2025-2026学年人教版数学九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（解答题篇）

2025-2026学年数学人教版九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 8大题型归纳总结 题型1：一元二次方程的定义 题型2：一元二次方程的一般形式与解 题型3：解一元二次方程 题型4：一元二次方程的根与系数的关系 题型5：实际问题与一元二次方程 题型6：二次函数的图像与性质 题型7：二次函数与一元二次方程 题型8：实际问题与二次函数 8大题型跟踪训练 题型1：一元二次方程的定义 1．（2024秋•遵义期末）请在①x2+4、②4x、③、④﹣3x2+2四个代数式中，任选两个分别作为A、B，按要求代入下列等式组成一元二次方程，并解这个一元二次方程． （1）A﹣B＝0； （2）A＝2B． 2．（2024春•龙口市期中）已知关于x的方程（m2﹣3）x2+（m）x+2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 3．（2024秋•江城区校级月考）已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 4．（2022秋•河池期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值． 题型2：一元二次方程的一般形式与解 5．（2024春•凉州区月考）将一元二次方程（2x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝0化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 6．（2022秋•同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0． （1）求m的值； （2）求此时一元二次方程的解． 7．（2025春•相城区校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，求m的值． 8．（2025•海珠区一模）已知． （1）化简A； （2）若m是方程x（x+2）＝x+2的解，求A的值． 题型3：解一元二次方程 9．（2024秋•夏邑县期末）解方程： （1）x2+4x﹣5＝0； （2）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）＝0． 10．（2024秋•常宁市期末）解方程： （1）x（x﹣4）＝（x﹣4）； （2）x2+6x﹣7＝0． 11．（2024秋•易门县期末）用适当的方法解下列方程． （1）x（x﹣4）+x﹣4＝0； （2）x2﹣6x+3＝0． 12．（2024秋•沙市区期末）解方程： （1）； （2）3x2﹣x﹣1＝0． 题型4：一元二次方程的根与系数的关系 13．（2024秋•江海区期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 14．（2024秋•川汇区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝1． （1）若方程有两个不相等的实数根，且m＝4，求满足条件的n的范围； （2）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 15．（2025•高青县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为x1，x2，且，求m的值． 16．（2024秋•耒阳市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0的两实根． （1）求k的取值范围； （2）若x＝﹣1是方程的根，求k的值． 题型5：实际问题与一元二次方程 17．（2024秋•禹州市期末）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm，若画心的面积为15200cm2，求隔水的宽度x． 18．（2024秋•常宁市期末）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答： （1）降价后商场日销售量是　 　 件，每件商品盈利　 　 元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 19．（2025春•瑶海区校级期末）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 20．（2024秋•当阳市期末）当阳的玉泉仙人掌茶是当地著名的土特产．友谊茶叶店购进一批玉泉仙人掌茶，已知第一次购进时，每千克茶叶的进价是m元，花费了30000元．第二次购进时，每千克茶叶的进价提高了20%，用同样多的钱购进的茶叶重量比第一次少了10千克． （1）求m的值； （2）该茶叶店以每千克800元的价格销售玉泉仙人掌茶，当销售了一部分后，剩下的茶叶按照售价的八折进行销售．若两次购进的茶叶全部售完后，总利润不低于20000元，求按八折销售的茶叶最多是多少千克？ （3）由于茶叶市场热度提升，该茶叶店打算再次购进玉泉仙人掌茶，准备在第一次进价基础上加价a%标价，再打九折出售，这样每千克仍可获利100元，求a的值．（a取整数） 题型6：二次函数的图像与性质 21．（2025•连云港校级三模）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（0，﹣1），点B（6，y0）． （1）若AB∥x轴，求抛物线的对称轴； （2）点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1． ①求a的取值范围； ②若a＜0，点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，当1≤t≤2时，都有y1≥y2，求a的值． 22．（2024秋•扎鲁特旗期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，求线段PM长度的最大值． （3）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，直接写出点E的坐标． 23．（2024秋•咸安区期末）如图1，抛物线y＝x2+mx﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OB＝OC，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）M为抛物线上一点，若∠MAB＝∠ABC，求点M的坐标； （3）如图2，D（a，0）为线段OB上一动点，过点D作DE⊥x轴交抛物线于点E，第四象限的抛物线上是否存在点P，连接AP，使DE与AP互相平分，若存在求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 24．（2025•广州校级二模）数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数y＝x2﹣2mx+m（m为常数）进行研究． 【特例分析】 （1）数学兴趣小组分别取m＝1，2，3三个特殊值进行特例研究． ①确定表达式： 当m＝1时，y1＝x2﹣2x+1，当m＝2时，y2＝x2﹣4x+2，当m＝3时，y3＝　 　 ； ②画函数图象： 平面直角坐标系中已画出y1和y2的图象，请你在同一坐标系中画出y3的图象； 【性质探究】 （2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论m为何值，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由． 【性质应用】 （3）已知点A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1），若二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围． 题型7：二次函数与一元二次方程 25．（2024秋•沙市区期末）已知抛物线y＝﹣x2+（1﹣m）x+m与y轴交于点（0，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与x轴的交点坐标； （3）当x在什么范围时，y＞0？当x在什么范围时，y≤0？ 26．（2024秋•川汇区期末）二次函数y＝ax2+bx﹣5（a≠0）的部分图象如图所示，其图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C，且经过点D（3，﹣8）． （1）求此二次函数的解析式； （2）将此二次函数解析式配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标． 27．（2024秋•老河口市期末）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求A，B，C，D四个点的坐标； （2）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝m有两个不相等的负实数根，请直接写出m的取值范围． 28．（2024秋•莱山区期末）【阅读定义】 由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【理解概念】 （1）抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线是否可以围成“月牙线”？请说明理由； 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B． ①求a：b：c的值； ②已知点P（x0，m）和点Q（x0，n）在“月牙线”上，且m＞n，若m﹣n的最大值为2，求m﹣n取得最大值时AB的长． 题型8：实际问题与二次函数 29．（2024秋•川汇区期末）如图1所示是一个水桶的简易取水装置，图2是其示意图．从出水口A处喷出的水流可抽象为抛物线的一部分，点B是水流与杯子底部的接触点．水流运动的高度y（cm）与运动的水平距离x（cm）近似满足函数关系式：y＝a（x+5）2+h（a≠0）． （1）求抛物线的解析式；（不必写x的取值范围） （2）为了取水便捷舒适，要将水桶垫高，若垫高后点B离出水口的水平距离不得小于30cm，求水桶至少要垫高多少厘米？ 30．（2024秋•咸安区期末）某公司生产的商品的市场建议零售价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格＝150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与实际销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y＝﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%． （1）求该商品每件的成本为多少元？ （2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？ （说明：日销售利润＝（实际销售价格﹣成本）×日销售量） （3）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 31．（2025•栾城区校级模拟）2024年巴黎奥运会女子单人10米跳台决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C动作（如图1），为了分析这个动作我们可以建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，将她从点A（3，10）起跳后的运动路线看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． （1）下表为平时训练中完成一次207C动作，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，求y与x近似满足的二次函数解析式，并求出h的值； （2）某一次10米跳台练习中，如果y与x之间近似满足二次函数y＝﹣4x2+bx﹣35，则全红婵完成跳水动作入水时的入水点到O点的距离是多少？ 32．（2025•亳州三模）二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球P从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小球P飞行轨迹的OB段为抛物线的一部分，A为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为2m的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段BC为直线y＝﹣x+14的一部分． （1）求b的值． （2）已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为，下降阶段在竖直方向上的平均速度为，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为10m/s，那么小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时多少秒？ （3）现要在线段OC上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与BC平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出点M的横坐标m的取值范围． 2025-2026学年数学人教版九年级上册期中复习：8大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 参考答案与试题解析 1．（2024秋•遵义期末）请在①x2+4、②4x、③、④﹣3x2+2四个代数式中，任选两个分别作为A、B，按要求代入下列等式组成一元二次方程，并解这个一元二次方程． （1）A﹣B＝0； （2）A＝2B． 【解答】解：A＝x2+4，B＝4x， （1）A﹣B＝0，即x2+4﹣4x＝0， 解得x1＝x2＝2； （2）A＝2B，即x2+4＝8x， 所以x2﹣8x+4＝0， 解得x1＝4+2，x2＝4﹣2． 2．（2024春•龙口市期中）已知关于x的方程（m2﹣3）x2+（m）x+2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【解答】解：（1）∵方程是一元一次方程， 则m2﹣3＝0，且． 解得； （2）方程是一元二次方程， 则m2﹣3≠0， 解得． 3．（2024秋•江城区校级月考）已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 解得：m＝﹣1． 4．（2022秋•河池期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值． 【解答】解：由题意，得：m2﹣3m+2＝0①，m﹣1≠0②， 解①得：m＝2或1； 解②得：m≠1， ∴m＝2． 5．（2024春•凉州区月考）将一元二次方程（2x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝0化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【解答】解：由（2x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝0得﹣3x2+8x﹣1＝0， ∴二次项系数为﹣3，一次项系数为8，常数项为﹣1． 6．（2022秋•同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0． （1）求m的值； （2）求此时一元二次方程的解． 【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0 解之，得m＝2或m＝1①， 由m﹣1≠0，得：m≠1②， 由①，②得：m＝2； （2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0， 得x2+5x＝0， x（x+5）＝0 解得：x1＝0，x2＝﹣5． 7．（2025春•相城区校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，求m的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0， ∴m2﹣2m＝0且m≠0， 解得：m＝2． 故答案为：2． 8．（2025•海珠区一模）已知． （1）化简A； （2）若m是方程x（x+2）＝x+2的解，求A的值． 【解答】解：（1）A• • ； （2）解方程x（x+2）＝x+2得x1＝﹣2，x2＝1， ∵m是方程x（x+2）＝x+2的解， ∴m＝﹣2或﹣1， ∵m+1≠0且m﹣1≠0， ∴m可以取﹣2， 当m＝﹣2时，A． 9．（2024秋•夏邑县期末）解方程： （1）x2+4x﹣5＝0； （2）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）＝0． 【解答】解：（1）（x+5）（x﹣1）＝0， x+5＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣5，x2＝1； （2）x（x﹣3）+4（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x+4）＝0， x+4＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝3． 10．（2024秋•常宁市期末）解方程： （1）x（x﹣4）＝（x﹣4）； （2）x2+6x﹣7＝0． 【解答】解：（1）x﹣4＝x（x﹣4）， 即（x﹣4）（1﹣x）＝0， 解得x1＝4，x2＝1； （2）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， 解得x1＝﹣7，x2＝1． 11．（2024秋•易门县期末）用适当的方法解下列方程． （1）x（x﹣4）+x﹣4＝0； （2）x2﹣6x+3＝0． 【解答】解：（1）x（x﹣4）+x﹣4＝0， （x﹣4）（x+1）＝0， 则x﹣4＝0或x+1＝0， 所以x1＝4，x2＝﹣1； （2）x2﹣6x+3＝0， x2﹣6x+9＝﹣3+9， （x﹣3）2＝6， 则x﹣3， 所以． 12．（2024秋•沙市区期末）解方程： （1）； （2）3x2﹣x﹣1＝0． 【解答】解：（1）根据解一元二次方程中的因式分解法可得： ， 所以，x2＝0． （2）由公式法可知： Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）×3＝13＞0， ∴， ∴，． 13．（2024秋•江海区期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【解答】解：（1）将x＝1代入原方程可得1+（m+2）+2m＝0， 解得：m＝﹣1． （2）由题意可知：Δ＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0， 不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 14．（2024秋•川汇区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝1． （1）若方程有两个不相等的实数根，且m＝4，求满足条件的n的范围； （2）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 【解答】解：（1）∵x2+mx+n＝1，m＝4， ∴x2+4x+n﹣1＝0， 由题意得，Δ＝42﹣4×1×（n﹣1）＞0， 解得：n＜5； （2）由题意得，Δ＝m2﹣4×1×（n﹣1）＝0， 化简得：． 15．（2025•高青县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为x1，x2，且，求m的值． 【解答】解：（1）∵方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0， a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝﹣m， ∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m） ＝m2﹣6m+9+4m ＝m2﹣2m+9 ＝（m﹣1）2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）由两根关系得x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m， ∵， ∴， 即（m﹣3）2﹣3（﹣m）＝7， 即m2﹣3m+2＝0， 解得：m1＝2，m2＝1． 16．（2024秋•耒阳市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0的两实根． （1）求k的取值范围； （2）若x＝﹣1是方程的根，求k的值． 【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0的两实根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， ∴[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣3）≥0， 解得：k≥﹣2； （2）∵x＝﹣1是方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0的根， ∴（﹣1）2﹣2（k+1）×（﹣1）+k2﹣3＝0， 解得：k＝0或k＝﹣2． 17．（2024秋•禹州市期末）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm，若画心的面积为15200cm2，求隔水的宽度x． 【解答】解：由题意可知，隔水的宽度为x cm，则画心的长为（1000﹣2×100﹣4x）cm，宽为（40﹣2x）cm， 由题意得：（1000﹣2×100﹣4x）（40﹣2x）＝15200， 整理得：x2﹣220x+2100＝0， 解得：x1＝10，x2＝210（不符合题意，舍去）， 答：隔水的宽度x为10cm． 18．（2024秋•常宁市期末）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答： （1）降价后商场日销售量是　2x　 件，每件商品盈利　（30﹣x）　 元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 【解答】解：（1）根据题意知，每件商品降价x元，商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（30﹣x）元， 即降价后商场日销售量是2x，每件商品盈利（30﹣x）元， 故答案为：2x，（30﹣x）； （2）根据题意列一元二次方程得，（30﹣x）•（40+4x）＝1600， 整理得，x2﹣20x+100＝0， 即（x﹣10）2＝0， 解得，x1＝x2＝10， ∴每件商品降价10元时，商场日盈利可达到1600元． 19．（2025春•瑶海区校级期末）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． （1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； （2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【解答】解：（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为（68﹣45﹣m）元，月销售量为（400+20m）枚， 根据题意得：（68﹣45﹣m）（400+20m）＝8400， 整理得：m2﹣3m﹣40＝0， 解得：m1＝8，m2＝﹣5 （不符合题意，舍去）， 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 20．（2024秋•当阳市期末）当阳的玉泉仙人掌茶是当地著名的土特产．友谊茶叶店购进一批玉泉仙人掌茶，已知第一次购进时，每千克茶叶的进价是m元，花费了30000元．第二次购进时，每千克茶叶的进价提高了20%，用同样多的钱购进的茶叶重量比第一次少了10千克． （1）求m的值； （2）该茶叶店以每千克800元的价格销售玉泉仙人掌茶，当销售了一部分后，剩下的茶叶按照售价的八折进行销售．若两次购进的茶叶全部售完后，总利润不低于20000元，求按八折销售的茶叶最多是多少千克？ （3）由于茶叶市场热度提升，该茶叶店打算再次购进玉泉仙人掌茶，准备在第一次进价基础上加价a%标价，再打九折出售，这样每千克仍可获利100元，求a的值．（a取整数） 【解答】解：（1）根据题意列分式方程可得， ， 解得m＝500， 经检验，m＝500是分式方程的解，且符合题意； 答：m的值为500； （2）第一次购进茶叶（千克）， 第二次购进茶叶（千克）， 设按照售价的八折进行销售的茶叶是x千克，则按照原价销售的茶叶是（60+50﹣x）千克， 根据题意列一元一次不等式可得，800（60+50﹣x）+800×0.8x﹣30000×2≥20000， 解得x≤50， 答：按照售价的八折进行销售的茶叶最多是50千克； （3）根据题意列一元一次方程可得，500（1+a%）×0.9﹣500＝100， 整理得，4.5a＝150， 解得a≈33． 答：a的值为33． 21．（2025•连云港校级三模）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（0，﹣1），点B（6，y0）． （1）若AB∥x轴，求抛物线的对称轴； （2）点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1． ①求a的取值范围； ②若a＜0，点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，当1≤t≤2时，都有y1≥y2，求a的值． 【解答】解：（1）∵AB∥x轴， ∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线x3； （2）①∵抛物线y＝ax2+x+c经过点A（0，﹣1），点B（6，y0）， ∴c＝﹣1，对称轴为直线x， 当a＞0时，抛物线开口向上，0， ∴点A（0，﹣1），点B（6，y0）都在y轴的右侧， ∴点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1， 故a的取值范围是a＞0； 当a＜0时，抛物线开口向下，0， ∵点C（m，n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥﹣1， ∴x＝6时，y≥﹣1， ∴36a+6﹣1≥﹣1，解得a， ∴a的取值范围是a＜0， 故a的取值范围是a＜0或a＞0； ②若a＜0，则抛物线开口向下， ∵点D（t，y1），E（3t+2，y2）在抛物线上，y1≥y2， ∴， 解得t， ∵1≤t≤2， ∴1， 解得a， 经检验a是原方程的解， ∴a的值是． 22．（2024秋•扎鲁特旗期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，求线段PM长度的最大值． （3）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，直接写出点E的坐标． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，﹣3），将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点， 当y＝0时，得：x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x＝3或﹣1， ∴B（3，0）； 设BC的解析式为y＝kx+t，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴BC的解析式为y＝x﹣3， 设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3）， ∴， 当时，PM有最大值为； （3）点E的坐标是或（6，0）．理由如下： 如图，连接BD，CE′，CE′交BD于点T． y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点D（1，﹣4）， 设BD所在直线的解析式为y＝k（x﹣3），将点D的坐标代入得： ﹣2k＝﹣4， 解得：k＝2， 故BD所在直线的解析式为y＝2x﹣6， ∵∠ECB＝∠CBD， ∴CE∥BD， 设CE所在直线的解析式为y＝2x+p，将C点坐标代入得：p＝﹣3， 故CE所在直线的解析式为y＝2x﹣3， 当y＝0时，得：2x﹣3＝0， 解得：， 即点E的坐标为； 当点E在点B的右侧时， ∵B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）， ∴CB2＝32+32＝18，CD2＝12+（4﹣3）2＝2，BD2＝（3﹣1）2+42＝20， ∴CB2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，BD是斜边， ∵∠ECB＝∠CBD， ∴∠TCD＝∠TDC， ∴CT＝BT＝DT， ∴T为BD的中点， ∴CE′经过BD的中点T（2，﹣2）， ∴直线CT的解析式为， ∴点E′的坐标是（6，0）． ∴综上所述，点E的坐标是或（6，0）． 23．（2024秋•咸安区期末）如图1，抛物线y＝x2+mx﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OB＝OC，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）M为抛物线上一点，若∠MAB＝∠ABC，求点M的坐标； （3）如图2，D（a，0）为线段OB上一动点，过点D作DE⊥x轴交抛物线于点E，第四象限的抛物线上是否存在点P，连接AP，使DE与AP互相平分，若存在求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2+mx﹣3与y轴负半轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， ∵OB＝OC， ∴OB＝OC＝3， ∴点B的坐标为（3，0）， 当y＝0时，得：x2+mx﹣3＝0，x＝3是该方程的根， ∴32+3m﹣3＝0， 得m＝﹣2， 故抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）设M点坐标为（t，t2﹣2t﹣3）， 如图，若点M在x轴上方，作MN⊥x轴于点N， 由（1）知：∠MAN＝∠ABC＝45°， ∴AN＝MN， t2﹣2t﹣3＝t+1，即t2﹣3t﹣4＝0， 解得：t＝4或﹣1（不合题意，舍去）， 此时M点坐标为（4，5）， 若点M在x轴下方， 同理得：﹣（t2﹣2t﹣3）＝t+1，即t2﹣t﹣2＝0， 解得：t＝2或﹣1（不合题意，舍去）， 此时M点坐标为（2，﹣3）； 综上所述，点M的坐标为（4，5）或（2，﹣3）； （3）第四象限的抛物线上存在点P，连接AP，使DE与AP互相平分；理由如下： 设存在点P（n，n2﹣2n﹣3）． 当四边形ADPE是平行四边形时，DE与AP互相平分， ∴PE∥AD且PE＝AD， ∵D（a，0）且DE⊥x轴交抛物线于点E，则E（a，a2﹣2a﹣3）， 故点P与点E是一对对称点， ∴①， 又∵PE＝AD， ∴n﹣a＝a+1，即n＝2a+1②， 联立①②得：， 解得：， 将代入y＝x2﹣2x﹣3中得：， ∴点P的坐标为． 24．（2025•广州校级二模）数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数y＝x2﹣2mx+m（m为常数）进行研究． 【特例分析】 （1）数学兴趣小组分别取m＝1，2，3三个特殊值进行特例研究． ①确定表达式： 当m＝1时，y1＝x2﹣2x+1，当m＝2时，y2＝x2﹣4x+2，当m＝3时，y3＝　x2﹣6x+3　 ； ②画函数图象： 平面直角坐标系中已画出y1和y2的图象，请你在同一坐标系中画出y3的图象； 【性质探究】 （2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论m为何值，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由． 【性质应用】 （3）已知点A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1），若二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围． 【解答】（1）解：①把m＝3代入得y3＝x2﹣6x+3， 故答案为：x2﹣6x+3； ②∵y3＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6， 故顶点坐标为（3，﹣6），与y轴交于点（0，3）， 当x＝2或4时，y＝﹣5， 画出图象如图所示： （2）证明：猜想正确，理由如下： ∵y＝x2﹣2mx+m＝x2﹣m（2x﹣1）， ∴令2x﹣1＝0，得x，此时y， 故二次函数y＝x2﹣2mx+m图象经过点． （3）解：∵点A（﹣2，﹣5），B（2，﹣1）， 故由待定系数法可知直线AB的解析式为y＝x﹣3． 当m＞0时，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点， 则必须满足当x＝2时，函数值y≤﹣1， 即4﹣4m+m≤﹣1，可解得m； 当m＜0时，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点， 则必须满足当x＝﹣2时，函数值y＜﹣5，且当x＝2时，函数值y≥﹣1， 即，解得m； 当y＝x﹣3与y＝x2﹣2mx+m相切时，二次函数y＝x2﹣2mx+m图象与线段AB有且只有一个交点， 联立x﹣3＝x2﹣2mx+m，整理得x2﹣（2m+1）x+m+3＝0， 令Δ＝0，即（2m+1）2﹣4（m+3）＝0，解得m（舍去正根）， 故m， 综上，m的取值范围为m或m或m． 25．（2024秋•沙市区期末）已知抛物线y＝﹣x2+（1﹣m）x+m与y轴交于点（0，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与x轴的交点坐标； （3）当x在什么范围时，y＞0？当x在什么范围时，y≤0？ 【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，4）， ∴m＝4， ∴y＝﹣x2﹣3x+4； （2）令y＝0，由﹣x2﹣3x+4＝0解得x1＝1，x2＝﹣4， ∴交点坐标为（﹣4，0）和（1，0）； （3）由y＝﹣x2﹣3x+4得a＝﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下，与x轴的交点坐标为（﹣4，0）和（1，0）， ∴当﹣4＜x＜1时，y＞0；当x≤﹣4或x≥1时，y≤0． 26．（2024秋•川汇区期末）二次函数y＝ax2+bx﹣5（a≠0）的部分图象如图所示，其图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C，且经过点D（3，﹣8）． （1）求此二次函数的解析式； （2）将此二次函数解析式配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣5（a≠0）图象与x轴交于点A（﹣1，0），且经过点D（3，﹣8）， ∴， 解得：， ∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5； （2）y＝x2﹣4x﹣5＝x2﹣4x+4﹣4﹣5＝（x﹣2）2﹣9， 二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣9， ∴顶点坐标为（2，﹣9），对称轴为x＝2， 设另一点坐标为B（a，0）， 则﹣1+a＝2×2， 解得a＝5， ∴点B的坐标是B（5，0）． 27．（2024秋•老河口市期末）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求A，B，C，D四个点的坐标； （2）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝m有两个不相等的负实数根，请直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（1，0），A（﹣3，0）， 当x＝0时，y＝02+2×0﹣3＝﹣3， 所以C（0，﹣3）， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴顶点D（﹣1，﹣4）； ∴综上，A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）； （2）关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝m有两个不相等的负实数根，即抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点过点D（﹣1，﹣4）和点C（0，﹣3）之间， 由图可知，当﹣4＜m＜﹣3时，关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝m有两个不相等的负实数根． 28．（2024秋•莱山区期末）【阅读定义】 由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【理解概念】 （1）抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线是否可以围成“月牙线”？请说明理由； 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B． ①求a：b：c的值； ②已知点P（x0，m）和点Q（x0，n）在“月牙线”上，且m＞n，若m﹣n的最大值为2，求m﹣n取得最大值时AB的长． 【解答】解：（1）抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”； 理由如下：在y1＝2（x﹣1）（x﹣2）中，令y＝0得x＝1或x＝2， ∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点为（1，0）和（2，0）； 在中，令y＝0得x＝1或x＝2， ∴抛物线与x轴交点为（1，0）和（2，0）， ∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线与x轴有相同的交点， 又抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2与抛物线开口方向相同， ∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”； （2）①在中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1， ∴抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0）， 把（3，0）和（﹣1，0）代入得：， ∴， ∴a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）． ∴a：b：c的值为1：（﹣2）：（﹣3）． ②由①知，， ∴抛物线的顶点为（1，﹣4a）， ∵抛物线的顶点为（1，﹣2），， ∴﹣4a＜﹣2， ∴抛物线在抛物线上方． ∴，n＝a2ax0﹣3a， ∴． ∵m﹣n的最大值为2， ∴． ∴2a2﹣3a+1＝0． ∴a或a＝1． ∵， ∴a＝1． 在中，令x＝0得， ∴A． 在中，令x＝0 得y＝﹣3a， ∴B（0，﹣3a）． ∴． 29．（2024秋•川汇区期末）如图1所示是一个水桶的简易取水装置，图2是其示意图．从出水口A处喷出的水流可抽象为抛物线的一部分，点B是水流与杯子底部的接触点．水流运动的高度y（cm）与运动的水平距离x（cm）近似满足函数关系式：y＝a（x+5）2+h（a≠0）． （1）求抛物线的解析式；（不必写x的取值范围） （2）为了取水便捷舒适，要将水桶垫高，若垫高后点B离出水口的水平距离不得小于30cm，求水桶至少要垫高多少厘米？ 【解答】解：（1）由已知，把点（0，35）、（25，0）代入y＝a（x+5）2+h（a≠0）， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）设垫高dcm，则垫高后的函数解析式为， 把（30，0）代入，得， 解得d＝13， ∴为了取水便捷舒适，取水装置至少要垫高13cm． 30．（2024秋•咸安区期末）某公司生产的商品的市场建议零售价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格＝150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与实际销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y＝﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%． （1）求该商品每件的成本为多少元？ （2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？ （说明：日销售利润＝（实际销售价格﹣成本）×日销售量） （3）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）该成本为a元 150（1﹣12%）﹣a＝10%a， a＝120， 即：每件商品的成本为120元； （2）[150（1+x%）﹣120]（﹣2x+24）＝660， x2+8x﹣20＝0， x＝2或﹣10， 当x＝2时，150（1+x%）＝153， 当x＝﹣10时，150（1+x%）＝135， 答：价格定为153元或135元时，利润为660元； （3）设日销售利润为P元， P＝[150（1+x%）﹣120]（﹣2x+24）＝﹣3（x+4）2+768， 当x＝﹣4时，P最大，最大值为768，此时150（1+x%）＝144， 即当实际销售价格定为144元时，日销售利润最大，为768元． 31．（2025•栾城区校级模拟）2024年巴黎奥运会女子单人10米跳台决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C动作（如图1），为了分析这个动作我们可以建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，将她从点A（3，10）起跳后的运动路线看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． （1）下表为平时训练中完成一次207C动作，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，求y与x近似满足的二次函数解析式，并求出h的值； （2）某一次10米跳台练习中，如果y与x之间近似满足二次函数y＝﹣4x2+bx﹣35，则全红婵完成跳水动作入水时的入水点到O点的距离是多少？ 【解答】（1）解：根据表格得，函数图象过点（3，10），（4，10）， ∴二次函数的对称轴为直线． 设二次函数的解析式为y＝a（x﹣3.5）2+k， 将点（3，10），（4.5，6.25）代入y＝a（x﹣3.5）2+k， 得， 解得， ∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25． 将y＝11.25代入y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 可得h＝3.5． （2）∵y与x之间近似满足二次函数y＝﹣4x2+bx﹣35， ∴将A（3，10）代入，可得10＝﹣4×32+3b﹣35． 解得b＝27． ∴y与x之间近似满足二次函数y＝﹣4x2+27x﹣35． 当y＝0时，0＝﹣4x2+27x﹣35， 解得x1＝5，（舍）． 答：全红婵完成跳水动作入水时的入水点到O点的距离是5m． 32．（2025•亳州三模）二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某数学兴趣小组受到启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型．如图，小球P从点O处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系．已知小球P飞行轨迹的OB段为抛物线的一部分，A为小球P飞行轨迹的最高点．小球P在距离地面高度为2m的点B处开始加速冲击目标C，冲击目标阶段BC为直线y＝﹣x+14的一部分． （1）求b的值． （2）已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为，下降阶段在竖直方向上的平均速度为，冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为10m/s，那么小球P从点O发射开始，到击中目标C这一过程中，一共用时多少秒？ （3）现要在线段OC上的点M处设置一个拦截装置，发射小球Q来拦截小球P，小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与BC平行．若要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截，求出点M的横坐标m的取值范围． 【解答】解：（1）由题知， 点B纵坐标为2， 将y＝2代入y＝﹣x+14＝2得，x＝12， 所以点B的坐标为（12，2）， 将B（12，2）代入得， ， 解得； （2）由（1）知， 抛物线的解析式为， 所以顶点A的坐标为（）， 则小球P上升阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为， 下降阶段在竖直方向上运动的路程为，时间为， 冲击目标阶段在竖直方向上运动的路程为2，时间为， 所以（秒）， 即一共用时2.2秒； （3）因为小球Q的拦截轨迹为直线的一部分，且与BC平行， 则令M（m，0），0≤m≤14， 所以直线QM解析式为y＝﹣x+m， 将点代入y＝﹣x+m得， ， 解得， 将点B（12，2）代入y＝﹣x+m得， 2＝﹣12+m， 解得m＝14， 因为要在小球P下降阶段（不包含点A）拦截， 所以． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $