专题05 圆（知识精讲+易错真题满分冲刺卷）-2025-2026学年人教版数学六年级上册专项培优讲练

专题05 圆 【原卷版】 易错知识点01：概念与公式混淆 1. 半径与直径关系混淆 典型错误：已知半径求直径时错误×2或÷2，如半径3cm的圆直径误算为。 正解：直径=半径×2 → 。 避错口诀：“同圆中，直径是半径的2倍”（），非周长或面积关系。 2. 圆的周长与面积公式混用 错例：求周长用，求面积用，如半径4cm的圆面积误算为。 正解：面积；周长。 关键词区分：周长用“一圈长度”（单位：cm/m），面积用“覆盖范围”（单位：cm²/m²）。 易错知识点02：公式应用错误 1. 圆周率的取值随意 错例：计算周长时取3或3.14结果混淆，如（π取3），但与题中“取3.14”矛盾。 规范操作：严格按题目要求取值，若未明确说明，默认用符号表示（如 cm），或取3.14计算。 2. 半圆相关公式遗漏步骤 错例：半圆周长误为圆周长的一半（），忽略直径。如半径5cm的半圆周长误算为。 正解：半圆周长=圆周长一半+直径 → 。 口诀：“半圆周长：半圆弧长加直径，两样俱全才完整”。 易错知识点03：特殊图形计算陷阱 1. 组合图形周长与面积混淆 典型问题：计算“外方内圆”或“外圆内方”的阴影面积和周长。 错例（外方内圆，正方形边长4cm）：阴影面积误算为正方形面积（16cm²）-圆面积（）=3.44cm²，忽略圆半径与正方形边长的关系（此处圆直径=正方形边长→半径2cm，正解正确但需注意条件）。 延伸错误：阴影周长误加内外所有边，如外方内圆周长=正方形周长+圆周长，实则阴影周长仅为正方形周长（圆周长不暴露）。 2. 圆环面积计算错误 错例：大圆半径6cm，小圆半径4cm，圆环面积误算为。 正解：圆环面积=大圆面积-小圆面积=。 核心公式：圆环面积=，非！ 易错知识点04：实际应用题误区 1. 滚动问题中的圈数计算 错例：车轮直径0.6m，滚动62.8m，求圈数。误用面积公式或未统一单位：。 正解：周长 → 圈数圈（保留整数34圈）。 关键点：滚动距离÷周长=圈数，单位统一为米。 2. 分割图形后比例关系误判 典型题：将圆沿半径剪拼成长方形，求周长增加量。 错解：认为周长不变，或误算面积变化。 正解：长方形的长=圆周长一半（），宽=半径（），周长=，比圆周长增加（如原周长，现为）。 易错知识点05：易混题型对比与避错 1. “圆的面积” vs. “半圆面积” vs. “四分之一圆面积” 快速区分： 圆面积； 半圆面积，周长=； 扇形（四分之一圆）面积，弧长=。 2. “半径扩大n倍”相关计算 错例：半径扩大3倍，误判面积扩大3倍。 正解：面积扩大倍数=（如半径3倍→面积9倍），周长扩大倍数=。 【实战避坑指南】 读题标注关键信息：圈出“直径/半径”“半圆/圆”“保留π/取3.14”等条件。 分步列式计算：周长和面积分开计算，避免公式混淆。 画图辅助：复杂图形（如外圆内方）先画图标注各部分数据。 单位检查：周长单位无平方，面积单位带平方，计算后反向验证合理性。 通过针对性地厘清概念、强化易混公式对比，结合典型错例解析，学生可精准突破《圆》单元的难点，提升解题准确率。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.35（较难） 一、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 1．（本题2分）（24-25六年级上·山东菏泽·期末）如图，正方形的边长是2cm，在正方形里画最大的圆，阴影部分的周长是（    ）。 A．14.28cm B．6.28cm C．12.56cm D．20.56cm 2．（本题2分）（24-25六年级上·山东菏泽·期末）下面运用了“转化”方法解决问题的有（    ）。 ①分数除法÷＝×4      ②三角形的面积 ③三角形的内角和 ④圆的面积 A．②④ B．①②③④ C．②③④ D．①②④ 3．（本题2分）（24-25六年级上·重庆万州·期末）小圆的直径是6厘米，大圆的半径是6厘米，大圆面积是小圆面积的（    ）。 A．4倍 B．2倍 C．1倍 4．（本题2分）（2016三年级下·全国·竞赛）将一张大圆片用直线分成大小不等的若干纸片，如果画上4条直线，最多把圆片分成（    ）块。 A．6 B．8 C．10 D．11 5．（本题2分）（21-22六年级上·浙江宁波·期末）左边①号图形是由2个相同的小半圆、1个中半圆、1个大半圆组成，右边②号是由正方形和多个半圆组成。①号、②号阴影部分图形的周长相比（    ）。 A．①号周长长 B．②号周长长 C．周长一样长 D．无法确定 2、 判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 6．（本题2分）（24-25六年级上·河南焦作·期末）圆的半径扩大到原来的2倍，周长和面积也扩大到原来的2倍。( ) 7．（本题2分）（24-25六年级上·湖北鄂州·期末）两个圆的半径比是3∶1，则这两个圆的周长比是6∶1，面积比是9∶1。( ) 8．（本题2分）（24-25六年级上·河北保定·期中）面积相等的长方形、正方形和圆形，它们的周长相比，圆的周长最大。( ) 9．（本题2分）（24-25六年级上·河南周口·期中）把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了10cm，这个圆的面积是78.5cm2。( ) 10．（本题2分）（19-20六年级上·湖北武汉·期末）用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按下面三种方式裁剪出不同规格的圆片。剪完圆片后，第三种裁剪方式剩下的废料最多。( ) 三、填空题：本题共8小题，每空1分，共16分． 11．（本题2分）（25-26六年级上·全国·单元测试）将一个圆按下图切开，拼成一个近似的长方形，近似长方形的周长比圆的周长增加4cm，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 12．（本题2分）（25-26六年级上·全国·单元测试）一个圆环，内圆半径1dm，外圆半径3dm，这个环形的面积是( )dm2。 13．（本题2分）（24-25六年级上·山东济南·期末）把一个圆形铁片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了12厘米，这个圆的半径是( )厘米。 14．（本题2分）（24-25六年级上·河南焦作·期末）一个圆形花坛，原来直径是15米，扩建后的直径与原来直径的比是4∶3，扩建后花坛的直径是( )米，扩建后花坛的周长是( )米。 15．（本题2分）（23-24六年级下·浙江温州·期中）有两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆周长是小圆周长的倍。小圆的面积是( )平方厘米。 16．（本题2分）（21-22六年级上·天津南开·期末）中国建筑中经常能见到“外方内圆”的设计。图中正方形两个顶点的连线长6dm。圆与正方形之间的部分（即阴影部分）是( )dm2。 17．（本题2分）（21-22六年级上·浙江金华·期末）用金属带把4根直径为1分米的管子扎在一起（如图），这根金属带至少需要( )分米。（不计接口处长度） 18．（本题2分）（22-23六年级上·全国·期末）直径2厘米的硬币贴着一个长9厘米，宽6厘米长方形外围滚动，从A点滚动到B点时，硬币滚过的面积是( )平方厘米，硬币圆心走过的路程是( )厘米。 四、计算：本题共2小题，共8分． 19．（本题4分）（24-25六年级上·河北沧州·期末）计算下面图形中涂色部分的周长和面积。 20．（本题4分）求出阴影部分的面积和周长。   五、应用题：本题共11小题，共56分． 21．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，将半圆AEB绕A点逆时针旋转得到半圆ADC，B点移动到C点，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 22．（本题5分）（25-26六年级上·全国·单元测试）从小强家到学校要走1200米，小强的自行车外轮胎直径约50厘米，他骑自行车上学，如果车轮平均每分钟转200转，他从家到学校约需要多少分钟？（π取3） 23．（本题5分）（24-25六年级上·重庆·期末）一辆自行车车轮的外直径是0.8米，李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，如果车轮每分钟转50圈，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 24．（本题5分）（24-25六年级上·山西晋中·期末）春节帖“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，下图“福”字窗花中，圆的直径是30厘米，“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积是多少？ 25．（本题5分）（24-25六年级上·新疆克孜勒苏·期末）给一个圆柱形水缸做一个圆形木盖，缸口直径为7.5分米，圆形木盖的直径要比缸口的直径多0.5分米，这个木盖的面积是多少平方分米？在木盖的四周用一种边条加固（不计耗损），需要这种边条多少分米？ 26．（本题5分）（24-25六年级上·湖南怀化·期末）如图，等边三角形中空白部分是三个相同的扇形，三角形的边长是8厘米。 （1）求图中空白部分的面积。 （2）求图中阴影部分图形的周长。 27．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，一个等边三角形的边长是一个小圆的周长的2倍，小圆的半径为2cm。若这个小圆按箭头方向从某一位置沿着等边三角形的周边作无滑动滚动，直至回到原出发位置，在计算小圆滚动的面积的时候，聪聪的想法如下，请你据此计算。 第1步：先把小圆滚过的图形进行分割：小圆经过的面积为3个长方形面积＋3个扇形面积。 第2步：3个扇形面积分析：1个扇形圆心角＋三角形的1个内角＝180°，则3个扇形圆心角＋三角形的3个内角＝540°。因为三角形3个内角的和为180°，所以3个扇形圆心角的和为360°，即3个扇形面积的和为一个圆的面积。 28．（本题5分）（19-20六年级上·浙江杭州·期中）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，已知AB＝BC＝10厘米，那么阴影部分的面积是多少？ 29．（本题5分）（23-24六年级上·辽宁·期中）如图，有一只狗被拴在一建筑物的墙角A点上，这个建筑物的底面是边长为6米的正方形，拴狗的绳长15米，现在狗从B点出发，将绳拉紧并沿顺时针跑，狗最多可跑多少米？    30．（本题5分）（18-19六年级上·上海·期末）如图，某中学校园有一块长方形空地ABCD，AD的长为30米，在AD上有一段长24米的旧篱笆墙AE，现利用旧篱笆墙AE以及新购的48米长的篱笆材料围成一个面积最大的半圆形花园，但不能超出长方形ABCD的范围。 （1）若AB长为10米，求半圆形花园的面积； （2）若AB长为15米，当围成的半圆形花园面积最大时，直径为多少米？（精确到1米） 31．（本题6分）（19-20六年级上·全国·期末）已知圆周上任意点和直径两端点的连线形成一个角，我们把这个角称为圆周角。如图1，AB是直径，P是圆周上一点，那么∠P是圆周角。到了中学里我们会学到，圆周角总是等于90度。   （1）图2是以AB为直径的半圆，点C是圆周上一点，CD是△ABC的高，长为5cm，已知△ABC的面积是30cm2  ， 求图中阴影部分的面积。     （2）图2半圆的直径不变，当点C在半圆周上运动时，求△ABC面积的最大值。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 【解析版】 易错知识点01：概念与公式混淆 1. 半径与直径关系混淆 典型错误：已知半径求直径时错误×2或÷2，如半径3cm的圆直径误算为。 正解：直径=半径×2 → 。 避错口诀：“同圆中，直径是半径的2倍”（），非周长或面积关系。 2. 圆的周长与面积公式混用 错例：求周长用，求面积用，如半径4cm的圆面积误算为。 正解：面积；周长。 关键词区分：周长用“一圈长度”（单位：cm/m），面积用“覆盖范围”（单位：cm²/m²）。 易错知识点02：公式应用错误 1. 圆周率的取值随意 错例：计算周长时取3或3.14结果混淆，如（π取3），但与题中“取3.14”矛盾。 规范操作：严格按题目要求取值，若未明确说明，默认用符号表示（如 cm），或取3.14计算。 2. 半圆相关公式遗漏步骤 错例：半圆周长误为圆周长的一半（），忽略直径。如半径5cm的半圆周长误算为。 正解：半圆周长=圆周长一半+直径 → 。 口诀：“半圆周长：半圆弧长加直径，两样俱全才完整”。 易错知识点03：特殊图形计算陷阱 1. 组合图形周长与面积混淆 典型问题：计算“外方内圆”或“外圆内方”的阴影面积和周长。 错例（外方内圆，正方形边长4cm）：阴影面积误算为正方形面积（16cm²）-圆面积（）=3.44cm²，忽略圆半径与正方形边长的关系（此处圆直径=正方形边长→半径2cm，正解正确但需注意条件）。 延伸错误：阴影周长误加内外所有边，如外方内圆周长=正方形周长+圆周长，实则阴影周长仅为正方形周长（圆周长不暴露）。 2. 圆环面积计算错误 错例：大圆半径6cm，小圆半径4cm，圆环面积误算为。 正解：圆环面积=大圆面积-小圆面积=。 核心公式：圆环面积=，非！ 易错知识点04：实际应用题误区 1. 滚动问题中的圈数计算 错例：车轮直径0.6m，滚动62.8m，求圈数。误用面积公式或未统一单位：。 正解：周长 → 圈数圈（保留整数34圈）。 关键点：滚动距离÷周长=圈数，单位统一为米。 2. 分割图形后比例关系误判 典型题：将圆沿半径剪拼成长方形，求周长增加量。 错解：认为周长不变，或误算面积变化。 正解：长方形的长=圆周长一半（），宽=半径（），周长=，比圆周长增加（如原周长，现为）。 易错知识点05：易混题型对比与避错 1. “圆的面积” vs. “半圆面积” vs. “四分之一圆面积” 快速区分： 圆面积； 半圆面积，周长=； 扇形（四分之一圆）面积，弧长=。 2. “半径扩大n倍”相关计算 错例：半径扩大3倍，误判面积扩大3倍。 正解：面积扩大倍数=（如半径3倍→面积9倍），周长扩大倍数=。 【实战避坑指南】 读题标注关键信息：圈出“直径/半径”“半圆/圆”“保留π/取3.14”等条件。 分步列式计算：周长和面积分开计算，避免公式混淆。 画图辅助：复杂图形（如外圆内方）先画图标注各部分数据。 单位检查：周长单位无平方，面积单位带平方，计算后反向验证合理性。 通过针对性地厘清概念、强化易混公式对比，结合典型错例解析，学生可精准突破《圆》单元的难点，提升解题准确率。 试题满分：100分 检测时间：90分钟 难度系数：0.35（较难） 一、选择题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 1．（本题2分）（24-25六年级上·山东菏泽·期末）如图，正方形的边长是2cm，在正方形里画最大的圆，阴影部分的周长是（    ）。 A．14.28cm B．6.28cm C．12.56cm D．20.56cm 【答案】A 【易错思路指引】由图可知：阴影部分的周长＝正方形的周长＋直径为2cm的圆的周长，正方形的周长＝边长×4，圆的周长＝圆周率×直径，据此分别求出正方形的周长和圆的周长，再把它们相加即可。 【规范解答】2×4＋3.14×2 ＝8＋6.28 ＝14.28（cm） 所以阴影部分的周长是14.28cm。 故答案为：A 2．（本题2分）（24-25六年级上·山东菏泽·期末）下面运用了“转化”方法解决问题的有（    ）。 ①分数除法÷＝×4      ②三角形的面积 ③三角形的内角和 ④圆的面积 A．②④ B．①②③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【易错思路指引】①分数除法法则：除以一个分数等于乘这个分数的倒数。÷＝×4就是把分数除法转化成分数乘法来计算，所以①运用了“转化”方法； ②把两个完全相同三角形拼成一个的平行四边形，三角形的面积等于平行四边形面积的一半。因为平行四边形的面积＝底×高，所以三角形的面积＝底×高÷2。通过把三角形“转化”为平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式，所以②运用了“转化”方法； ③把三角形的三个内角拼接成一个平角，而一个平角的度数是180°，由此可得三角形的三个内角之和是180°，所以③运用了“转化”方法； ④把圆平均分成若干份，然后拼成一个近似的平行四边形，把圆的面积计算转化成平行四边形面积的计算，所以④运用了“转化”方法。 【规范解答】由分析可得： 运用了“转化”方法解决问题的有①②③④。 故答案为：B 3．（本题2分）（24-25六年级上·重庆万州·期末）小圆的直径是6厘米，大圆的半径是6厘米，大圆面积是小圆面积的（    ）。 A．4倍 B．2倍 C．1倍 【答案】A 【易错思路指引】根据圆的面积公式S＝，分别计算出大圆和小圆的面积，再将大圆的面积除以小圆的面积即可。 【规范解答】 大圆面积是小圆面积的4倍。 故答案为：A 4．（本题2分）（2016三年级下·全国·竞赛）将一张大圆片用直线分成大小不等的若干纸片，如果画上4条直线，最多把圆片分成（    ）块。 A．6 B．8 C．10 D．11 【答案】D 【易错思路指引】直线的交点越多，所分成的块数就越多，4条直线，每两条直线都相交，最多6个交点。 【规范解答】如图所示： 最多可以分成11块。 故答案为：D 【考点再现】要使得所分成的块数最多，要保证交点数最多，且交点都在圆内。 5．（本题2分）（21-22六年级上·浙江宁波·期末）左边①号图形是由2个相同的小半圆、1个中半圆、1个大半圆组成，右边②号是由正方形和多个半圆组成。①号、②号阴影部分图形的周长相比（    ）。 A．①号周长长 B．②号周长长 C．周长一样长 D．无法确定 【答案】C 【易错思路指引】看图，①的周长＝大半圆周长÷2＋三个小半圆周长÷2，②的周长＝圆周长×2，圆周长＝3.14×直径。将①的三个小半圆直径设为未知数，再将数据分别代入求出①和②的周长公式，从而比较。 【规范解答】①的周长： 设三个小半圆的直径分别是a、b、c a＋b＋c ＝5×2 ＝10（cm） 2×3.14×5÷2＋3.14×a÷2＋3.14×b÷2＋3.14×c÷2 ＝15.7＋1.57×a＋1.57×b＋1.57×c ＝15.7＋1.57×（a＋b＋c） ＝15.7＋1.57×10 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（cm） ②的周长：5×3.14×2＝31.4（cm） 所以，①和②的周长一样长。 故答案为：C 【考点再现】本题考查了阴影部分的周长，有一定观察能力，熟记圆的周长公式是解题的关键。 2、 判断题：本题共5小题，每小题2分，共10分． 6．（本题2分）（24-25六年级上·河南焦作·期末）圆的半径扩大到原来的2倍，周长和面积也扩大到原来的2倍。( ) 【答案】× 【易错思路指引】设圆的半径为1，根据圆的周长：C＝2πr，圆的面积：S＝πr2，分别求出扩大前后圆的周长和面积，再用扩大后的周长除以扩大前的周长，用扩大后的面积除以扩大前的面积，即可判断。 【规范解答】设原来圆的半径为1，扩大后半径为2。 周长：（2×2×π）÷（1×2×π） ＝4π÷2π ＝2 面积：（22×π）÷（12×π） ＝（4×π）÷（1×π） ＝4π÷π ＝4 圆的半径扩大到原来的2倍，周长也扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍。原题说法错误。 故答案为：× 7．（本题2分）（24-25六年级上·湖北鄂州·期末）两个圆的半径比是3∶1，则这两个圆的周长比是6∶1，面积比是9∶1。( ) 【答案】× 【易错思路指引】设小圆的半径为r，则大圆的半径为3r，分别代入圆的周长＝2πr和圆的面积＝πr2，表示出各自的周长和面积，即可求解。 【规范解答】假设小圆的半径为r，则大圆的半径为3r， 大圆的周长：2π×3r＝6πr 小圆的周长：2πr 6πr∶2πr＝3∶1 大圆的面积：π（3r）2＝9πr2 小圆的面积：πr2 9πr2∶πr2＝9∶1 那么这两个圆的周长比是3∶1，这两个圆的面积的比是9∶1，原题说法错误。 故答案为：× 8．（本题2分）（24-25六年级上·河北保定·期中）面积相等的长方形、正方形和圆形，它们的周长相比，圆的周长最大。( ) 【答案】× 【易错思路指引】当长方形、正方形、圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小；当长方形、正方形、圆的面积相等时，圆的周长最小，长方形的周长最大，据此解答。 【规范解答】面积相等的长方形、正方形和圆形，它们的周长相比，圆的周长最小。 故答案为：× 9．（本题2分）（24-25六年级上·河南周口·期中）把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了10cm，这个圆的面积是78.5cm2。( ) 【答案】× 【易错思路指引】把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，则周长增加了2条直径，据此求出1条直径的长度，再除以2即可得到半径，最后根据圆的面积公式为：S＝πr2列式求出面积即可。 【规范解答】10÷2＝5（cm） 5÷2＝2.5（cm） 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（cm2） 把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了10cm，这个圆的面积是19.625cm2。 故答案为：× 10．（本题2分）（19-20六年级上·湖北武汉·期末）用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按下面三种方式裁剪出不同规格的圆片。剪完圆片后，第三种裁剪方式剩下的废料最多。( ) 【答案】× 【易错思路指引】用赋值法，假设正方形的边长是6，据此分别求出三种方式圆片的面积，比较即可。 【规范解答】假设正方形的边长是6 方式1圆片面积：π×（6÷2）2＝9π； 方式2圆片面积：π×（6÷2÷2）2×4＝9π； 方式3圆片面积：π×（6÷3÷2）2×9＝9π 三种方式圆片的面积相等，剩下废料的面积也相等。 故答案为：× 【考点再现】掌握圆的面积计算公式，并学会灵活运用。 三、填空题：本题共8小题，每空1分，共16分． 11．（本题2分）（25-26六年级上·全国·单元测试）将一个圆按下图切开，拼成一个近似的长方形，近似长方形的周长比圆的周长增加4cm，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 12.56 12.56 【易错思路指引】把圆按图切开拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，据此可知，长方形的周长比圆的周长增加了2条半径，用4除以2可得半径，再根据圆的周长公式，圆的面积公式，代入数据计算。 【规范解答】（cm） （cm） （cm2） 将一个圆按下图切开，拼成一个近似的长方形，近似长方形的周长比圆的周长增加4cm，这个圆的周长是12.56cm，面积是12.56cm2。 12．（本题2分）（25-26六年级上·全国·单元测试）一个圆环，内圆半径1dm，外圆半径3dm，这个环形的面积是( )dm2。 【答案】25.12 【易错思路指引】分析题目，圆环的面积＝π（R2－r2），据此把R＝3，r＝1代入数据列式计算即可。 【规范解答】3.14×（32－12） ＝3.14×（9－1） ＝3.14×8 ＝25.12（dm2） 一个圆环，内圆半径1dm，外圆半径3dm，这个环形的面积是25.12dm2。 13．（本题2分）（24-25六年级上·山东济南·期末）把一个圆形铁片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了12厘米，这个圆的半径是( )厘米。 【答案】3 【易错思路指引】把一个圆形铁片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了2条直径，增加的周长÷2＝直径，直径÷2＝半径，据此列式计算。 【规范解答】12÷2÷2＝3（厘米） 这个圆的半径是3厘米。 14．（本题2分）（24-25六年级上·河南焦作·期末）一个圆形花坛，原来直径是15米，扩建后的直径与原来直径的比是4∶3，扩建后花坛的直径是( )米，扩建后花坛的周长是( )米。 【答案】 20 62.8 【易错思路指引】扩建后的直径与原来直径的比是4∶3，把扩建后的直径看作4份，原来的直径看作3份，用原来的直径除以对应的份数，求出1份是多少米，再乘扩建后的直径份数求出扩建后花坛的直径；根据圆的周长＝圆周率×直径，用圆周率乘扩建后花坛的直径即可求出扩建后花坛的周长。 【规范解答】15÷3×4 ＝5×4 ＝20（米） 3.14×20＝62.8（米） 所以扩建后花坛的直径是20米，扩建后花坛的周长是62.8米。 15．（本题2分）（23-24六年级下·浙江温州·期中）有两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆周长是小圆周长的倍。小圆的面积是( )平方厘米。 【答案】891 【易错思路指引】圆的周长＝2×圆周率×半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，两个圆周长比＝半径比，半径比前后项分别平方以后的比是面积比，据此确定大圆和小圆的面积比，将比的前后项看成份数，面积差÷份数差，求出一份数，一份数×小圆面积对应份数＝小圆的面积，据此列式计算。 【规范解答】大圆和小圆的半径比：∶1＝∶1＝10∶9 大圆和小圆的面积比：102∶92＝100∶81 209÷（100－81）×81 ＝209÷19×81 ＝891（平方厘米） 小圆的面积是891平方厘米。 【考点再现】明确两个圆的周长比就是半径比，面积比是半径的平方比是解决本题的关键。 16．（本题2分）（21-22六年级上·天津南开·期末）中国建筑中经常能见到“外方内圆”的设计。图中正方形两个顶点的连线长6dm。圆与正方形之间的部分（即阴影部分）是( )dm2。 【答案】3.87 【易错思路指引】连接正方形的另一条对角线（如下图）， 图中每个小直角三角形的面积为（6÷2） ×（6÷2）÷2；然后将4个小直角三角形的面积相加，得出正方形的面积。再根据圆的直径等于正方形的边长，（直径÷2）的平方等于直径平方的，即正方形边长平方的，也就是正方形面积的。用3.14乘正方形面积再乘求出圆面积，最后用正方形的面积减去圆面积即可。 【规范解答】（6÷2）×（6÷2）÷2×4 ＝3×3÷2×4 ＝9÷2×4 ＝18（平方分米） 18－3.14×18 ＝18－14.13 ＝3.87（平方分米） 阴影部分的面积是3.87平方分米。 【考点再现】本题不能直接求得圆的半径，但可以将圆的半径平方转化为正方形面积的，因此理解正方形面积的，即18的等于圆的半径平方，是解答本题的关键。 17．（本题2分）（21-22六年级上·浙江金华·期末）用金属带把4根直径为1分米的管子扎在一起（如图），这根金属带至少需要( )分米。（不计接口处长度） 【答案】7.14 【易错思路指引】金属带的长度可以分成两部分，一部分是4条直径的和，另一部分是4个圆的弧长的和，而4个圆的弧长的和正好等于一个圆的周长。即金属带的长度等于一个圆的周长加上4条直径的长度和。如下图所示： 【规范解答】3.14×1＋1×4 ＝3.14＋4 ＝7.14（分米） 所以这根金属带至少需要7.14分米。 【考点再现】解决此类题的关键是将捆扎的物体转化成规则的图形，使计算简化。 18．（本题2分）（22-23六年级上·全国·期末）直径2厘米的硬币贴着一个长9厘米，宽6厘米长方形外围滚动，从A点滚动到B点时，硬币滚过的面积是( )平方厘米，硬币圆心走过的路程是( )厘米。 【答案】 36.28 16.57 【易错思路指引】 如图：，硬币滚过的面积＝一个圆的面积＋个大圆的面积＋两个长方形的面积，大圆的半径为2厘米，圆的半径为2÷2＝1厘米，利用圆的面积公式分别求出其面积；一个长方形的长为9厘米，宽为2厘米，另一个长方形的长为6厘米，宽为2厘米，利用长方形的面积公式求出两个长方形的面积，代入数据即可求出硬币滚过的面积。硬币圆心走过的路程＝9厘米＋6厘米＋个圆的周长，利用圆的周长公式求出个圆的周长，代入数据即可求出硬币圆心走过的路程。 【规范解答】2×9＋2×6＋＋ ＝18＋12＋＋ ＝18＋12＋3.14＋3.14 ＝36.28（平方厘米） 9＋6＋×2×3.14 ＝15＋1.57 ＝16.57（厘米） 即硬币滚过的面积是36.28平方厘米，硬币圆心走过的路程是16.57厘米。 【考点再现】此题的解题关键是通过作图，分析出硬币的路线，灵活利用圆的面积、周长公式以及长方形的面积公式，解决问题。 四、计算：本题共2小题，共8分． 19．（本题4分）（24-25六年级上·河北沧州·期末）计算下面图形中涂色部分的周长和面积。 【答案】21.42cm，3.87cm2；25.12cm，25.12cm2 【易错思路指引】第一幅图，涂色部分的周长＝圆周长的一半＋长方形的宽×2＋长方形的长，圆周长的一半＝圆周率×直径÷2；涂色部分的面积＝长方形面积－半圆的面积，长方形面积＝长×宽，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2。 第二幅图，涂色部分的周长＝小圆周长＋大圆周长的一半，圆的周长＝圆周率×直径，圆周长的一半＝圆周率×半径；涂色部分的面积＝大半圆的面积。 【规范解答】3.14×6÷2＋6÷2×2＋6 ＝9.42＋6＋6 ＝21.42（cm） 6×（6÷2）－3.14×（6÷2）2÷2 ＝6×3－3.14×32÷2 ＝18－3.14×9÷2 ＝18－14.13 ＝3.87（cm2） 3.14×4＋3.14×4 ＝12.56＋12.56 ＝25.12（cm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（cm2） 第一幅图，涂色部分的周长是21.42cm，涂色部分的面积是3.87cm2；第二幅图，涂色部分的周长是25.12cm，涂色部分的面积是25.12cm2。 20．（本题4分）（19-20六年级上·湖南湘西·期末）求出阴影部分的面积和周长。   【答案】面积9cm2；周长15.42cm 【易错思路指引】 如图，把右面阴影圆补到左边空白部分，这样阴影部分组成一个边长为3cm的正方形；根据正方形的面积＝边长×边长，即可求出阴影部分的面积。 阴影部分的周长＝圆周长的一半＋2个3cm的线段，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算即可求解。 【规范解答】阴影部分的面积： 3×3＝9（cm2） 阴影部分的周长： 2×3.14×3÷2＋3×2 ＝9.42＋6 ＝15.42（cm） 阴影部分的面积是9cm2，阴影部分的周长是15.42cm。 五、应用题：本题共11小题，共56分． 21．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，将半圆AEB绕A点逆时针旋转得到半圆ADC，B点移动到C点，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】25.12平方厘米 【易错思路指引】如图： 半圆ADC是半圆AEB逆时针旋转后得到的图形，根据旋转的特点可知半圆ADC的面积＝半圆AEB的面积；因为半圆ADC的面积－①的面积＝③的面积，半圆AEB的面积－①的面积＝②的面积，所以③的面积＝②的面积，因此，阴影部分的面积就是扇形ACB的面积，扇形ACB圆心角是45°，半径是8厘米，所以阴影部分的面积＝圆周率×半径的平方×，据此解答即可。 【规范解答】3.14×82× ＝3.14×64× ＝200.96× ＝25.12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是25.12平方厘米。 22．（本题5分）（25-26六年级上·全国·单元测试）从小强家到学校要走1200米，小强的自行车外轮胎直径约50厘米，他骑自行车上学，如果车轮平均每分钟转200转，他从家到学校约需要多少分钟？（π取3） 【答案】4分钟 【易错思路指引】要计算小强从家到学校的时间，需先求出自行车车轮每分钟行驶的距离，再用总路程÷该速度。车轮行驶距离与车轮周长和每分钟转数有关，根据圆的周长公式C＝πd可求周长，进而得速度，据此分析。 【规范解答】50厘米＝0.5米 3×0.5＝1.5（米） 1.5×200＝300（米） 1200÷300＝4（分钟） 答：他从家到学校约需要4分钟。 23．（本题5分）（24-25六年级上·重庆·期末）一辆自行车车轮的外直径是0.8米，李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，如果车轮每分钟转50圈，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 【答案】1256米 【易错思路指引】已知自行车车轮的外直径是0.8米，根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮的周长； 如果车轮每分钟转50圈，用车轮的周长乘每分钟转的圈数，即是自行车的速度； 李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，根据“路程＝速度×时间”求出李老师家到图书馆的路程。 【规范解答】3.14×0.8×50×10 ＝2.512×50×10 ＝125.6×10 ＝1256（米） 答：李老师家到图书馆的路程是1256米。 24．（本题5分）（24-25六年级上·山西晋中·期末）春节帖“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，下图“福”字窗花中，圆的直径是30厘米，“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积是多少？ 【答案】193.5平方厘米 【易错思路指引】看图可知，“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积＝正方形面积－圆的面积，正方形的边长＝圆的直径，正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式解答。 【规范解答】30×30－3.14×（30÷2）2 ＝900－3.14×152 ＝900－3.14×225 ＝900－706.5 ＝193.5（平方厘米） 答：“福”字所在的圆与正方形之间的部分的面积是193.5平方厘米。 25．（本题5分）（24-25六年级上·新疆克孜勒苏·期末）给一个圆柱形水缸做一个圆形木盖，缸口直径为7.5分米，圆形木盖的直径要比缸口的直径多0.5分米，这个木盖的面积是多少平方分米？在木盖的四周用一种边条加固（不计耗损），需要这种边条多少分米？ 【答案】50.24平方分米；25.12分米 【易错思路指引】根据题意，圆形木盖的直径要比缸口的直径多0.5分米，即圆形木盖的直径是（7.5＋0.5）分米；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出这个木盖的面积。 在木盖的四周用一种边条加固，求需要这种边条的长度，就是求圆的周长；根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算，求出这种边条的长度。 【规范解答】木盖的直径：（分米） 木盖的半径：（分米） 木盖的面积： （平方分米） 木盖的周长： （分米） 答：这个木盖的面积是50.24平方分米，需要这种边条25.12分米。 26．（本题5分）（24-25六年级上·湖南怀化·期末）如图，等边三角形中空白部分是三个相同的扇形，三角形的边长是8厘米。 （1）求图中空白部分的面积。 （2）求图中阴影部分图形的周长。 【答案】（1）25.12平方厘米； （2）12.56厘米 【易错思路指引】等边三角形的三个角均为60度，所以，三个相同的扇形可以组成一个半圆。圆的半径是三角形边长的一半，圆的直径等于三角形的边长； （1）根据公式：圆的面积＝圆周率×半径的平方，计算出圆的面积再除以2，就是空白部分的面积； （2）根据公式：圆的周长＝圆周率×直径，计算出圆的周长再除以2，就是阴影部分图形的周长。 【规范解答】（1）8÷2＝4（厘米） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 答：图中空白部分的面积25.12平方厘米。 （2）3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（厘米） 答：图中阴影部分图形的周长12.56厘米。 27．（本题5分）（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，一个等边三角形的边长是一个小圆的周长的2倍，小圆的半径为2cm。若这个小圆按箭头方向从某一位置沿着等边三角形的周边作无滑动滚动，直至回到原出发位置，在计算小圆滚动的面积的时候，聪聪的想法如下，请你据此计算。 第1步：先把小圆滚过的图形进行分割：小圆经过的面积为3个长方形面积＋3个扇形面积。 第2步：3个扇形面积分析：1个扇形圆心角＋三角形的1个内角＝180°，则3个扇形圆心角＋三角形的3个内角＝540°。因为三角形3个内角的和为180°，所以3个扇形圆心角的和为360°，即3个扇形面积的和为一个圆的面积。 【答案】351.68平方厘米 【易错思路指引】由题意可知：小圆经过的面积为3个长方形面积与1个圆的面积组成。长方形的宽等于小圆的直径即宽是4厘米；长方形的长是小圆周长的2倍，小圆周长为即长为；根据长方形面积＝长×宽可以求解；1个圆的面积是由3个扇形面积组成，组成的圆的半径等于长方形的宽即小圆的直径，根据求解；将3个长方形的面积与圆的面积相加求出小圆滚动的面积。 【规范解答】长方形的宽： 2×2＝4（厘米） 长方形的长： 2×3.14×2＝12.56（厘米） 12.56×2＝25.12（厘米） 长方形的面积： 25.12×4＝100.48（平方厘米） 3个长方形的面积和： 100.48×3＝301.44（平方厘米） 3个扇形面积： 3.14×4×4＝50.24（平方厘米） 小圆滚过面积： 301.44＋50.24＝351.68（平方厘米） 答：小圆滚动的面积为351.68平方厘米。 【考点再现】结合题意将小球滚动的路线转化成我们熟知的图形，小球滚动的面积即各部分图形的面积和。有意识的将多个扇形面积去转化成有关的圆的面积；将图上的有效信息提取出来，小球的直径等于长方形的宽，3个扇形组成的圆的半径是小球的直径；灵活的运用圆的面积公式。 28．（本题5分）（19-20六年级上·浙江杭州·期中）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，已知AB＝BC＝10厘米，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】32.125平方厘米 【易错思路指引】如下图，作出辅助线，使四边形BEDO是一个边长等于圆的半径的正方形； 则阴影部分的面积＝直角三角形AED的面积－正方形BEDO的面积＋圆的面积； 根据三角形的面积公式S＝ah÷2，正方形的面积公式S＝a2，圆的面积S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】OB、OD、BE、ED：10÷2＝5（厘米） 直角三角形AED的面积： （10＋5）×5÷2 ＝15×5÷2 ＝37.5（平方厘米） 正方形BEDO的面积： 5×5＝25（平方厘米） 圆的面积： 3.14×52× ＝3.14×25× ＝19.625（平方厘米） 阴影部分的面积： 37.5－25＋19.625 ＝12.5＋19.625 ＝32.125（平方厘米） 答：阴影部分的面积是32.125平方厘米。 【考点再现】解题的关键是做出合适的辅助线，把图形进行相应的转换，分析出阴影部分的面积是由哪些图形的面积相加或相减得到，利用图形的面积公式求解。 29．（本题5分）（23-24六年级上·辽宁·期中）如图，有一只狗被拴在一建筑物的墙角A点上，这个建筑物的底面是边长为6米的正方形，拴狗的绳长15米，现在狗从B点出发，将绳拉紧并沿顺时针跑，狗最多可跑多少米？    【答案】42.39米 【易错思路指引】先分析狗跑过的路径：第一段是半径为15米的圆的周长的；第二段是半径为（15－6）米的圆的周长的；第三段是半径为（15－6－6）米的圆的周长的；把这三段路程相加即可。 【规范解答】如图：    3.14×15×2× ＝47.1×2× ＝94.2× ＝23.55（米） 3.14×（15－6）×2× ＝3.14×9×2× ＝28.26×2× ＝56.52× ＝14.13（米） 3.14×（15－6－6）×2× ＝3.14×3×2× ＝9.42×2× ＝18.84× ＝4.71（米） 23.55＋14.13＋4.71 ＝37.68＋4.71 ＝42.39（米） 答：狗最多可跑42.39米。 【考点再现】解决此题的关键是找到圆的半径。 30．（本题5分）（18-19六年级上·上海·期末）如图，某中学校园有一块长方形空地ABCD，AD的长为30米，在AD上有一段长24米的旧篱笆墙AE，现利用旧篱笆墙AE以及新购的48米长的篱笆材料围成一个面积最大的半圆形花园，但不能超出长方形ABCD的范围。 （1）若AB长为10米，求半圆形花园的面积； （2）若AB长为15米，当围成的半圆形花园面积最大时，直径为多少米？（精确到1米） 【答案】（1）157平方米 （2）28米 【易错思路指引】（1）在长方形里围一个最大的半圆，半圆半径等于长方形的宽，据此根据半圆面积＝圆的面积，圆周长的一半＝πr，求出这个长方形内最大的半圆的弧长，如果不超过篱笆长度即可。 （2）先找到半圆直径的取值范围，再假设半圆的直径新增加a米，则半圆弧长为π×，求出a的值，加上取值范围较小的数即可。 【规范解答】（1）S半圆＝πr2＝×3.14×10×10＝157平方米， 此时用去篱笆C半圆＝πr＝3.14×10＝31.4米＜48米， 答：半圆形花园的面积为157平方米。 （2）当r＝12时，周长的一半＝πr＝3.14×12＝37.48米＜48米， 当r＝15时，周长的一半＝πr＝3.14×15＝47.1米，L半圆＝47.1＋6＝53.1米＞48米， 所以，半圆的直径应大于24米且小于30米， 设半圆的直径新增加a米，则半圆弧长为π×， 根据题意得，a＋π×＝48， 解得，a＝4， 所以，半圆的直径为24＋4＝28米， 答：所设计的半圆形的直径为28米。 【考点再现】关键是知道长方形内画最大半圆，半圆与长方形的关系，圆的周长＝πd。 31．（本题6分）（19-20六年级上·全国·期末）已知圆周上任意点和直径两端点的连线形成一个角，我们把这个角称为圆周角。如图1，AB是直径，P是圆周上一点，那么∠P是圆周角。到了中学里我们会学到，圆周角总是等于90度。   （1）图2是以AB为直径的半圆，点C是圆周上一点，CD是△ABC的高，长为5cm，已知△ABC的面积是30cm2  ， 求图中阴影部分的面积。     （2）图2半圆的直径不变，当点C在半圆周上运动时，求△ABC面积的最大值。 【答案】（1）26.52 cm2 (2)36cm2 【易错思路指引】（1）阴影部分的面积=半圆的面积-△ABC的面积，其中半圆的面积=πr2  ， 半圆的直径AB=△ABC的面积×2÷CD，据此代入数据作答即可； （2）△ABC的底AB是不变的，所以只需要高CD最大即可，因为当CD最大时，是圆的半径，所以△ABC面积的最大=AB×圆的半径×。 【规范解答】（1）AB=30×2÷5=12（cm）    S阴=（12÷2）2×3.14× -30=26.52（cm2） （2）当△ABC面积最大值时，即高CD的长最大为半径时，    S△ABC=12×6× =36（cm2） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $