2025-2026学年人教版数学八年级上册期中复习：7大题型汇总与跟踪训练（解答题篇）

2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册期中复习：7大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 7大题型归纳总结 题型1：三角形的边 题型2：三角形的中线、角平分线、高 题型3：三角形的内角 题型4：三角形的外角 题型5：全等三角形及其性质 题型6：三角形全等的判定题型 题型7：角的平分线 7大题型跟踪训练 题型1：三角形的边 1．（2025春•玉田县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边．若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 2．（2025春•绿园区校级月考）如图，O是△ABC内一点，连结OB和OC． （1）试说明：OB+OC＜AB+AC； （2）若AB＝7，AC＝6，BC＝8，求OB+OC的取值范围． 3．（2025春•榕城区校级月考）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c|； （2）若a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状． 4．（2025春•伊川县期末）已知a，b，c分别为△ABC的三条边，且满足a+b＝2c﹣3，a﹣b＝2c﹣6，a＞b． （1）求c的取值范围． （2）若△ABC的周长为12，求c的值． 题型2：三角形的中线、角平分线、高 5．（2025春•乾县校级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长是23cm，△ABD的周长是18cm，AC比AB长多少厘米？ 6．（2025春•原阳县校级期末）如图，D是△ABC中边AB上的一点，连接CD，． （1）CD是△ABC的 　 　 ；（填“高线”“中线”或“角平分线”） （2）若∠ACB＝90°，∠A＝65°，求∠BDC的度数． 7．（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 8．（2024秋•吉首市校级期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长． 题型3：三角形的内角 9．（2024秋•汝南县期末）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数． 10．（2024秋•罗山县期末）如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数． 11．（2025春•惠山区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝20°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∠ADC＝100°． （1）求证：AB∥DE． （2）若AE恰好平分∠BAD，求∠E的度数． 12．（2025春•项城市期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝36°，∠BAC＝68°． （1）求∠DAC的度数． （2）若CE是∠BCA的平分线，求∠AEC的度数． 题型4：三角形的外角 13．（2024秋•西乡县期末）如图是某工厂生产的一种零件，按规定∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠BDC＝148°，就判定这个零件不合格，请你运用三角形的相关知识判断零件是否合格，并说明理由． 14．（2024秋•石首市期末）如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC＝47°，∠ACB＝82°，求∠FDB的度数． 15．（2025春•项城市期末）如图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯时的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯AB和折臂的底座CD都与地面MN垂直，同时上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝75°，下折臂DE与底座CD的夹角∠CDE＝125°，求上折臂AE与路灯AB的夹角∠BAE的度数． 16．（2025春•威远县校级期末）（1）如图1，△ABC中，∠ABC与∠ACB的三等分线分别交于点D、E，若∠A＝45°，求∠D与∠E的度数． （2）如图2，△ABC中，∠ABC的三等分线与∠ACB的外角的三等分线分别交于点D、E，猜想∠D与∠A，∠E与∠A的数量关系，并选择其中一个说明理由． （3）如图3，在△ABC中，∠ABC的外角的三等分线与∠ACB的外角的三等分线分别交于点D、E，请直接写出∠D与∠A，∠E与∠A的数量关系． 题型5：全等三角形及其性质 17．（2024秋•上高县期末）如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD＝35°，求∠A的度数． 18．（2025春•高平市期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，连接CE交AD于点F，△ABD≌△CFD． （1）若BD＝4，AD＝12，求△ABC的面积； （2）试判断AB与CF之间的位置关系，并说明理由． 19．（2025春•南关区期末）如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 20．（2025春•太康县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 题型6：三角形全等的判定题型 21．（2024秋•云梦县期末）如图，ED∥AC，ED＝BC，BD＝AC，求证：△BED≌△ABC． 22．（2024秋•大洼区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，C，E，F在同一条直线上．已知AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）若BE＝6，EC＝5，求BF的长． 23．（2025•开福区校级一模）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，BF＝AC． （1）求证：△ADC≌△BDF； （2）若DF＝2，AF＝3，求BC的长 24．（2024秋•新野县期末）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝CE，AE与BD相交于点F，AC与BD相交于点O． （1）求证：AE＝BD； （2）求∠BFE的度数． 题型7：角的平分线 25．（2024秋•获嘉县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB． （1）用无刻度的直尺和圆规作∠BAC的平分线，交CD于点E，交BC于点F． （2）在（1）的条件下，求∠DEF的度数． 26．（2024秋•西平县期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D． （1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点E，交CD于点F；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：∠CFE＝∠CEF． 27．（2025春•南阳期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠ACB＝56°． （1）如图1，BE⊥AC，请利用尺规作图作出∠ACB的角平分线，交AB于点D，交BE于点F；并求出∠DFB的度数； （2）如图2，若CD是∠ACB的角平分线，BE⊥CD，∠A＝50°，求∠ABE的度数． 28．（2025•开福区校级二模）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N；（2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；（3）画射线BP，交AC于点D． （1）连接MP、NP，通过证明△BMP≌△BNP，得到∠ABD＝∠CBD，从而得到BD是∠ABC的平分线，其中证明△BMP≌△BNP的依据是 　 　 （填序号）．①SAS；②ASA；③AAS；④SSS． （2）若AB＝16，BC＝14，S△ABC＝75，过点D作DE⊥AB于E，求DE的长． 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册期中复习：7大题型汇总与跟踪训练（解答题篇） 参考答案与试题解析 1．（2025春•玉田县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边．若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 【解答】解：由题意得， 解得， 根据三角形的三边关系得5﹣2＜c＜2+5，即3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，三角形的三边为2，5，4，2+4＞5，能够成三角形； 当c＝6时，三角形的三边为2，5，6，2+5＞6，能够成三角形， ∴这个三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13． 2．（2025春•绿园区校级月考）如图，O是△ABC内一点，连结OB和OC． （1）试说明：OB+OC＜AB+AC； （2）若AB＝7，AC＝6，BC＝8，求OB+OC的取值范围． 【解答】（1）证明：延长BO交AC于D， 由三角形三边关系定理得：OB+OD＜AB+AD，OC＜OD+DC， ∴OB+OC+OD＜AB+AD+OD+DC， ∴OB+OC＜AB+AC； （2）由三角形三边关系定理得：OB+OC＞BC， 由（1）知OB+OC＜AB+AC， ∴BC＜OB+OC＜AB+AC， ∵AB＝7，AC＝6，BC＝8， ∴8＜OB+OC＜13． 3．（2025春•榕城区校级月考）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c|； （2）若a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状． 【解答】解：（1）∵a，b，c△ABC三边长， ∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，﹣a﹣b+c＜0 ∴|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c| ＝a+b+c﹣（a+b﹣c）﹣（a﹣b﹣c）+（﹣a﹣b+c）． ＝﹣2a+4c； （2）∵|b﹣c|+（a﹣c）2＝0且|b﹣c|≥0，（a﹣c）2≥0， ∴b﹣c＝0且a﹣c＝0 ∴b＝c且a＝c，即a＝b＝c ∴△ABC等边三角形． 4．（2025春•伊川县期末）已知a，b，c分别为△ABC的三条边，且满足a+b＝2c﹣3，a﹣b＝2c﹣6，a＞b． （1）求c的取值范围． （2）若△ABC的周长为12，求c的值． 【解答】解：（1）由题意有，a﹣b＜c＜a+b， ∴2c﹣6＜c＜2c﹣3， ∴3＜c＜6， 又∵a＞b， ∴a﹣b＝2c﹣6＞0， ∴c＞3，而2＜c＜6， ∴c的取值范围为：3＜c＜6； （2）∵△ABC周长为12， ∴， ∴c． 5．（2025春•乾县校级期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长是23cm，△ABD的周长是18cm，AC比AB长多少厘米？ 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴△ADC的周长﹣△ABD的周长＝（AD+DC+AC）﹣（AB+BD+AD）＝AC﹣AB＝23﹣18＝5（cm）， ∴AC比AB长5cm． 6．（2025春•原阳县校级期末）如图，D是△ABC中边AB上的一点，连接CD，． （1）CD是△ABC的 　角平分线　 ；（填“高线”“中线”或“角平分线”） （2）若∠ACB＝90°，∠A＝65°，求∠BDC的度数． 【解答】解：（1）∵∠ACD∠ACB， ∴CD是△ABC的角平分线， 故答案为：角平分线． （2）∵∠ACD∠ACB，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝45°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝45°+65°＝110°． 7．（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°， ∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°； （2）∵AD是△ABE的中线， ∴BD＝DE， ∵CE＝3cm， ∴CD﹣DE＝CD﹣BD＝3cm， ∵△ABD的周长比△ADC周长小5cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝5cm， ∴AC+CD+AD﹣AB﹣BD﹣AD＝5cm， ∴AC﹣AB＝2cm， ∴AC＝4cm． 8．（2024秋•吉首市校级期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长． 【解答】解：由题意知AC+CD+BD+AB＝100，AC+CD＝60，AB+BD＝40， ∵AC＝2BC，D为BC中点， ∴AC＝2BC＝4CD＝4BD， ∴， 即， 则BC＝24，CD＝BD＝12， 则AB＝40﹣BD＝40﹣12＝28． 且48＞28符合题意． 9．（2024秋•汝南县期末）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数． 【解答】解：∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°， ∴∠ACD＝25°+31°＝56°． ∵AD⊥BD， ∴∠D＝90°， ∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACD＝28°， ∴∠AEC＝∠ECD+∠D＝28°+90°＝118°． 10．（2024秋•罗山县期末）如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数． 【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（50°+80°）＝50°． ∵BE和CD是△ABC的两条高线， ∴∠AEB＝∠BDO＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BOC＝∠ABE+∠BDO＝40°+90°＝130°． 11．（2025春•惠山区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝20°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∠ADC＝100°． （1）求证：AB∥DE． （2）若AE恰好平分∠BAD，求∠E的度数． 【解答】证明（1）∵∠ADC+∠ADB＝180°，∠ADC＝100°， ∴∠ADB＝180°﹣100°＝80°， 由折叠可知：∠ADC＝∠ADE＝100°， ∵∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝100°， ∴∠BDE＝100°﹣80°＝20°， ∵∠B＝20°， ∴∠B＝∠BDE， ∴AB∥DE； 解：（2）∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝100°，∠B＝20°， ∴∠BAD＝100°﹣20°＝80°， ∵AE恰好平分∠BAD， ∴， ∵AB∥DE， ∴∠E＝∠BAE＝40°． 12．（2025春•项城市期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝36°，∠BAC＝68°． （1）求∠DAC的度数． （2）若CE是∠BCA的平分线，求∠AEC的度数． 【解答】（1）解：∵在△ABC中，∠B＝36°，∠BAC＝68°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣36°﹣68°＝76°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣76°＝14°； （2）∵若CE是∠BCA的平分线，∠ACB＝76°， ∴， ∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACE＝180°﹣68°﹣38°＝74°． 13．（2024秋•西乡县期末）如图是某工厂生产的一种零件，按规定∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠BDC＝148°，就判定这个零件不合格，请你运用三角形的相关知识判断零件是否合格，并说明理由． 【解答】解：零件不合格， 理由：连接AD并延长， ∵∠CDE是△ACD的一个外角， ∴∠CDE＝∠C+∠CAD， ∵∠BDE是△ACD的一个外角， ∴∠BDE＝∠B+∠BAD， ∴∠BDC＝∠CDE+∠BDE＝∠C+∠CAD+∠B+∠BAD＝∠BAC+∠B+∠C， ∵∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°， ∴∠BDC＝90°+32°+21°＝143°， ∵检验工人量得∠BDC＝148°， ∴判定这个零件不合格． 14．（2024秋•石首市期末）如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC＝47°，∠ACB＝82°，求∠FDB的度数． 【解答】解：∵BE和CF是△ABC的两条高， ∴∠BFC＝90°，∠BEC＝90°， 在△BFC和△BEC中，∠CBE＝180°﹣∠BEC﹣∠ACB＝8°，∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠ABC＝43°， ∴∠FDB＝∠CBE+∠BCF＝51°． 15．（2025春•项城市期末）如图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯时的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯AB和折臂的底座CD都与地面MN垂直，同时上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED＝75°，下折臂DE与底座CD的夹角∠CDE＝125°，求上折臂AE与路灯AB的夹角∠BAE的度数． 【解答】解：延长CD交AE于F， ∵∠AED＝75°，∠CDE＝125°， ∴∠EFD＝∠CDE﹣∠AED＝50°， ∵DC⊥MN，AB⊥MN， ∴CE∥AB， ∴∠BAE＝∠EFD＝50°． 16．（2025春•威远县校级期末）（1）如图1，△ABC中，∠ABC与∠ACB的三等分线分别交于点D、E，若∠A＝45°，求∠D与∠E的度数． （2）如图2，△ABC中，∠ABC的三等分线与∠ACB的外角的三等分线分别交于点D、E，猜想∠D与∠A，∠E与∠A的数量关系，并选择其中一个说明理由． （3）如图3，在△ABC中，∠ABC的外角的三等分线与∠ACB的外角的三等分线分别交于点D、E，请直接写出∠D与∠A，∠E与∠A的数量关系． 【解答】解：（1）设∠ABC＝3α，∠ACB＝3β， 由题意得：3α+3β+45°＝180°， ∴α+β＝45°； ∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D，E， ∴∠DBC+∠DCB＝2（α+β）＝90°， ∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°； ∠BEC＝180°﹣（α+β）＝135°； （2）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D∠A，∠E∠A． 理由如下： ∵BE三等分∠ABC，CE三等分外角∠ACM， ∴∠EBC∠ABC，∠ECM∠ACM， ∵∠E＝∠ECM﹣∠EBC（∠ACM﹣∠ABC）∠A． 答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D∠A，∠E∠A． （3）∠D＝120°∠A，∠E＝60°∠A． 理由如下：∵BE、BD三等分外角∠FBC，CE、CD三等分外角∠GCB， ∴∠CBE∠CBF，∠BCE∠BCG，∠CBD∠CBF，∠BCD∠BCG， ∴∠D＝180°（∠CBF+∠BCG） ＝180°（360°﹣∠ABC﹣∠ACB） ＝180°﹣120°（180°﹣∠A） ＝120°∠A； ∠E＝180°（∠CBF+∠BCG） ＝180°（360°﹣∠ABC﹣∠ACB） ＝180°﹣240°（180°﹣∠A） ＝60°∠A． 答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝120°∠A，∠E＝60°∠A． 17．（2024秋•上高县期末）如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD＝35°，求∠A的度数． 【解答】解：由全等三角形的性质可得，OB＝OD，∠ABO＝∠D， ∴， ∴∠ABC＝180°﹣72.5°×2＝35°， ∵AO∥CD， ∴∠A＝∠ABC＝35°． 18．（2025春•高平市期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，连接CE交AD于点F，△ABD≌△CFD． （1）若BD＝4，AD＝12，求△ABC的面积； （2）试判断AB与CF之间的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵△ABD≌△CFD，AD＝12， ∴AD＝CD＝12， 又∵BD＝4， ∴BC＝BD+CD＝16． ∴； （2）AB⊥CF． 理由：∵AD⊥BC于点D，点E在AB边上，连接CE交AD于点F， ∴∠CDF＝90°， ∴∠BAD+∠B＝90°， ∵△ABD≌△CFD， ∴∠BAD＝∠DCF， ∴∠FCD+∠B＝90°． ∴∠BEC＝180°﹣（∠FCD+∠B）＝90°． ∴AB⊥CF． 19．（2025春•南关区期末）如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DAE， ∴∠D＝∠CAB， ∴AB∥DE； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝ED＝3，AB＝AD， ∵AD＝AC+CD＝4+3＝7， ∴AB＝7． 20．（2025春•太康县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠ACB，DE＝AB＝8， ∴DH＝DE﹣EH＝8﹣2＝6， ∵∠A＝85°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°， ∴∠F＝∠ACB＝35°； （2）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴AB∥DE． 21．（2024秋•云梦县期末）如图，ED∥AC，ED＝BC，BD＝AC，求证：△BED≌△ABC． 【解答】证明：∵ED∥AC，ED＝BC，BD＝AC， ∴∠EDB＝∠ACB， ∵ED＝BC，BD＝AC， 在△BED和△ABC中， ， ∴△BED≌△ABC（SAS）． 22．（2024秋•大洼区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，C，E，F在同一条直线上．已知AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DEF． （2）若BE＝6，EC＝5，求BF的长． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE，点B，C，E，F在同一条直线上， ∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△DEF，且BE＝6，EC＝5， ∴BC＝EF， ∴BC﹣EC＝EF﹣EC， ∴BE＝CF， ∴BE＝CF＝6， ∴BF＝BE+EC+CF＝6+5+6＝17． 23．（2025•开福区校级一模）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，BF＝AC． （1）求证：△ADC≌△BDF； （2）若DF＝2，AF＝3，求BC的长 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠BDF＝∠ADC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CAD+∠ACD＝∠ACD+∠DBF＝90°， ∴∠CAD＝∠DBF， 在△ADC和△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（AAS）； （2）解：∵DF＝2，AF＝3， ∴AD＝AF+DF＝3+2＝5， ∵△ADC≌△BDF， ∴BD＝AD＝5，CD＝DF＝2， ∴BC＝BD+DC＝5+2＝7． 24．（2024秋•新野县期末）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝CE，AE与BD相交于点F，AC与BD相交于点O． （1）求证：AE＝BD； （2）求∠BFE的度数． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD； （2）解：由（1）知△BCD≌△ACE， ∴∠A＝∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BOC＝90°， ∵∠BOC＝∠AOF， ∴∠B+∠AOF＝90°， ∴∠A+∠AOF＝90°， ∵∠BFE是△AOF的外角， ∴∠BFE＝∠A+∠AOF＝90°． 25．（2024秋•获嘉县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB． （1）用无刻度的直尺和圆规作∠BAC的平分线，交CD于点E，交BC于点F． （2）在（1）的条件下，求∠DEF的度数． 【解答】解：（1）根据尺规作角平分线的步骤作图，如图，射线AF即为所求作． （2）在 Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵CD平分∠ACB， ∴． 由（1）可知AF平分∠BAC， ∴， ∴∠AEC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAF＝105°， ∴∠DEF＝∠AEC＝105°． 26．（2024秋•西平县期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D． （1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于点E，交CD于点F；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：∠CFE＝∠CEF． 【解答】（1）解：根据角平分线的作法作图，BE即为所求； （2）证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DBF+∠BFD＝90°， ∵∠CFE＝∠BFD， ∴∠DBF+∠CFE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBF+∠CEF＝90°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠CBF＝∠DBF， ∴∠CFE＝∠CEF． 27．（2025春•南阳期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠ACB＝56°． （1）如图1，BE⊥AC，请利用尺规作图作出∠ACB的角平分线，交AB于点D，交BE于点F；并求出∠DFB的度数； （2）如图2，若CD是∠ACB的角平分线，BE⊥CD，∠A＝50°，求∠ABE的度数． 【解答】解：（1） ∵ACB＝56°，AD平分∠ACB， ∴， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CFE＝90°﹣28°＝62°＝∠DFB； （2）由（1）知∠ACD＝28°， ∵∠A＝50°， ∴∠CDA＝180°﹣50°﹣28°＝102°， 又∵BE⊥CD， ∴∠BFD＝90°， ∴∠ABE＝102°﹣90°＝12°． 28．（2025•开福区校级二模）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N；（2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；（3）画射线BP，交AC于点D． （1）连接MP、NP，通过证明△BMP≌△BNP，得到∠ABD＝∠CBD，从而得到BD是∠ABC的平分线，其中证明△BMP≌△BNP的依据是 　④　 （填序号）．①SAS；②ASA；③AAS；④SSS． （2）若AB＝16，BC＝14，S△ABC＝75，过点D作DE⊥AB于E，求DE的长． 【解答】解：（1）在△MBP和△NBP中， ， ∴△MBP≌△NBP（SSS）， ∴∠ABD＝∠CBD， 故答案为：④； （2）过点D作DF⊥BC于F， ∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD•AB•DE•BC•DF•DE•（AB+BC）． 即75•DE•（16+14），． ∴DE＝5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $