2025-2026学年人教版数学九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（选择题篇）

2025-2026学年数学人教版九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（选择题篇） 8大题型归纳总结 题型1：一元二次方程的定义 题型2：一元二次方程的一般形式与解 题型3：解一元二次方程 题型4：一元二次方程的根与系数的关系 题型5：实际问题与一元二次方程 题型6：二次函数的图像与性质 题型7：二次函数与一元二次方程 题型8：实际问题与二次函数 8大题型跟踪训练 题型1：一元二次方程的定义 1．（2024秋•凤凰县期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x﹣9＝0 B．x3+x＝5 C．x2﹣2x＝8 D．ax2+bx+c＝0 2．（2025春•雨花区校级期末）下列方程为一元二次方程的是（　　） A．x3﹣2x2﹣3＝0 B． C．x2+x﹣2＝0 D．xy+1＝0 3．（2024秋•博罗县期末）若方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2 4．（2024秋•巴南区期末）若方程（m+3）x|m+1|﹣4x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．﹣3或1 B．1 C．±1 D．﹣3 题型2：一元二次方程的一般形式与解 5．（2024秋•川汇区期末）将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（　　） A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4 6．（2025春•岳西县期末）一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4 7．（2024秋•临猗县期中）若x＝1是一元二次方程x2+ax﹣10＝0的一个根，则a的值为（　　） A．9 B．10 C．﹣9 D．11 8．（2025•东莞市模拟）若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 题型3：解一元二次方程 9．（2024秋•禹州市期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程变形正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝11 10．（2024秋•宽城县期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤5 B．k≤5且k≠1 C．k＜5且k≠1 D．k＜5 11．（2024秋•双流区期末）一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 12．（2025•亳州三模）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，则下列方程中，其两实数根分别为α﹣1，β﹣1的是（　　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0 题型4：一元二次方程的根与系数的关系 13．（2025春•雨花区校级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0有两个实数根x1，x2，且，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 14．（2025春•江北区校级期末）已知m，n是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则m（1+n）﹣n2的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣9 D．9 15．（2025春•霞山区校级期末）对于一元二次方程x2﹣4x+4＝0，则下列叙述正确的是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两根之积是﹣4 D．两根之和是4 16．（2024秋•红山区期末）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 题型5：实际问题与一元二次方程 17．（2024秋•川汇区期末）图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的4个数中，最大数x与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣6）＝588 B．x（x﹣7）＝588 C．x（x﹣8）＝588 D．x（x﹣5）＝588 18．（2024秋•松山区期末）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2022年年收入550美元，预计2024年年收入将达到1550美元，设2022年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（　　） A．550（1+2x）＝1550 B．550（1+x）2＝1550 C．550（1+x2）＝1550 D．550+2x＝1550 19．（2024秋•老河口市期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（　　） A．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 B．（3x）2+102＝（7x）2 C．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 D．（3x）2＝（7x﹣10）2+102 20．（2025•西双版纳一模）傣族银器是西双版纳最具代表性的民族饰品之一，兼具实用性与文化象征意义．傣银饰品深受众多游客的喜爱．某傣银饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出121件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．100（1+x2）＝121 B．100（1+x）2＝121 C．100（1+x）＝121 D．100（1+2x）＝121 题型6：二次函数的图像与性质 21．（2024秋•商水县期末）下列是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝2x3+3x B． C．y＝a（x﹣1）2+c D． 22．（2024秋•莱山区期末）二次函数y＝x2+2的顶点是（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（1，3） D．（﹣1，3） 23．（2024秋•沙市区期末）已知二次函数y＝﹣5（x﹣3）2+2，下列说法正确的是（　　） A．其图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2） B．函数的最小值为2 C．其图象的开口向上 D．其图象的对称轴为直线x＝3 24．（2024秋•莱山区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；④4a2﹣2ab≥a2t2+abt（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型7：二次函数与一元二次方程 25．（2025•龙马潭区二模）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两交点，当m＞2且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足：﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜11 B． C．2＜m＜3或 D． 26．（2024秋•行唐县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣2 ﹣1 0 1 3 y 5 0 ﹣3 ﹣4 0 下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线x＝1；③ax2+bx+c＝5的另一个解是x＝4；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，其中，正确的个数（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 27．（2025春•江北区校级期中）关于二次函数y＝mx2+4mx﹣5（m≠0）．有下列三个结论： ①若M（﹣a﹣7，y1），N（a+3，y2）是该二次函数图象上任意的两个点，则y1＝y2； ②当时，该二次函数的图象与x轴始终没有交点； ③若该二次函数的图象与x轴交于P，Q两点，且PQ≤8，则m≥1或． 以上结论正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 28．（2025•罗江区模拟）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段AB上运动，AB∥x轴，B（1，﹣1），AB＝3，有下面五个结论： ①﹣4≤b≤2； ②﹣1≤c≤3； ③当x＞0时，一定有y随x的增大而增大； ④若点C的坐标为（m，0），则点D的坐标为（m+2，0）； ⑤若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标一定为（1，﹣1）． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①④⑤ D．①②④ 题型8：实际问题与二次函数 29．（2025•惠山区一模）一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 30．（2025•东坡区校级模拟）小元设计了一个魔术盒，当任意实数对（m，n）进入其中时，会得到一个新的实数m2+2n﹣7，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+2×（﹣2）﹣7＝﹣2．现将实数对（a，﹣4a）放入其中，得到实数﹣23，则二次函数y＝ax2﹣8x+5的最值为（　　） A．﹣1 B．1 C．4 D．9 31．（2025•蚌埠二模）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A沿线段AC向C运动，点Q先从点A沿线段AB运动，到达点B后，再沿线段BC向C运动，点P和Q到达点C后就停止运动．当点P运动的路程为x时，点Q运动的路程为，则在运动过程中△CPQ面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 32．（2025•盐湖区校级一模）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为10米的圆形喷水池，水池中心O处立着一个圆柱形实心石柱OA，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心2m处到达最大高度为1.8m，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点A处汇合，则OA要修建的高度是（　　） A．0.8米 B．1米 C．1.2米 D．1.4米 2025-2026学年数学人教版九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（选择题篇） 参考答案与试题解析 1．（2024秋•凤凰县期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x﹣9＝0 B．x3+x＝5 C．x2﹣2x＝8 D．ax2+bx+c＝0 【解答】解：A、方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程最高次是3次，不是2次，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当a＝0时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025春•雨花区校级期末）下列方程为一元二次方程的是（　　） A．x3﹣2x2﹣3＝0 B． C．x2+x﹣2＝0 D．xy+1＝0 【解答】解：A、x3﹣2x2﹣3＝0中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意； B、x1不是整式方程，故选项错误，不符合题意； C、x2+x﹣2＝0符合一元二次方程的定义，故符合题意； D、xy+1＝0中含有两个未知数，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．（2024秋•博罗县期末）若方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2 【解答】解：∵方程（m+2）x2﹣3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m+2≠0， ∴m≠﹣2． 故选：B． 4．（2024秋•巴南区期末）若方程（m+3）x|m+1|﹣4x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．﹣3或1 B．1 C．±1 D．﹣3 【解答】解：若方程（m+3）x|m+1|﹣4x+1＝0是关于x的一元二次方程， 则|m+1|＝2， 解得m＝1或m＝﹣3， ∵m+3≠0， ∴m≠﹣3， ∴m＝1， 故选：B． 5．（2024秋•川汇区期末）将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（　　） A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4 【解答】解：将方程转化为一般形式得：， ∴常数项为﹣4， 故选：D． 6．（2025春•岳西县期末）一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4 【解答】解：一元二次方程方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数是3，一次项系数﹣4、常数项﹣5， 故选：C． 7．（2024秋•临猗县期中）若x＝1是一元二次方程x2+ax﹣10＝0的一个根，则a的值为（　　） A．9 B．10 C．﹣9 D．11 【解答】解：∵x＝1是一元二次方程的一个根， ∴12+a﹣10＝0， 解得a＝9． 故选：A． 8．（2025•东莞市模拟）若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解， ∴1+m+1＝0，解得m＝﹣2， 故选：D． 9．（2024秋•禹州市期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程变形正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝11 【解答】解：x2﹣2x﹣7＝0， x2﹣2x＝7， x2﹣2x+1＝7+1， （x﹣1）2＝8， 故选：C． 10．（2024秋•宽城县期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤5 B．k≤5且k≠1 C．k＜5且k≠1 D．k＜5 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根， ∴Δ＝42﹣4（k﹣1）≥0，k﹣1≠0， 解得k≤5且k≠1． 故选：B． 11．（2024秋•双流区期末）一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 【解答】解：x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝0，x2＝1． 故选：C． 12．（2025•亳州三模）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，则下列方程中，其两实数根分别为α﹣1，β﹣1的是（　　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β， ∴α+β＝﹣b，αβ＝c， ∵关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1， ∴α+1+β+1＝﹣c，（α+1）（β+1）＝b， ∴﹣b+2＝﹣c，2b＝c+1， 由，解得， ∴α﹣1+β﹣1＝1﹣2＝﹣1，（α﹣1）（β﹣1）＝αβ﹣（α+β）+1＝c+b+1＝﹣3﹣1+1＝﹣3， ∴以两实数根分别为α﹣1，β﹣1的方程是x2+x﹣3＝0， 故选：C． 13．（2025春•雨花区校级期末）若关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0有两个实数根x1，x2，且，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣5）2﹣4a≥0，解得a， x1+x2＝5，x1x2＝a， ∵15， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝15， ∴25﹣2a＝15， ∴a＝5． 故选：C． 14．（2025春•江北区校级期末）已知m，n是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根，则m（1+n）﹣n2的值是（　　） A．﹣7 B．7 C．﹣9 D．9 【解答】解：由题意，∵m，n是方程x2+x﹣4＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣1，mn＝﹣4，n2+n﹣4＝0． ∵n2+n﹣4＝0， ∴n2＝﹣n+4． ∴m（1+n）﹣n2＝m+mn﹣n2＝m+n+mn﹣4． ∵m+n＝﹣1，mn＝﹣4， ∴m（1+n）﹣n2＝﹣1﹣4﹣4＝﹣9． 故选：C． 15．（2025春•霞山区校级期末）对于一元二次方程x2﹣4x+4＝0，则下列叙述正确的是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两根之积是﹣4 D．两根之和是4 【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4＝0， ∴方程有两个相等的实数解，所以A选项不符合题意，B选项符合题意； ∵方程两根之和为4，两根之积为4， ∴C、D选项不符合题意． 故选：B． 16．（2024秋•红山区期末）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0的两实根x1，x2满足，则m的值为（　　） A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣5 D．5 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣（2m﹣3），， ∵， ∴， 整理得m2+4m﹣5＝0， 解得m＝﹣5或m＝1， 当m＝﹣5时，方程为x2﹣13x+26＝0， 而Δ＝（﹣13）2﹣4×1×26＝65＞0，符合题意； 当m＝1时，方程为x2﹣x+2＝0， 而Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴m＝1不合题意，舍去， 故选：C． 17．（2024秋•川汇区期末）图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的4个数中，最大数x与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣6）＝588 B．x（x﹣7）＝588 C．x（x﹣8）＝588 D．x（x﹣5）＝588 【解答】解：由题意得，最小数为（x﹣7）， 则x（x﹣7）＝588， 故选：B． 18．（2024秋•松山区期末）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2022年年收入550美元，预计2024年年收入将达到1550美元，设2022年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（　　） A．550（1+2x）＝1550 B．550（1+x）2＝1550 C．550（1+x2）＝1550 D．550+2x＝1550 【解答】解：根据题意得：550（1+x）2＝1550． 故选：B． 19．（2024秋•老河口市期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（　　） A．（3x）2+102＝（7x﹣10）2 B．（3x）2+102＝（7x）2 C．（7x）2+102＝（3x﹣10）2 D．（3x）2＝（7x﹣10）2+102 【解答】解：根据题意可得（3x）2+102＝（7x﹣10）2， 故选：A． 20．（2025•西双版纳一模）傣族银器是西双版纳最具代表性的民族饰品之一，兼具实用性与文化象征意义．傣银饰品深受众多游客的喜爱．某傣银饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出121件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．100（1+x2）＝121 B．100（1+x）2＝121 C．100（1+x）＝121 D．100（1+2x）＝121 【解答】解：设这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x， ∴100（1+x）2＝121， 故选：B． 21．（2024秋•商水县期末）下列是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝2x3+3x B． C．y＝a（x﹣1）2+c D． 【解答】解：A．本选项是关于x的三次函数，故本选项不符合题意； B．本选项是关于x的反比例函数，故本选项不符合题意； C．当a≠0时，本选项是关于x的二次函数，故本选项不符合题意； D．本选项是关于x的二次函数，故本选项符合题意． 故选：D． 22．（2024秋•莱山区期末）二次函数y＝x2+2的顶点是（　　） A．（0，2） B．（2，0） C．（1，3） D．（﹣1，3） 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2+2， ∴其顶点为（0，2）． 故选：A． 23．（2024秋•沙市区期末）已知二次函数y＝﹣5（x﹣3）2+2，下列说法正确的是（　　） A．其图象的顶点坐标为（﹣3，﹣2） B．函数的最小值为2 C．其图象的开口向上 D．其图象的对称轴为直线x＝3 【解答】解：由题意，对于y＝5（x﹣3）2+2， ∴该函数的对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，2），且抛物线的开口向下，当x＝3时，y取最大值为2． ∴故A、B、C错误，D正确． 故选：D． 24．（2024秋•莱山区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；④4a2﹣2ab≥a2t2+abt（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①因图象开口向下，可知：a＜0； 又∵对称轴为直线x＝﹣2， ∴2，整理得：b＝4a，即a、b同号． 由图象可知，当x＝4时，y＜0， 又∵对称轴为直线x＝﹣2，可知：当x＝0时，y＜0； 即c＜0； ∴abc＜0，故①正确． ②由①得：b＝4a． 代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c； a•（﹣1）2+4a•（﹣1）+c＞0， ∴c﹣3a＞0，故②正确． ③∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2， ∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小． ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故③正确． ④设4a2﹣2ab≥a2t2+abt＝at（at+b），则at•t﹣bt≥4a﹣2b， ∴两边+c得到4a﹣2b+c≤at•t﹣bt+c， ∴左侧为x＝﹣2时的函数值为最大值，右侧为x＝t时的函数值，则不成立，故④错误． 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 25．（2025•龙马潭区二模）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两交点，当m＞2且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足：﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜11 B． C．2＜m＜3或 D． 【解答】解：当m＞2时，m﹣2＞0，即二次函数开口向上， ∵﹣3＜x1＜﹣2， ∴当x＝﹣3时，y＞0；当x＝﹣2时，y＜0， ∴， 解得：， ∵﹣1＜x2＜0， ∴当x＝﹣1时，y＜0；x＝0时，y＞0， ∴，解得：m＞3， ∴． 故选：B． 26．（2024秋•行唐县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣2 ﹣1 0 1 3 y 5 0 ﹣3 ﹣4 0 下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线x＝1；③ax2+bx+c＝5的另一个解是x＝4；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，其中，正确的个数（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（0，﹣3）代入得﹣3＝a×1×（0﹣3），解得a＝1， ∴开口方向向上，①正确； 抛物线的对称轴为直线x＝1，所以②正确； 根据抛物线的对称性可知，当x＝﹣2时y＝5，则当x＝4时，y＝5，故③正确； ∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以④错误，⑤正确． 故选：C． 27．（2025春•江北区校级期中）关于二次函数y＝mx2+4mx﹣5（m≠0）．有下列三个结论： ①若M（﹣a﹣7，y1），N（a+3，y2）是该二次函数图象上任意的两个点，则y1＝y2； ②当时，该二次函数的图象与x轴始终没有交点； ③若该二次函数的图象与x轴交于P，Q两点，且PQ≤8，则m≥1或． 以上结论正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：①抛物线的对称轴是直线x2， ∵， ∴y1＝y2， 故①正确； ②令y＝0， mx2+4mx﹣5＝0， ∵Δ＝（4m）2﹣4m•（﹣5）＝16， ∴当时，Δ＜0， ∴该二次函数的图象与x轴始终没有交点， 故②正确； ③∵该二次函数的图象与x轴交于P，Q两点， ∴Δ＞0， ∴16m2+20m＞0， ∴m＞0或m， 设抛物线与x轴的交点是（a，0），（b，0）， ∴|a﹣b|≤8， ∴（a+b）2﹣4ab≤64， ∴16， ∴m＜0或m， ∴m或m时，PQ≤8， 故③不正确， 故选：B． 28．（2025•罗江区模拟）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段AB上运动，AB∥x轴，B（1，﹣1），AB＝3，有下面五个结论： ①﹣4≤b≤2； ②﹣1≤c≤3； ③当x＞0时，一定有y随x的增大而增大； ④若点C的坐标为（m，0），则点D的坐标为（m+2，0）； ⑤若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标一定为（1，﹣1）． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①④⑤ D．①②④ 【解答】解：①抛物线的对称轴x， ∵顶点在线段AB上运动，AB∥x轴，B（1，﹣1），AB＝3， ∴A（﹣2，1）， ∴﹣21， ∴﹣4≤b≤2； 故选项①正确； ②当顶点为（﹣2，﹣1）时，抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣1， 当x＝0时，y＝c＝3， 当顶点为（0，﹣1）时，c＝﹣1， ∴﹣1≤c≤3； 故选项②正确； ③∵抛物线开口向上，顶点的纵坐标为﹣1，且横坐标在﹣2与1之间， ∴当对称轴在y轴右边，x＞0时，不是y随x的增大而增大， 故选项③错误； ④∵抛物线的对称轴是直线x，点C在点D的左侧， 且1， ∴c1， ∴抛物线y＝x2﹣bx+c为y＝x2﹣bx1， 当y＝0时，x2﹣bx1＝0， 解得x±1， ∴点C的坐标为（1，0），D（1，0）， 若点C坐标为（m，0），则1＝m， ∴1＝m+2， ∴点D坐标为（m+2，0）， 故④正确． ⑤若抛物线y＝x2﹣bx+c经过原点，则c＝0， ∵抛物线顶点在线段AB上运动，AB∥x轴，B（1，﹣1），AB＝3， ∴A（﹣2，﹣1）， ∴抛物线顶点的纵坐标为﹣1，且横坐标在﹣2与1之间， ∴1， ∴b＝±2． ∴对称轴是：x±1， ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）， 故选项⑤错误； 本题正确的结论有：①②④； 故选：D． 29．（2025•惠山区一模）一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 【解答】解：h＝﹣5t2+20t ＝﹣5（t2﹣4t） ＝﹣5（t2﹣4t+4﹣4） ＝﹣5（t﹣2）2+20， ∵a＝﹣5＜0， ∴当t＝2时，h最大＝20， ∴物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米； 当h＝0时，﹣5t2+20t＝0， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴在4秒时返回地面， 故选：B． 30．（2025•东坡区校级模拟）小元设计了一个魔术盒，当任意实数对（m，n）进入其中时，会得到一个新的实数m2+2n﹣7，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+2×（﹣2）﹣7＝﹣2．现将实数对（a，﹣4a）放入其中，得到实数﹣23，则二次函数y＝ax2﹣8x+5的最值为（　　） A．﹣1 B．1 C．4 D．9 【解答】解：∵将实数对（a，﹣4a）放入其中，得到实数﹣23， ∴a2+2×（﹣4a）﹣7＝﹣23， 解得a＝4． ∴二次函数为y＝4x2﹣8x+5， ∵y＝4x2﹣8x+5＝4（x﹣1）2+1， ∴二次函数为y＝ax2﹣8x+5的最小值为1， 故选：B． 31．（2025•蚌埠二模）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A沿线段AC向C运动，点Q先从点A沿线段AB运动，到达点B后，再沿线段BC向C运动，点P和Q到达点C后就停止运动．当点P运动的路程为x时，点Q运动的路程为，则在运动过程中△CPQ面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由勾股定理得：， 设运动过程中△CPQ面积为y， 当，即时，在点Q在AB上运动， 如图，过点Q作DQ⊥AC于点D， ∵， ∵， ∴， ∵PC＝5﹣x， ∴， ∴当，取得最大值，最大值为， 当，即时，Q在BC上， 如图，过点Q作QR⊥AC于点R， ∵，，PC＝5﹣x， ∴， ∵对称轴为直线，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴在运动过程中△CPQ面积的最大值为， 故选：A． 32．（2025•盐湖区校级一模）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为10米的圆形喷水池，水池中心O处立着一个圆柱形实心石柱OA，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心2m处到达最大高度为1.8m，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点A处汇合，则OA要修建的高度是（　　） A．0.8米 B．1米 C．1.2米 D．1.4米 【解答】解：由题意得，抛物线顶点坐标为（2，1.8），过点C（5，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1.8，代入得： 0＝a×（5﹣2）2+1.8， 解得：a＝﹣0.2， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.2（x﹣2）2+1.8， 当x＝0时，得：y＝1， ∴点A（0，2）， ∴OA＝1， 故选：B． 第1页（共1页） 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