精品解析：期中冲刺卷2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025年北师大版九上期中冲刺卷 初三数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共有10题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 每一条对角线都平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 3. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 4. 如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝(　　) A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k=4 B. k＞4 C. k≤4且k≠0 D. k≤4 6. 某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ） A. 2% B. 5% C. 10% D. 20% 7. 如图，将长方形纸片的角C沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若平分，则的度数α是（　　） A B. C. D. α随折痕位置的变化而变化 8. 从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 不确定 9. 如图，四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（ ） A. B. C. 且 D. 不确定 10. 如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有5题，每题4分） 11. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 12. 如图，已知菱形的对角线，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为_____． 13. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 14. 设x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 15. 如图，正方形ABCD的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是__cm． 三、解答题 16. 解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 一个不透明布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）求摸出1个球是白球的概率； （2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）； （3）现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值． 18. 如图,某小区在宽,长的矩形场地上修同样宽的三条人行道(阴影部分),余下的部分种花草.若种植花草的面积为,求道路的宽度. 19. 已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在上，且．求证：四边形是矩形． 20. 如图，在中，，，E，F分别为，的中点，过点B作的平行线与的延长线交于点D，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形面积． 21. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25），另外三边用木栏围成，木栏长40，若养鸡场面积为，求鸡场两边的长分别是多少？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值． 23. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价元，商场一天可获利润元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出与之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当取何值时，商场获利润不少于2160元？ 24. 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts， （1）当t=2时，求△PBQ的面积； （2）当t=时，试说明△DPQ是直角三角形； （3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年北师大版九上期中冲刺卷 初三数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共有10题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，先化简方程，再根据一元二次方程的定义即可判断． 【详解】A：，，故该方程为一元一次方程； B：若，则该方程不为一元二次方程； C：，，该方程为一元二次方程，符合题意； D：，该方程为二元二次方程． 故选：C． 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 每一条对角线都平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意； B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意； C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意； D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质． 3. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可. 【详解】解：移项得：x2-6x=5， 两边同时加上9得：x2-6x+9=14， 即（x-3）2=14， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键. 4. 如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝(　　) A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF， ∴四边形ECDF是正方形， ∴DC=EC=BC-BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD=10， ∴DC=10-6=4（cm） 故选：A 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. k=4 B. k＞4 C. k≤4且k≠0 D. k≤4 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：k≤4且k≠0．故选C． 6. 某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ） A. 2% B. 5% C. 10% D. 20% 【答案】D 【解析】 【详解】设平均每月增长的百分率为x， 根据题意，得50（1+x）2=72， 解得x1=02=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去） 故选D． 7. 如图，将长方形纸片的角C沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若平分，则的度数α是（　　） A. B. C. D. α随折痕位置的变化而变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，角的平分线的定义，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】∵且平分， ∴ ． 故选：C． 8. 从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率，求出总得可能结果数和满足条件的结果数，然后利用概率计算方法计算即可． 【详解】一共有100种可能，号码是3的倍数的有3，6，9，…，99，共33种， ∴号码是3的倍数的概率是． 故选：A． 9. 如图，四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（ ） A. B. C. 且 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形菱形，得出，再根据三角形中位线定理得出，从而得出，即可得出答案 【详解】解：满足的条件应为：． 理由如下：∵E，F，G，H分别是边的中点， ∴在中，为的中位线， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴ ∴平行四边形为菱形 故选：B． 【点睛】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题． 10. 如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长AE交DF于G，再根据全等三角形的判定得出△AGD与△ABE全等，得出AG=BE=4，由AE=3，得出EG=1，同理得出GF=1，再根据勾股定理得出EF的长． 【详解】解：延长AE交DF于G．如图， ∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD=DC=5, ∠BAD=∠ADC=90°， ∵AE=3，BE=4， ∴△ABE是直角三角形， ∴同理可得△DFC是直角三角形， ∵AE=FC，BE=DF，AB =DC， ∴△ABE≌△CDF， ∴∠BAE=∠DCF， ∵∠FCD+∠CDF=90°， ∴∠BAE+∠CDF=90°， ∴∠DAG+∠ADG=90°， ∴△AGD是直角三角形， ∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE， ∴∠GAD=∠EBA， 同理可得：∠ADG=∠BAE． 在△AGD和△BAE中， ∵， ∴△AGD≌△BAE（ASA）， ∴AG=BE=4，DG=AE=3， ∴EG=4﹣3=1，同理可得：GF=1， ∴EF=． 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出EG=FG=1，再利用勾股定理计算． 二、填空题（本大题共有5题，每题4分） 11. 关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 12. 如图，已知菱形对角线，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相平分可得，然后求出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后根据菱形的周长公式计算即可得解． 【详解】四边形是菱形， ∴，， 点是的中点， 是中位线， ∴， 菱形的周长； 故答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键． 13. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为：=．故答案为． 点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比 14. 设x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【详解】解：由题意得，x1+x2=3，x1x2=-2， 所以x12+3x1x2+x22 =(x1+x2)2+x1x2 =32+(-2) =9-2 =7 故答案为7． 15. 如图，正方形ABCD的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是__cm． 【答案】 【解析】 【详解】这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值. 如图，在AD取一点F，使AF=AE，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值， 在Rt△ABF中，AB=10，AF=AE=10-4=6，由勾股定理得： . 故答案为. 点睛：本题考查了轴对称的性质和正方形的性质，已知两个 定点，一条定直线，求这两个定点到定直线上一点的距离之和的最小值，方法是选择这两个定点中的一个，作它关于定直线的对称点，则这点与另一定点的连线段的长即是符合条件的最小值，再构造直角三角形，利用勾股定理求出这个最小值. 三、解答题 16. 解方程． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用十字相乘法因式分解即可求解； （2）利用求根公式即可求解； （3）利用十字相乘法因式分解即可求解； （4）利用直接开平方法即可求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 17. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）求摸出1个球是白球的概率； （2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）； （3）现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值． 【答案】（1）概率为；（2）概率为；（3）n=4 【解析】 【分析】（1）直接利用列举法就可以得到答案； （2）利用画树状图的方法可以得到两次摸出的球恰好颜色不同的概率； （3）利用概率计算公式列出等式，求解即可． 【详解】（1）∵一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球， ∴摸出1个球是白球的概率为； （2）画树状图得： ∴一共有9种可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为； （3）由题意得：， 解得：n=4． 经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意， ∴n=4． 18. 如图,某小区在宽,长的矩形场地上修同样宽的三条人行道(阴影部分),余下的部分种花草.若种植花草的面积为,求道路的宽度. 【答案】道路的宽1米 【解析】 【分析】设道路宽为x米，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解即可． 【详解】设道路宽为x米， 根据题意，得（20-x）（32-x）=589． 整理得：x2-52x+51=0． 解得x1=51（不合题意，舍去），x2=1． 答：道路宽为1米． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解． 19. 已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在上，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】证明MP∥AB；同理可证QN∥CD；证明MP∥QN，MQ∥PN，得到四边形MPNQ是平行四边形；证明∠MPN=90°即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°；AC=BD，AO=AC，BO=BD； ∴AO=BO；而AM=BP， ∴AM：AO=BP：BO， ∴MP∥AB； 同理可证：QN∥CD； ∵AB∥CD， ∴MP∥QN； 同理可证：MQ∥PN， ∴四边形MPNQ是平行四边形； ∵MP∥AB，PN∥BC，∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴四边形MPNQ是矩形． 【点睛】该题主要考查了矩形的判定及其性质的应用问题，灵活运用矩形的判定及其性质是解题的关键． 20. 如图，在中，，，E，F分别为，的中点，过点B作的平行线与的延长线交于点D，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，求出，证，推出，推出四边形是平行四边形，再求出即可； （2）求出，，推出，由勾股定理得出，求出，求出，，即可求出四边形面积． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中 ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵为中点，为中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵，E，F分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积为： ． 即：四边形的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形性质，菱形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中． 21. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25），另外三边用木栏围成，木栏长40，若养鸡场面积为，求鸡场两边的长分别是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用：首先设出鸡场宽为米，长为米，然后根据矩形的面积长宽，用未知数x表示出鸡场的面积，根据面积为列出方程，解方程即可； 【详解】设宽为米，长米， 根据题意得：， 解得：，， 由得， 故， ∴鸡场靠墙的一边长为：（m）． ∴鸡场两边的长分别是． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴△≥0，即， ∴； （2）根据题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵ ∴m=2． 23. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价元，商场一天可获利润元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出与之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当取何值时，商场获利润不少于2160元？ 【答案】（1）2000（元）； （2）①2元或8元；②，图象见解析，当时，商场所获利润不少于2160元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据利润的概念可直接求解； （2）①列出方程求解即可； ②求出与之间的函数关系式，作出草图，根据二次函数图象性质即可求出答案． 【小问1详解】 商场经营该商品原来一天可获利润为：（元）； 【小问2详解】 ①依题意得： 即 解得： 经检验：都是方程的解，且符合题意． 故商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元． （2）依题意得： ， 结合①并观察图象可得： 当时，， 当时，商场所获利润不少于2160元． 24. 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts， （1）当t=2时，求△PBQ的面积； （2）当t=时，试说明△DPQ是直角三角形； （3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）8；（2）见解析;（3）能，运动5.625S 【解析】 【分析】（1）易得PB和BQ的长度，那么△PBQ的面积=×PB×BQ把相关数值代入即可求解； （2）利用勾股定理可得DP，PQ，DQ的长度，证明DQ2+PQ2=DP2即可； （3）易得AP=3，Q在BC上．设出BQ的长度为x，则利用相似可得OB与OA，根据12：DO=AP：PO，可得x的值，求得相应时间加上原来的3秒即为所求时间． 【详解】（1）当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4， ∴BP=AB-AP=4， ∴△PBQ的面积=×4×4=8； （2）当t=时，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9， ∴DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25，PQ2=PB2+BQ2=29.25，DQ2=CD2+CQ2=117， ∵PQ2+DQ2=DP2， ∴∠DQP=90°， ∴△DPQ是直角三角形． （3）设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O． 设QB的长度为x，则QC的长度为（12-x）， ∵DC∥BO， ∴∠C=∠QBO，∠CDQ=∠O， ∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12-x， ∴，即， 解得：BO= ， ∴AO=AB+BO=6+， ∵∠ADP=∠ODP， ∴12：DO=AP：PO， 代入解得x=0.75， ∴DP能平分∠ADQ， ∵点Q的速度为2cm/s， ∴P停止后Q往B走的路程为（6-0.75）=5.25cm． ∴时间为2.625s，加上刚开始的3s，Q点的运动时间为5.625s． 【点睛】此题考查矩形的性质，相似三角形的性质，解题关键在于利用勾股定理进行计算和作辅助线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $