2.3.1 乘方 预习讲义 2025-2026学年 人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘方运算的核心知识，从乘方的意义出发，逐步构建底数、指数、幂的概念体系，再延伸至符号法则与实际应用，形成“定义—概念—规则—应用”的清晰学习支架，帮助学生理解乘方作为相同因数相乘的简便记法，掌握负数乘方的特殊规律。 资料设计突出数学眼光、数学思维与数学语言的融合运用，通过真实情境题如《孙子算经》鸟巢问题和蒲生长模型，引导学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维分析数量关系，用数学语言表达规律。例如第13题细胞分裂问题巧妙关联指数增长，体现数学建模意识，第23题借助除法性质推导零次幂与负整数指数幂，展现逻辑推理能力，既提升课堂探究深度，又便于课后查漏补缺，强化运算能力和符号意识。

第2章 有理数的运算 2.3.1 乘方 （预习讲义） 学习目标 1. 理解乘方的意义，知道乘方是表示几个相同因数相乘的简便运算。 2. 理解并掌握乘方的相关概念，能正确识别底数、指数和幂。 3. 能正确进行有理数的乘方运算，特别是负数的乘方运算。 4. 会用乘方表示一些简单的实际问题中的数量关系（本节主要侧重数学意义）。 知识点梳理 一、 乘方的意义 1. 定义： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2. 说明： 乘方是一种特殊的乘法运算（因数相同），它是乘法的简便记法。 例如：2 × 2 × 2 × 2 可以记作 2⁴。 二、 乘方的相关概念 1. 底数： 在乘方运算中，相同的因数叫做底数。 2. 指数： 在乘方运算中，相同因数的个数叫做指数。 3. 幂： 乘方的结果叫做幂。 4. 记法与读法： (1) n个相同因数a相乘，即 a × a × a × ... × a (n个a)，记作：aⁿ。 (2) 读作：“a的n次方”或“a的n次幂”。 (3) 例如：在 3⁵ 中，底数是3，指数是5，读作“3的5次方”或“3的5次幂”，它表示5个3相乘，即 3 × 3 × 3 × 3 × 3。 三、 乘方的书写注意事项 1. 当底数是负数或分数时，书写乘方时一定要把底数用括号括起来。 (1) 例如：-2的平方应写成 (-2)²，而不能写成 -2²（-2² 表示 2²的相反数）。 (2) 例如：三分之二的立方应写成 (2/3)³，而不能写成 2/3³。 四、 乘方的运算 1. 根据乘方的意义进行计算： 将乘方运算转化为乘法运算。 (1) 例如：2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 (2) 例如：(-3)³ = (-3) × (-3) × (-3) = -27 2. 正数的任何次幂都是正数。 例如：5² = 25，3⁴ = 81 3. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 (1) 例如：(-2)³ = -8 (指数3是奇数，结果为负) (2) 例如：(-2)⁴ = 16 (指数4是偶数，结果为正) 4. 0的任何正整数次幂都是0。 例如：0⁵ = 0，0¹⁰⁰ = 0 5. 1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1。 (此为引申，可帮助理解) 例如：1⁷ = 1，(-1)⁵ = -1，(-1)⁶ = 1 知识点总结 1. 乘方的意义： 求n个相同因数a的积的运算，记作 aⁿ。aⁿ = a × a × ... × a (n个a相乘)。 2. 乘方的各部分名称： (1) 底数a：相同的因数。 (2) 指数n：相同因数的个数（n为正整数）。 (3) 幂：乘方运算的结果。 3. 乘方的符号法则： (1) 正数的任何次幂都是正数。 (2) 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 (3) 0的任何正整数次幂都是0。 4. 注意区分 (-a)ⁿ 与 -aⁿ 的意义和运算结果。 巩固练习 一、选择题 1．若|x＋2|＋(y－3)2＝0，则xy的值为（　　） A．8 B． C．9 D．－9 2．下列运算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各组数中，相等的一组是　　（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 4．定义一种新运算：，如：，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 6．《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 7．根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为（　　） A． B． C． D． 8．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（　　） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．下列有理数的运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 10．计算（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．平方等于它本身的数是　 　 ，立方等于它本身的数是　 　 ； 12．的底数是　 　． 13．一种细胞每过20分钟便由1个分裂成2个，经过2小时，这种细胞由1个分裂成了　 　个． 14．《九章算术》中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺；蒲生日自半”，其意思是有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日的一半，请计算出第四日后，蒲的长度为　 　尺． 15．定义一种新运算：，如：，则　 　． 16．已知（x－2）2＋｜3y－2x｜＝0，则x=　 　， y=　 　 17．下列有四个算式： ①；②；③；④． 其中，运算不正确的是　 　．（填序号） 18．已知，则　 　． 19．化简： ①﹣|﹣ |=　 　 ②﹣（﹣6）=　 　 ③（﹣1）99=　 　． 20．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”． 某书生用此方法来记录自己读书的天数，如图1，他在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，表示的天数为38天，按同样的方法，图2表示的天数是　 　． 三、解答题 21．计算：． 22．计算： （1） （2） （3） 23．小泽学了有理数的乘方，知道23=8，25=32，他问老师，有没有20，2﹣2，如果有，等于多少？老师耐心提示他：25÷23=4，25﹣3=4，即25÷23=25﹣3=4．小泽，你现在知道20，2﹣2等于多少了吗？小泽说，我想一想．亲爱的同学，你想出来了吗？请仿照老师的方法，推算出20，2﹣2的值． 参考答案 1．B 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．B 9．C 10．D 11．1和 0；± 1 和 0 12．3 13． 14． 15．15 16．2； 17．① 18．9 19．﹣ ；6；﹣1 20．67 21．解： 22．（1）解： ＝－（17+29+37）＝－73 （2）解： ＝－48+8－36 ＝－76 （3）解： ＝－1－ ＝－1 23．解：20=24﹣4==1， ． 学科网（北京）股份有限公司 $