=OD,∠MOC=∠NOD, ∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴CM=DN. 22002 1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_________，__ ___________ ． （2）如果 ，那么_________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_________，_______． AB=CD AB=CD AB=CD ( ( ∠AOB= ∠COD ∠AOB= ∠COD AB=CD ( ( AB=CD ( ( 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　. 60 ° · C A B D O 本题答案不唯一哦！ 当堂检测 22002 13 3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则AB与CD的关系是（ ） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A A. AB=2CD ⌒ ⌒ B. AB>2CD ⌒ ⌒ C. AB<2CD ⌒ ⌒ D. 不能确定 4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC .求证:AB＝CD. . C A B D O 22002 圆心角 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 圆心角、弧、弦之间的相等关系及推论 定义：顶点在圆心的角 特别提示 ①要注意前提条件； ②要灵活转化 在同圆或等圆中 课堂总结 22002 15 28.3 课时2 圆周角定理及其性质 第二十八章 圆 22002 1.复习圆心角的概念. 2.理解并掌握圆周角相关概念.(重点) 3.理解并掌握圆周角定理并运用.（难点） 学习目标 22002 复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？ 顶点在圆心的角叫圆心角. B A o 新课导入 22002 知识点一：圆周角的概念 我们把图中∠ACB、∠ADB、∠AEB这样的顶点在圆上，两边与圆都相交的角叫做圆周角． · A B C D E O 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 探究新知 22002 (1) (2) (3) (4) 如图，图(1)中∠APB是圆周角，图(2)和图(3)中 ∠AQB不是圆周角，图(4)中的∠ASB是圆周角，而∠ASC不是圆周角. 22002 知识点二：圆周角定理 如图，∠AOB和∠APB分别是AB所对的圆心角和圆周角. (1)当点P在圆上按顺时针方向移动时(点P与点B不重合)，按照圆心O和圆周角的位置关系，可以分为几种不同的情形？说出你的判断并画出相应的图形. (2)当圆心O落在∠APB的一条边上时∠AOB与∠APB具有怎样的大小关系？说明理由. (3)当圆心O在的内部和外部时，(2)中的结论还成立吗？和同学进行交流. ⌒ 探究新知 22002 圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论. B C O A 圆心在∠BAC的一边上 B C O A 圆心在∠BAC的内部 B C O A 圆心在∠BAC的外部. 22002 圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形） OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C 22002 圆心O在∠BAC的内部 O A B D O A C D O A B C D O A C D O A B D 22002 圆心O在∠BAC的外部 O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D 22002 圆周角定理： 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 C A O B 归纳总结 22002 例1 如图 ，点 A，B，C 均在⊙O 上，∠OAB = 46°.求∠ACB的度数. 解：如图，连接OB. ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA. ∵∠OAB =46°， ∴∠AOB= 180°－2∠OAB =180°－2×46°= 88°. ∴∠ACB= ∠AOB= 44°. 典型例题 22002 知识点三：圆周角与直径的关系 如图，线段AB是⊙O的直径， 点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，∠ACB就是直径AB（或半圆AB）所对的圆周角. 想想看，∠ACB会是怎么样的角？ 探究新知 思考 22002 直径所对的圆周角等是直角. 反过来也是成立的，即 90°的圆周角所对的弦是直径. 理由： 1.直径所对的半圆所对的圆心角是180°； 2.圆心角是180°所对应的弦是直径； 3.圆周角等于所对弧上的圆心角的一半 圆周角定理的推论： 22002 例2 已知：如图，AB是⊙O的直径，D是圆上任意一点(不与A，B重合)，连接BD并延长到点C，使BD＝DC，连接AC，试判断△ABC的形状 解：如图，连接AD. ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC. ∵BD＝DC， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 典型例题 22002 1. 如图所示，∠BAC是圆周角的是(　　) A 当堂检测 22002 2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°，则∠AOC的度数等于（ ） A.140° B.130° C.120° D.110° A O C B A 22002 3. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是(　　) A．75°　　　B．60°　　　C. 45°　　　 D．30° D 22002 4.(1)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB＝_____． 25° (2)如图所示，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的两条弦，AB=10，∠A=30°，则BC=_____. 5 22002 5. 如图,AB为☉O的直径,AB=AC,BC交☉O于点D,AC交☉O于点E,∠BAC=50°,求∠EBC的度数. 解:∵AB为☉O的直径, ∴∠AEB=90°, ∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40°. ∵AB=AC, ∴∠ABC= (180°-∠BAC)=65°, ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=25°. 22002 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备） 圆周角与 直径的关系 1.直径所对的圆周角是直角. 2.90°的圆周角所对的弦是直径； 课堂总结 22002 Administrator (A) - 28.3圆心角和圆周角 第3课时 圆内接四边形 22002 1.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并会运用. (重点) 学习目标 22002 问题1 什么是圆周角？ 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角. ●O B A C D E 回顾旧知 22002 问题2 什么是圆周角定理？ 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. O ● A B C ● O A B C ● O A B C 即∠ABC = ∠AOC. 22002 一、圆内接四边形及其性质 若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. O B C D E F A O A C D E B 新课讲授 22002 如图，四边形 ABCD 为☉O 的内接四边形，☉O 为四边形 ABCD 的外接圆. (2)当四边形 ABCD 为一般四边形时， 猜想：∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系为 . ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180° (1)当四边形 ABCD 为矩形时，∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系为 . ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180° 性质探究 22002 证明：圆内接四边形的对角互补. 已知，如图四边形 ABCD 为☉O 的内接四边形，☉O 为四边形 ABCD 的外接圆. 求证：∠BAD +∠BCD = 180°. 证明：连接 OB、OD. 根据圆周角定理，可知 1 2 由四边形内角和定理可知，∠ABC +∠ADC = 180°. 证一证 22002 圆内接四边形的对角互补. 性质 归纳总结 22002 C O D B A ∵∠A＋∠DCB＝180°， E ∠DCB＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE. 如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有何关系？ 想一想 22002 1．四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°，∠B = 80°，则∠C = ，∠D = . 2．⊙O 的内接四边形 ABCD 中， ∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 ，则∠D = . 70° 100° 90° 练一练 22002 3. 如图，在 ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD 是(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析：∵∠BOD＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠C＝180°－60°＝120°，故选 A. A 22002 1.在⊙O 中，∠CBD = 30°，∠BDC = 20°，求∠A. O A B D C 解：∵∠CBD = 30°，∠BDC = 20°， ∴∠C = 180° -∠CBD -∠BDC = 130°. ∴∠A = 180° -∠C = 50°. (圆内接四边形对角互补) 当堂检测 22002 解：延长 AO 与圆交于点 D，连接 BD， 则∠ABD = 90°. ∵∠OAB = 40°， ∴∠ADB = 50°. ∴∠C = 180° -∠ADB = 130°. 变式：已知∠OAB 等于 40°，求∠C 的度数. A B C O D 22002 2.判断. （1）等弧所对的圆周角相等；（ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等；（ ） （3）90° 的角所对的弦是直径；（ ） （4）同弦所对的圆周角相等.（ ） × × × × 22002 2.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角. 1.若一个四边形各顶点都在同一个圆上，则这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆. 课堂小结 22002 图23.1.9 $