第一章空间向量与立体几何6大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何6大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 6大考点汇总 考点一：空间向量及其线性运算 考点二：空间向量的投影向量 考点三：空间向量基本定理 考点四：空间向量及其运算的坐标表示 考点五：用空间向量研究直线、平面的位置关系 考点六：用空间向量研究距离、夹角问题 跟踪训练 考点一：空间向量及其线性运算 1．（2024秋•自贡校级期末）在四面体O﹣ABC中，空间的一点M满足，若M、A、B、C四点共面，则λ＝（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•安阳期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•呼和浩特期末）在四面体O﹣ABC中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，若，则x+y+z的值为（　　） A． B．1 C． D． 4．（2025春•天水校级期中）在三棱锥A﹣BCD中，M为AC的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 考点二：空间向量的投影向量 5．（2024秋•成都期末）已知空间向量（1，﹣1，2），（1，﹣2，1），则向量在向量上的投影向量是（　　） A． B．（1，﹣1，1） C． D． 6．（2024秋•龙马潭区校级期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 7．（2024秋•邛崃市校级期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•湖北月考）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（　　） A．（1，﹣1，1） B． C． D． 考点三：空间向量基本定理 9．（2024秋•宝山区校级期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则　 　 ． 10．（2025春•浦东新区校级期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1D1，BB1的中点，记，，，则等于 　 　 （用，，表示）． 11．（2025春•城厢区校级期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若，则x+y+z＝ 　 　 ． 12．（2025春•甘肃期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，则x+y+z＝　 　 ． 考点四：空间向量及其运算的坐标表示 13．（2025•山东校级开学）已知． （1）求向量的坐标； （2）若，求k的值． 14．（2025春•栖霞区校级期中）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）． （1）若∥，求； （2）若⊥，求cos，的值． 15．（2024秋•滨海新区校级月考）（1）已知向量，． ①计算；②求． （2）已知向量，． ①若∥，求实数k； ②若，求实数k． 16．（2024秋•兴义市校级月考）已知向量，，其中，，． （1）求；． （2）求与的夹角θ的余弦值． 考点五：用空间向量研究直线、平面的位置关系 17．（2024秋•渭南校级期末）已知点A（﹣2，0，2）、B（﹣1，1，2）、C（﹣3，0，4），，． （1）若||＝3，且∥，求； （2）求cos，； （3）若k与k2垂直，求k． 18．（2024秋•景德镇期末）已知． （1）求向量的坐标； （2）设向量∥，求； （3）若，求k的值． 19．（2024秋•柳州期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． （Ⅰ）证明：D1E⊥A1D； （Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值； （Ⅲ）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为． 20．（2024秋•惠城区校级月考）已知空间中三点A（2，﹣1，1），B（1，1，0），C（4，﹣3，3）．设，． （1）求； （2）若与互相垂直，求实数k的值． 考点六：用空间向量研究距离、夹角问题 21．（2025•四川开学）如图，在四棱锥B﹣APCQ中，△ABC与△APC均为等边三角形，平面ABC⊥平面APCQ，点P与点Q在平面ABC的异侧，AQ＝CQ． （1）证明：PQ⊥平面ABC； （2）若A，P，C，Q四点共圆，求平面PAB与平面QBC夹角的余弦值． 22．（2025•腾冲市校级开学）在平行六面体ABCD﹣EFGH中，AC＝AE＝4，，AB＝3，AD＝5． （1）证明：； （2）当平行六面体ABCD﹣EFGH的体积最大时，求平面CEH与平面ACE的夹角的余弦值． 23．（2026春•上城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱AB，BC上的点，满足BM＝2AM，BN＝CN，且△ABC1与△MNC1的面积之比为3． （1）证明：AC1∥平面A1MN； （2）求点A1到平面ABC1与到平面MNC1的距离之比； （3）若BC＞AB，直线AB，BC，A1B两两相互垂直，求平面ABC1与平面MNC1所成角余弦值的取值范围． 24．（2024秋•永胜县校级期末）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点． （Ⅰ）求证：D1N∥平面CB1M； （Ⅱ）求平面CB1M与平面BB1C1C的夹角余弦值； （Ⅲ）求点B到平面CB1M的距离． 第一章空间向量与立体几何5大考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 1．（2024秋•自贡校级期末）在四面体O﹣ABC中，空间的一点M满足，若M、A、B、C四点共面，则λ＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在四面体O﹣ABC中，不共面，可以作为向量的基底， 而， 则，整理得：λ， 解得． 故选：D． 2．（2024秋•安阳期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知得． 故选：C． 3．（2024秋•呼和浩特期末）在四面体O﹣ABC中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，若，则x+y+z的值为（　　） A． B．1 C． D． 【解答】解：四面体O﹣ABC中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点， ， 由 ， 则， 所以． 故选：C． 4．（2025春•天水校级期中）在三棱锥A﹣BCD中，M为AC的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：三棱锥A﹣BCD中，如图所示： 由于M为AC的中点，所以， 由于，所以，整理得， 故． 故选：A． 5．（2024秋•成都期末）已知空间向量（1，﹣1，2），（1，﹣2，1），则向量在向量上的投影向量是（　　） A． B．（1，﹣1，1） C． D． 【解答】解：（1，﹣1，2），（1，﹣2，1）， 则，， 故向量在向量上的投影向量是． 故选：C． 6．（2024秋•龙马潭区校级期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【解答】解：已知，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为． 故所求投影向量的模长为2． 故选：A． 7．（2024秋•邛崃市校级期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知条件得： 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 8．（2024秋•湖北月考）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（　　） A．（1，﹣1，1） B． C． D． 【解答】解：空间向量， 则向量在向量上的投影向量． 故选：C． 9．（2024秋•宝山区校级期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则　　 ． 【解答】解： ． 故答案为：． 10．（2025春•浦东新区校级期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1D1，BB1的中点，记，，，则等于 　　 （用，，表示）． 【解答】解：根据向量的线性运算， ，， 所以． 故答案为：． 11．（2025春•城厢区校级期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若，则x+y+z＝ 　　 ． 【解答】解：连接AM，AN，如图所示： M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点， 则， ， 则x，y，z， 故x+y+z． 故答案为：． 12．（2025春•甘肃期末）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，则x+y+z＝　　 ． 【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，BE，DF， 所以 ． 由， 所以x＝﹣1，y＝1，z， x+y+z＝﹣1+1． 故答案为：． 13．（2025•山东校级开学）已知． （1）求向量的坐标； （2）若，求k的值． 【解答】解：（1）由题意得，． （2）由（1）知（2，﹣2，2），， 所以，， 又，则， 即（2k+4，﹣2k﹣1，2k）＝λ（﹣6，0，2）， 所以， 则． 14．（2025春•栖霞区校级期中）已知空间向量（2，4，﹣2），（﹣1，0，2），（x，2，﹣1）． （1）若∥，求； （2）若⊥，求cos，的值． 【解答】解：（1）空间向量（2，4，﹣2），（x，2，﹣1），（﹣1，0，2） ∵∥， ∴存在实数k，使得， 所以，则x＝1， 则． （2）∵⊥，则， ∴x＝﹣2， ∴， 故． 15．（2024秋•滨海新区校级月考）（1）已知向量，． ①计算；②求． （2）已知向量，． ①若∥，求实数k； ②若，求实数k． 【解答】解：（1）①因为向量， 则2（4，﹣2，﹣4）﹣（3，3，﹣12）＝（1，﹣5，8）， 所以； ②因为向量， 所以， 则， 又因为， 所以； （2）因为向量， 则，， ①若， 则， 解得； ②若， 则7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（﹣k+5）＝0， 解得． 16．（2024秋•兴义市校级月考）已知向量，，其中，，． （1）求；． （2）求与的夹角θ的余弦值． 【解答】解：（1）由题意， 则， ∴， ； （2）， ∴与的夹角θ的余弦值为： cosθ0． 17．（2024秋•渭南校级期末）已知点A（﹣2，0，2）、B（﹣1，1，2）、C（﹣3，0，4），，． （1）若||＝3，且∥，求； （2）求cos，； （3）若k与k2垂直，求k． 【解答】解：（1）∵B（﹣1，1，2）、C（﹣3，0，4）， ∴（﹣2，﹣1，2）， ∵||＝3，且∥， ∴设（﹣2λ，﹣λ，2λ），且（﹣2λ）2+（﹣λ）2+（2λ）2＝9， 解得λ＝±1， ∴（﹣2，﹣2，2）或（2，2，﹣2）． （2）∵A（﹣2，0，2）、B（﹣1，1，2）、C（﹣3，0，4），，． ∴（1，1，0），（﹣1，0，2）， ∴cos，． （3）∵k（k﹣1，k，2），k2（k+2，k，﹣4）， k与k2垂直， ∴（k）•（k2）＝（k﹣1）（k+2）+k2﹣8＝0， 解得k或k＝2． 18．（2024秋•景德镇期末）已知． （1）求向量的坐标； （2）设向量∥，求； （3）若，求k的值． 【解答】解：（1）由，得 （2）由（1）得，而量∥，因此， 所以． （3）， 则， 由，得 ＝12k﹣20k+10﹣34＝﹣8k﹣24＝0， 所以k＝﹣3． 19．（2024秋•柳州期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． （Ⅰ）证明：D1E⊥A1D； （Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值； （Ⅲ）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为． 【解答】解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设AE＝x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分） （Ⅰ）因为（1，0，1），（1，x，﹣1） ∴•1+0﹣1＝0，所以D1E⊥A1D； （Ⅱ）因为E为AB中点，则E（1，1，0）， 从而（1，1，﹣1），（﹣1，2，0）， 设AC与D1E所成的角为θ 则（9分） （Ⅲ）设平面D1EC的法向量为（a，b，c）， ∵（1，x﹣2，0），（0，2，﹣1），（0，0，1） 由，有， 令b＝1，从而c＝2，a＝2﹣x ∴（2﹣x，1，2），…..（12分） 由题意，cos． ∴x＝2（不合题意，舍去），或x＝2． ∴当AE＝2时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为． 20．（2024秋•惠城区校级月考）已知空间中三点A（2，﹣1，1），B（1，1，0），C（4，﹣3，3）．设，． （1）求； （2）若与互相垂直，求实数k的值． 【解答】解：（1）∵A（2，﹣1，1），B（1，1，0），C（4，﹣3，3），，， ∴，， 于是， ∴． （2）∵， ， 又与互相垂直， ∴， 即（﹣2k﹣2）（2k﹣1）+（4k+2）（2﹣2k）+（﹣2k﹣2）（2k﹣1）＝0， ∴，解得． 21．（2025•四川开学）如图，在四棱锥B﹣APCQ中，△ABC与△APC均为等边三角形，平面ABC⊥平面APCQ，点P与点Q在平面ABC的异侧，AQ＝CQ． （1）证明：PQ⊥平面ABC； （2）若A，P，C，Q四点共圆，求平面PAB与平面QBC夹角的余弦值． 【解答】（1）证明：因为△APC是等边三角形，所以AP＝CP， 在平面APCQ中，由AQ＝CQ，AP＝CP可知PQ是AC的中垂线， 故PQ⊥AC， 而平面ABC⊥平面APCQ，平面ABC∩平面APCQ＝AC，PQ⊂平面APCQ， 故PQ⊥平面ABC． （2）记O为AC的中点，由A，P，C，Q四点共圆可知∠APC+∠AQC＝π， 而，故． 不妨令OQ＝1，易知OP⊥OB，OP⊥OC，OB⊥OC， 故以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz， 则，B（3，0，0），，P（0，0，3），Q（0，0，﹣1）， 故，，，． 记平面PAB的法向量为， 则，可取， 记平面QBC的法向量为， 则，可取， 记平面PAB与平面QBC的夹角为θ，则． 所以平面PAB与平面QBC夹角的余弦值为． 22．（2025•腾冲市校级开学）在平行六面体ABCD﹣EFGH中，AC＝AE＝4，，AB＝3，AD＝5． （1）证明：； （2）当平行六面体ABCD﹣EFGH的体积最大时，求平面CEH与平面ACE的夹角的余弦值． 【解答】（1）证明：在△ACE中，AC＝AE＝4，，所以CE2＝AC2+AE2，即AE⊥AC， 又AE∥GC，所以AC⊥CG， 在△ACD中，AD＝5，AC＝4，CD＝AB＝3，所以AD2＝AC2+CD2，即AC⊥CD， 又CD，CG⊂平面CDHG，且CD∩CG＝C， 所以AC⊥平面CDHG， 因为CH⊂平面CDHG， 所以AC⊥CH，即． （2）解：当平行六面体ABCD﹣EFGH的体积最大时，侧棱AE⊥底面ABCD， 由（1）可知AB⊥AC， 故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），C（0，4，0），E（0，0，4），B（3，0，0），D（﹣3，4，0），H（﹣3，4，4）， 所以，，，， 易知平面ACE的一个法向量为， 设平面CEH的法向量为，则，即， 可取， 所以cos，， 所以平面CEH与平面ACE的夹角的余弦值为． 23．（2026春•上城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱AB，BC上的点，满足BM＝2AM，BN＝CN，且△ABC1与△MNC1的面积之比为3． （1）证明：AC1∥平面A1MN； （2）求点A1到平面ABC1与到平面MNC1的距离之比； （3）若BC＞AB，直线AB，BC，A1B两两相互垂直，求平面ABC1与平面MNC1所成角余弦值的取值范围． 【解答】解：（1）证明：作平行四边形MACD与平行四边形MAC1D1，连接AD交BC与点P，如下图所示： 显然AM＝CD，△CPD∽△BPA， 所以，即； 又BN＝CN，可知P为NC的中点，即， 所以MN∥AP， 又CD∥AM，C1D1∥AM，CD＝AM，C1D1＝AM； 所以CD∥C1D1，且CD＝C1D1， 所以CDD1C1为平行四边形，所以CC1∥DD1； 又AA1∥CC1，所以AA1∥DD1， 所以MN∥AD∥A1D1， 所以M，N，A1，D1四点共面， 又AC1∥MD1，AC1⊄平面MNA1D1，MD1⊂平面MNA1D1； 所以AC1∥平面A1MN； （2）设点A1到平面ABC1与到平面MNC1的距离分别为d1，d2， 因为AC1∥平面A1MN， 所以， 所以， 又易知，点N到AB的距离为点C到AB的距离的一半， 所以， 所以， 又，， 又， 所以d1＝2d2； （3）如图，以B为原点，，，为x，y，z轴正方向，建系如图： 设BA＝1，BC＝a＞1，BA1＝b， 则A（﹣1，0，0），C（0，a，0），A1（0，0，b），C1（1，a，b），M（，0，0），N（0，，0）， 易知，，，， 设平面ABC1的一个法向量为， 则，取， 设平面MNC1的一个法向量为， 则，取， 则d1，， 由d1＝2d2可知， 即， 解得∈（7，+∞）， 设平面ABC1与平面MNC1所成角为θ， 则cosθ∈（，）． 24．（2024秋•永胜县校级期末）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点． （Ⅰ）求证：D1N∥平面CB1M； （Ⅱ）求平面CB1M与平面BB1C1C的夹角余弦值； （Ⅲ）求点B到平面CB1M的距离． 【解答】解：（Ⅰ）证明：取CB1的中点P，连接NP，MP，则NP∥CC1且， 又D1M∥CC1且，所以NP∥D1M且NP＝D1M， 所以四边形D1MPN为平行四边形，得ND1∥PM， 又ND1⊄平面CB1M，PM⊂平面CB1M， 所以ND1∥平面CB1M． （Ⅱ）建立如图空间直角坐标系A﹣xyz， 则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），M（0，1，1），C（1，1，0），C1（1，1，2）， 有， 设平面CB1M与平面BB1C1C的一个法向量分别为， 则，， 则， 令x1＝x2＝1，得y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0， 所以， 则， 即平面CB1M与平面BB1C1C所成角的余弦值为． （Ⅲ）由，平面CB1M的一个法向量为， 得， 即点B到平面CB1M的距离为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $