28.3 圆心角和圆周角课件2025-2026学年 冀教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕圆心角与圆周角的核心概念展开，从圆的基本性质出发，通过“轴对称、中心对称、旋转不变性”等现实情境导入，逐步构建起圆心角定义、弧弦关系及圆周角定理的知识链条，形成清晰的学习支架，帮助学生由浅入深理解几何逻辑。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言三大核心素养，突出几何直观与推理能力培养。例如在探究同圆中相等圆心角所对弧和弦的关系时，借助旋转操作实现直观感知，再用严谨推理得出结论，体现抽象与逻辑的统一。课后练习设计层次分明，既有基础辨析如判断圆周角特征，也有综合应用如圆内接四边形角度计算，有效提升学生建模意识与问题解决能力。对学生而言，能系统掌握圆的相关性质并发展理性思维；对教师而言，提供可直接使用的教学流程与典型例题，助力高效课堂实施。

28.3 圆心角和圆周角 课时1 圆心角的概念及性质 22002 1.复习并巩固圆中的基本概念. 2.理解并掌握圆心角的定义，能够运用其进行计算. （重点） 3.理解并掌握圆心角、弧、弦之间的关系.（难点） 学习目标 22002 问题1 圆的对称性有哪几方面？ O 轴对称性 新课导入 22002 · 圆是中心对称图形，对称中心为圆心. 22002 问题2 将圆绕圆心任意旋转，你发现了什么？ O α 圆具有旋转不变性 22002 · O B A 观察：在⊙O 中，这些角有什么共同特点？ 顶点在圆心上 A B O 定义：顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB . 一、圆心角的定义 探究新知 22002 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 不是 不是 不是 是 练一练 22002 任意一个圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 弦 想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？ O A B 圆心角∠AOB 所对的弦为 AB. 圆心角∠AOB 所对的弧为 . 归纳总结 22002 问题1 在⊙O中，如果∠AOB = ∠COD，那么 与 ，弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系？ 在同圆中探究 C · O A B D 因为将圆绕圆心旋转任一角度都能与自身重合， 所以可将 ⊙O 绕圆心旋转，使点 A 与点 C 重合. 由于∠AOB =∠COD， 因此，点 B 与点 D 重合. 从而 ，AB = CD. 二、圆心角、弧、弦之间的关系 探究新知 22002 问题2 如图，在等圆中，如果∠AOB ＝ ∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？ 在等圆中探究 O ′ · O A B · C D 归纳：通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB =∠CO′D，那么， ，弦 AB = 弦 CD. 22002 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB = ∠COD ③ AB = CD 弧、弦与圆心角的关系定理 A B O D C ② 归纳总结 22002 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 类比探究可得 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 22002 关系结构图 温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧. 在同圆或等圆中: 22002 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C 探究新知 22002 (3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ） (2) 等弧所对的弦相等. （ ） (1) 等弦所对的弧相等. （ ） × × √ 判断正误： 练一练 22002 15 三、圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用 · A O B C D E 例1 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠COD = 35°，求∠AOE 的度数． 解： ∵ ∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°. ∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°. 典型例题 22002 16 ∴ AB = AC .∴△ABC 是等腰三角形. 又∵∠ACB = 60°， ∴△ABC 是等边三角形 .∴AB = BC = CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. A B C O 方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝. 例2 如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°， 求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC. 证明：∵ = ， 22002 例3 如图，已知 AB、CD 是⊙O 的两条弦， . 求证：AB＝CD. . C A B D O 证明： 22002 变式1 如图，在⊙O中，AD = BC．求证：DC = AB． ∴ DC = AB． 证明：∵AD=BC， 变式2 如上图，在⊙O 中，DC = AB．求证：AD = BC. 证明：∵DC = AB， ∴ AD = BC. 练一练 22002 19 1.如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦． （1）如果 AB = CD，那么_________，__________ __； （2）如果 ，那么_________， ； （3）如果∠AOB =∠COD， 那么______ ___，________； · C A B D E F O AB = CD AB = CD AB = CD ( ( ∠AOB =∠COD ∠AOB =∠COD AB = CD ( ( AB = CD ( ( 当堂检测 22002 · C A B D E F O （4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？ 解：OE = OF. 理由如下： ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∵AB = CD， ∴AE = CF. ∵OA = OC，∠AEO =∠CFO = 90°， ∴Rt△AOE ≌ Rt△COF. ∴OE = OF. ∴ 22002 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，且 BD∥OC．求证： ． 证明：∵ OB = OD， ∴∠D =∠B. ∵ BD∥OC， ∴∠D =∠COD，∠AOC =∠B. ∴∠AOC =∠COD. 22002 2.圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 1.圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 课堂总结 22002 28.3 圆心角和圆周角 课时2 圆周角定理及其性质 22002 1.复习圆心角的概念. 2.理解并掌握圆周角相关概念.(重点) 3.理解并掌握圆周角定理并运用.（难点） 学习目标 22002 3.下列命题是真命题的是( ) ①在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等 ②相等的圆心角所对的弧相等 ③圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 1.圆心角的定义？ 答：相等. 答：顶点在圆心的角叫圆心角. 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系？ B 新课导入 22002 一、圆周角的定义及性质 圆心角顶点发生变化时，我们可以得到几种情况？ A . O B C . . . A O B C A . O B C . 探究新知 三个图中的∠BAC 的顶点 A 各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？ 思考 22002 你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗？ . O B C A 特征： ①角的顶点在圆上. 圆周角定义： 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫圆周角. ②角的两边都与圆相交. 22002 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC 是否为圆周角，并简述理由. 顶点 A 不在圆上 顶点 A 不在圆上 边 AC 没有和圆相交 是 是 是 22002 测量：如图，连接 BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系. 猜测：圆周角的度数_______它所对弧的圆心角度数的一半. 等于 二、圆周角定理及其推论 探究新知 22002 1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心( O )在圆周角(∠ABC )的一边( BC )上时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 有怎样的大小关系. 解：∵∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC = ∠B + ∠A. ∵OA = OB， ● O A B C ∴∠A = ∠B. ∴∠AOC = 2∠B. 即∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗？ 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 22002 提示：能否转化为 1 的情况？ 你能写出这个命题吗？ 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ● O A B C D 2.当圆心( O )在圆周角(∠ABC )的内部时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的大小关系会怎样？ 过点 B 作直径 BD. 由 1 可得： ∠ABD = ∠AOD，∠CBD = ∠COD， ∴ ∠ABC = ∠AOC. 如果圆心不在圆周角的一边上，结果会怎样？ 22002 提示：能否也转化为 1 的情况？ 过点 B 作直径 BD. 由 1 可得： 你能写出这个命题吗？ 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. D A B C 3.当圆心( O )在圆周角(∠ABC )的外部时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的大小关系会怎样？ ∠ABD = ∠AOD，∠CBD = ∠COD， ∴∠ABC = ∠AOC. ● O 22002 圆周角定理： 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ● O A B C ● O A B C ● O A B C 即∠ABC = ∠AOC. D D 圆心在角的边 圆心在角 圆心在角 上 内 外 归纳总结 22002 解：∵AB 是直径，点 O 是圆心， ∴∠AOB = 180°. ∵∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角， ∴∠ACB = ∠AOB = 90°. 想一想 如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？ · O A C B 能不能直接运用圆周角定理解答？ 探究新知 22002 直径所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径. 圆周角定理的推论1 22002 问题 如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？ 解：相等. 想一想：反过来，如果∠A=∠B，那么 成立吗？ D A B O C E F 22002 圆周角定理的推论2 同弧（或等弧）所对的圆周角相等. A1 A2 A3 22002 ∠AOB = 2∠BOC A O B C ∠ACB = 2∠BAC 证明： ∠ACB = ∠AOB 例 如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC. ∠BAC = ∠BOC 典型例题 22002 1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ） √ × × 当堂检测 22002 2.指出图中的圆周角. A O B C ∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC 22002 3.如图，点 B，C 在⊙O 上，且 BO = BC，则圆周角∠BAC 等于（ ） D A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° B A C O 22002 4.如图，已知 BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC⊥BD 于点 E，若∠AOD = 60°，则∠DBC 的度数为（ ） A.30° B. 40° C. 50° D. 60° A 【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理. B A C O D E 22002 43 定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径. 课堂总结 22002 28.3 第3课时 圆内接四边形的概念和性质 第二十八章 圆 22002 1.了解圆周角推论，理解圆周角推论的证明过程. 2.会用圆周角定理推论进行简单的计算和证明. 3.理解圆内接多边形等有关概念. 4.掌握圆内接四边形性质，并能应用性质进行计算. 学习目标 22002 思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？ C A E D B 情景导入 22002 如图所示,∠ACB与∠ADB分别为☉O上同一条弧AB所对的两个圆周角. (1)∠ACB与∠ADB之间具有怎样的大小关系? (2)试证明你的猜想. 22002 解:(1)∠ACB=∠ADB. (2)证明如下:连接OA,OB,如图所示, ∴∠ACB=∠ADB. 结论:同弧所对的圆周角相等. ∵∠ACB= ∠AOB, ∠ADB= ∠AOB, 22002 圆周角相等 结合弧、弦、圆心角之间的关系定理和圆周角定理的推论可知： 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等，进而相等的弧所对的圆心角也相等． 即在同圆或等圆中，圆周角、圆心角、弧、弦这四个量中有一组量相等，则可推出其他三组量相等，也称之为“四量关系定理”. 归纳总结 22002 若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆 22002 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形. (1) ABC和ADC所对的圆心角之和等于多少度？ ∠ABC和∠ADC之间具有怎样的关系？ (2)∠BAD和∠BCD之间具有怎样的关系？ 提出你的猜想，并和大家进行交流. ︵ ︵ 练一练 22002 如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形. 求证：∠BCD+∠BAD=180°,∠ABC+∠ADC=180°. ∠BCD和∠BAD分别为ABC和ADC所对的圆周角, ∴∠BCD+∠BAD=180°. 同理,∠ABC+∠ADC=180°. 证明:连接OB,OD. ∵ABC和ADC所对的圆心角之和为360°, ︵ ︵ ︵ ︵ 22002 22002 圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补． 几何语言： ∵四边形ABCD是圆O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°， 归纳总结 22002 例 已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠DCE为四边形ABCD的一个外角. 求证：∠DCE=∠BAD. 证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BAD＋∠BCD= 180°. ∵∠BCD＋∠DCE= 180°， ∴∠DCE=∠BAD. 典例精析 22002 1.如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是(　　) A．15° B．25° 　 C．30°　 D．75° C 当堂检测 22002 2.下列命题： ①圆内接平行四边形是矩形； ②圆内接矩形是正方形； ③圆内接菱形是正方形； ④任意四边形一定有外接圆． 其中真命题有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 22002 3. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于(　　) A．20° B．40° C．80° D．100° C 22002 4.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º. (1)∠BOC= º，理由 是 ; (2)∠BDC= º，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 22002 (3).如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿. 50° A B O C D (4)如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F=_____. 40° 22002 5.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 ∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6 22002 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x， 6. 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数. ∵四边形ABCD内接于圆， ∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°， ∵2x+6x=180°， ∴ x=22.5°. ∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°， ∠D=180°-67.5°=112.5°. 角度比值类型的题目适合运用方程思想来解决，高频题型！ 22002 2.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角. 1.若一个四边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆. 课堂小结 22002 $