1.4充分条件与必要条件7题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦高中数学中“充分条件与必要条件”的核心概念，系统构建从命题判断到集合关系、再到参数范围求解的完整知识链，前后衔接紧密，层层递进，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，融合数学抽象、逻辑推理与实际应用三大核心素养，如通过“四边形对角线互相垂直”与“菱形”的关系分析，强化几何直观与推理能力，借助电路图情境深化理解充要条件本质，既提升课堂思维深度，又便于课后学生自主查漏补缺，巩固逻辑思维训练。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.4 充分条件与必要条件7题型分类 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的充分条件 p不是q的必要条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【特别提醒】 对充分条件和必要条件的理解： (1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． （4）以下五种表述形式是等价的：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。 二、充要条件 充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【特别提醒】 （1）若p是q的充要条件，则p⇔q，即命题p和q是两个相互等价的命题。 （2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 三、从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 四、充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） （一） 命题的概念及结构 命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p 是命题的条件，q是命题的结论. 题型1：命题与命题真假的判断1．【多选】（2025高一·上海浦东新·阶段练习）下列语句中是命题的有 ． A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 2．（2025高一·全国·课后作业）有下列命题：①所有人都喜欢吃苹果；②若，则；③空集是任何集合的真子集.其中真命题共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．【多选】（2025高一·全国·课后作业）下列命题是假命题的是（    ） A．形如的数是无理数 B．函数是二次函数 C．若，则方程无实数根 D．若为有理数，则都是有理数 4．（25-26高一·湖南长沙·开学考试）给出以下四个命题：①一组对边平行的四边形是梯形；②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26高三·福建福州·开学考试）关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （二） 充分、必要条件的判断 1、充分条件的判断 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． (3)关键是将判断命题中条件与结论的关系转化为判断集合间的包含关系，解题时注意充分条件与必要条件的概念，谨防将两者弄颠倒；解决集合间的包含关系时，利用数轴的直观性可优化解题过程，同时要注意端点值的取舍. 2、必要条件的判断 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 3、判断p是q的什么条件,通常有如下两种方法: (1)定义法，即把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再用定义进行判断，这是最常用、最基本的方法.通常对pq要予以证明，pq可举反例说明. (2)集合法，利用集合间包含关系进行判断，常用于一些范围问题. 题型2：充分条件的判断 6．（2025高一·全国·专题练习）下列各题中，p是q的充分条件的是 ． ①； ②两个三角形相似，两个三角形全等； ③方程无实根． 7．（2025高一·全国·专题练习）“”是“”的 条件． 8．（2025高一·全国·专题练习）下列命题中p是q的充分条件吗？ (1)在中，； (2)已知． 题型3：必要条件的判断 9．（2025高一·全国·专题练习）在以下各题中，分析p与q的关系． (1)且； (2)一个四边形的四个角都相等，四边形是正方形． 10．（2025高一·全国·专题练习）分析下列各题中p与q的关系． (1)为锐角，； (2)． 11．（2025高一·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 12．（2025高一·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有 （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 题型4：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断 13．（2025高一·上海·专题练习）毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2025·陕西西安·模拟预测）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（25-26高一·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2025高一·河北张家口·期中）p：四边形为矩形，q：四边形对角线相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2025高一·全国·阶段练习）已知下列四组陈述句： ①：集合；：集合． ②：集合；：集合． ③：；：． ④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员． 其中p是q的必要而不充分条件的有(    ) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 19．（2025高一·全国·专题练习）下列各题中，p是q的什么条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件）？ (1)四边形对角线互相平分，四边形是矩形； (2)或； (3)方程有实根． （三） 探求命题为真的一个充要条件 探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证 题型5：探求命题成立的一个充分、必要条件 20．（2025高一·全国·课后作业）关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 21．（2025高三·全国·专题练习）的一个必要条件是（   ） A． B． C． D． 22．（2025高一·湖北十堰·期中）使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 23．（2025高一·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 24．（2025高一·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 25．（2025高三·江苏连云港·期中）设x，，则“”的充要条件是（    ） A．不都为1 B．都不为1 C．都不为0 D．中至多有一个是1 26．（2025高一·湖南常德·阶段练习）命题“”是真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 27．（2025高一·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 28．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 （四） 根据充分条件或必要条件求参数的范围 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤： ①化简，两命题. ②根据与的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系. ③利用集合间的关系建立不等关系， ④求解参数范围. 题型6：利用充分、必要条件求参数 29．（2025高一·全国·专题练习）已知实数x满足，其中实数x满足．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 30．（2025高一·全国·专题练习）已知实数x满足，其中实数x满足，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 31．（2025高一·全国·专题练习）已知实数x满足，其中，实数x满足．若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 32．（2025高一·全国·专题练习）若或，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 33．（2025高一·全国·专题练习）设命题；命题，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 34．（2025高一·全国·专题练习）已知或，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． （五） 充要条件的证明 充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. 题型7：充要条件的证明 35．（2025高一·上海·课后作业）设，求证：的充要条件是. 36．（2025高一·全国·课后作业）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 37．（2025高一·全国·课后作业）已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 一、单选题 1．（2025高二·湖南衡阳·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025高二·湖南衡阳·期末）“四边形为菱形”是“四边形的两条对角线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025高三·江苏·期末）设；，若p是q的充分不必要条件，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·福建福州·期末）“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高一·广东云浮·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025高一·重庆云阳·阶段练习）在人类中，双眼皮由显性基因控制，单眼皮由隐性基因控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025高一·北京海淀·期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·课后作业）设，则“”的充要条件是（    ） A．都为1 B．都不为1 C．中至少有一个为1 D．都不为0 9．（2025高一·河南洛阳·期中）设，是两个集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025高一·山东泰安·阶段练习）使成立的一个必要条件是 A． B． C． D． 二、多选题 11．（2025高二·浙江·期中）已知p：，，q：x＋y≥t，若p是q的充分不必要条件，则t的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（2025高一·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（2025高一·河北邯郸·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，，则“”是“a，b不全为0”的充要条件 D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 三、填空题 14．（2025高一·全国·课后作业）“方程没有实数根”的充要条件是 . 15．（2025高三·山东日照·阶段练习）函数的图像关于直线对称的充要条件是 ； 16．（2025高一·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 17．（2025高一·全国·课后作业）从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.（1）“”是“”的 ；（2）“”是“”的 . 18．（2025高一·全国·课后作业）若，或，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 19．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，则“”是的 条件． 20．（2025高一·北京·期末）若“”的必要不充分条件是“”，则实数a的取值范围是 ． 21．（2025高一·全国·课后作业）下列说法不正确的是 ．（只填序号） ①是的必要条件； ②是的充分不必要条件； ③是且的充分条件； ④是的充分不必要条件． 四、解答题 22．（2025高一·全国·课后作业）求证：一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是. 23．（2025高一·全国·课后作业）（1）是否存在实数，使是或的充分条件？ （2）是否存在实数，使是或的必要条件？ 24．（2025高三·河北·学业考试）已知命题：实数满足，其中，命题：实数满足． (1)若，则是的什么条件？ (2)若是的必要条件，求的取值范围． 25．（2025高一·全国·专题练习）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 26．（2025高一·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.4 充分条件与必要条件7题型分类 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的充分条件 p不是q的必要条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【特别提醒】 对充分条件和必要条件的理解： (1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． （4）以下五种表述形式是等价的：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。 二、充要条件 充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【特别提醒】 （1）若p是q的充要条件，则p⇔q，即命题p和q是两个相互等价的命题。 （2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 三、从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 四、充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） （一） 命题的概念及结构 命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p 是命题的条件，q是命题的结论. 题型1：命题与命题真假的判断 1．【多选】（2025高一·上海浦东新·阶段练习）下列语句中是命题的有 ． A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【答案】ABC 【分析】根据命题的定义能判断真假的陈述句即是命题，逐项验证即可求解. 【解析】对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是真命题； 对于B，如果，则，是假命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是真命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题. 故答案为：ABC. 2．（2025高一·全国·课后作业）有下列命题：①所有人都喜欢吃苹果；②若，则；③空集是任何集合的真子集.其中真命题共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】结合不等式性质、集合的知识，依次判断各个命题的真假性即可. 【解析】对于①，不是所有人都喜欢吃苹果，原命题为假命题； 对于②，若，则，即，原命题为真命题； 对于③，空集不是空集的真子集，原命题为假命题. 故选：B. 3．【多选】（2025高一·全国·课后作业）下列命题是假命题的是（    ） A．形如的数是无理数 B．函数是二次函数 C．若，则方程无实数根 D．若为有理数，则都是有理数 【答案】ABD 【分析】根据实数的性质，二次函数的定义，以及一元二次方程的判别式，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，例如时，可得为实数，所以A不正确； 对于B中，当时，函数是一次函数，所以B不正确； 对于C中，当时，可得，此时方程有无实根， 所以C正确. 对于D中，例如，此时为有理数，但都是不是有理数，所以D不正确. 故选：ABD. 4．（25-26高一·湖南长沙·开学考试）给出以下四个命题：①一组对边平行的四边形是梯形；②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据梯形的概念、菱形、正方形及平行四边形的判定，逐个判断，即可得出结论． 【解析】对于①，一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，故①错误； 对于②，由于平行四边形中两组对角相等，一条对角线平分一个内角，则也要平分另一个角，再根据等角对等边，得到平行四边形的一组邻边相等，故有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故②正确； 对于③，由于矩形的两条对角线相等且平分，对角线互相垂直，则两条对角线的一半与边成等腰直角三角形，故是正方形，故③正确； 对于④，等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但不是平行四边形，故④错误. 综上，真命题有2个. 故选：B. 5．（25-26高三·福建福州·开学考试）关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】分别讨论某个命题为假命题即可求解. 【解析】假设甲为假命题，则乙、丙、丁为真命题， 由乙“是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为， 此时两根为3和−1，两根异号，所以丁“该方程两根异号”为真， 方程的根为3和−1，不含1，所以甲“是该方程的根”为假，此情况符合题意； 假设乙为假命题，则甲、丙、丁为真命题， 由甲“是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为1， 此时两根为1和1，两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾，故此情况不成立； 假设丙为假命题，则甲、乙、丁为真命题， 由甲“是该方程的根”和乙“是该方程的根”可知，方程的两根为1和3， 此时两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾。故此情况不成立； 假设丁为假命题，则甲、乙、丙为真命题， 由甲“是该方程的根”和乙“是该方程的根”可知，方程的两根为1和3， 此时两根之和为，与丙“该方程两根之和为2”为真矛盾，故此情况不成立. 综上所述，只有甲是假命题. 故选：A （二） 充分、必要条件的判断 1、充分条件的判断 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． (3)关键是将判断命题中条件与结论的关系转化为判断集合间的包含关系，解题时注意充分条件与必要条件的概念，谨防将两者弄颠倒；解决集合间的包含关系时，利用数轴的直观性可优化解题过程，同时要注意端点值的取舍. 2、必要条件的判断 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 3、判断p是q的什么条件,通常有如下两种方法: (1)定义法，即把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再用定义进行判断，这是最常用、最基本的方法.通常对pq要予以证明，pq可举反例说明. (2)集合法，利用集合间包含关系进行判断，常用于一些范围问题. 题型2：充分条件的判断 6．（2025高一·全国·专题练习）下列各题中，p是q的充分条件的是 ． ①； ②两个三角形相似，两个三角形全等； ③方程无实根． 【答案】③ 【解析】①， 或，不能推出不是q的充分条件． ②两个三角形相似，不能推出两个三角形全等，不是q的充分条件． ③方程无实根，是q的充分条件． 7．（2025高一·全国·专题练习）“”是“”的 条件． 【答案】充分 【解析】由是充分条件． 8．（2025高一·全国·专题练习）下列命题中p是q的充分条件吗？ (1)在中，； (2)已知． 【答案】(1)是充分条件 (2)是充分条件 【解析】（1）在中，由大角对大边知，，所以p是q的充分条件． （2）由，故p是q的充分条件． 题型3：必要条件的判断 9．（2025高一·全国·专题练习）在以下各题中，分析p与q的关系． (1)且； (2)一个四边形的四个角都相等，四边形是正方形． 【答案】(1)q是p的必要条件 (2)p是q的必要条件 【解析】（1）由于，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）由于，故q是p的充分条件，p是q的必要条件． 10．（2025高一·全国·专题练习）分析下列各题中p与q的关系． (1)为锐角，； (2)． 【答案】(1)q是p的充分条件 (2)p是q的必要条件 【解析】（1）由于，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． （2）由于，故q是p的充分条件，p是q的必要条件． 11．（2025高一·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【解析】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 12．（2025高一·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，是的必要条件的命题有 （1）若是无理数，则是无理数． （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． （3）若，则. （4）若和都是偶数，则是偶数． 【答案】（1）（2）（4） 【分析】根据必要条件的定义即可逐一求解. 【解析】（1）若是无理数，则是无限不循环小数，所以是无限不循环小数， 所以是无理数，所以，所以是的必要条件． （2）全等三角形面积相等，所以，所以是的必要条件． （3）若，则或； 所以，所以是的不必要条件． （4）两个偶数的乘积仍是偶数．所以，所以是的必要条件． 故答案为：（1）（2）（4）. 题型4：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断 13．（2025高一·上海·专题练习）毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【解析】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 14．（2025·陕西西安·模拟预测）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解析】取 ，满足 ，但是不成立，所以充分性不成立. 当时，由，则一定成立，即必要性成立 ． 所以 “”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 15．（25-26高一·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】a，，由，得，，则，因此充分性成立； 由，得，又，则，因此必要性不成立 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 16．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及集合的包含关系即可求解. 【解析】当时，，满足，充分性成立； 当时，或，必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 17．（2025高一·河北张家口·期中）p：四边形为矩形，q：四边形对角线相等，则p是q的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 【解析】解：根据矩形的性质知； 等腰梯形对角线也相等， 所以推不出， 所以是的充分不必要条件． 故选：A． 18．（2025高一·全国·阶段练习）已知下列四组陈述句： ①：集合；：集合． ②：集合；：集合． ③：；：． ④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员． 其中p是q的必要而不充分条件的有(    ) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】逐个判断是否有且即可． 【解析】①若，则或，∴，即p：；故且，即p是q的必要而不充分条件，符合题意； ②若，则根据子集的性质可得，即p：； 故是的充要条件，不符题意； ③对于，当时，， 故，∴是的必要而不充分条件，符合题意； ④易知且，即是的充分而不必要条件，不符合题意； 综上，是的必要而不充分条件的有①③． 故选：D． 19．（2025高一·全国·专题练习）下列各题中，p是q的什么条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件）？ (1)四边形对角线互相平分，四边形是矩形； (2)或； (3)方程有实根． 【答案】(1)必要不充分条件 (2)充要条件 (3)充分不必要条件 【解析】（1）四边形对角线互相平分力四边形是矩形；四边形是矩形四边形对角线互相平分，是q的必要不充分条件． （2）或或是q的充要条件． （3）方程的，即方程有实根；方程有实根，即， 是q的充分不必要条件． （三） 探求命题为真的一个充要条件 探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证 题型5：探求命题成立的一个充分、必要条件 20．（2025高一·全国·课后作业）关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的求解即可判断，由充分条件的定义即可求解. 【解析】由，要使方程有实根，则， 故是方程有实根的一个充分条件， 故选：B 21．（2025高三·全国·专题练习）的一个必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由进行推导，能推出的即为应选项 【解析】因为，所以，所以是的一个必要条件， 若 不能得到，， 故选：A 22．（2025高一·湖北十堰·期中）使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案. 【解析】对于A，因为或或，故错误； 对于B，因为或或，故正确； 对于C，因为或或，故错误； 对于D，因为不是或的真子集，故错误. 故选：B. 23．（2025高一·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【解析】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 24．（2025高一·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【解析】， 若，则，， 若，则，， 若，则，， ∴的一个充分不必要条件是. 故选：B 25．（2025高三·江苏连云港·期中）设x，，则“”的充要条件是（    ） A．不都为1 B．都不为1 C．都不为0 D．中至多有一个是1 【答案】B 【分析】将化简，可得到其等价命题，即可得答案. 【解析】因为即，即， 即等价于且， 故“”的充要条件是都不为1， 故选：B. 26．（2025高一·湖南常德·阶段练习）命题“”是真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为在上恒成立，可求出结果. 【解析】因为命题“”是真命题， 所以在上恒成立， 所以，即， 所以命题“”是真命题的充要条件是. 故选：C 27．（2025高一·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【解析】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 28．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 【答案】B 【分析】直接利用充分条件和必要条件判断A、B、C、D的结论． 【解析】对于A选项，，解得：或， 所以，但， 故为的充分不必要条件，故A错误； B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确； C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误； D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等， 但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等， 例如：中，，斜边， 中，，则斜边， 故为的必要不充分条件． 故选：B． （四） 根据充分条件或必要条件求参数的范围 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤： ①化简，两命题. ②根据与的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系. ③利用集合间的关系建立不等关系， ④求解参数范围. 题型6：利用充分、必要条件求参数 29．（2025高一·全国·专题练习）已知实数x满足，其中实数x满足．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】，即集合． ，即集合． 因为，所以，所以， 所以a的取值范围是． 30．（2025高一·全国·专题练习）已知实数x满足，其中实数x满足，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】 【解析】，其中， 即集合． ，即集合． 因为p是q的充分条件，所以，所以， 所以． 所以a的取值范围是 31．（2025高一·全国·专题练习）已知实数x满足，其中，实数x满足．若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】，即集合． ，即集合． 因为，所以，所以． 32．（2025高一·全国·专题练习）若或，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】或 【解析】因为A是B的充分不必要条件，所以，又或． 因此或， 所以实数a的取值范围是或． 33．（2025高一·全国·专题练习）设命题；命题，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】设，由p是q的充分不必要条件，可知， 或解得， 故所求实数a的取值范围是． 34．（2025高一·全国·专题练习）已知或，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】设或， 因为p是q的必要不充分条件，所以，所以，即 ，即实数m的取值范围为． （五） 充要条件的证明 充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向. 题型7：充要条件的证明 35．（2025高一·上海·课后作业）设，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】根据充要条件的定义，结合不等式的性质进行证明即可. 【解析】充分性：若，∵，∴，即； 必要性：若，∵，∴，即. 所以的充要条件是. 【点睛】本题考查了充要条件的证明，考查了不等式的性质应用，考查了推理论证能力 36．（2025高一·全国·课后作业）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 【答案】见解析 【解析】根据充要条件的定义进行证明即可． 【解析】（1）必要性：由，得，即， 又由，得，所以. （2）充分性：由及， 得，即. 综上所述，的充要条件是. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 37．（2025高一·全国·课后作业）已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【答案】证明见解析. 【分析】由a＋b＝1结合完全平方和公式证明充分性，利用完全平方和公式，提公因式对a2＋b2－a－b＋2ab＝0进行变形，结合a＋b≠0证明必要性. 【解析】证明：先证充分性： 若a＋b＝1 则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立． 必要性： 若a2＋b2－a－b＋2ab＝0 则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0 因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0 即a＋b＝1，成立 综上a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，属于中档题. 一、单选题 1．（2025高二·湖南衡阳·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件定义判断即可得出结论. 【解析】由“”可以推出“”，反之不一定成立. 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（2025高二·湖南衡阳·期末）“四边形为菱形”是“四边形的两条对角线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据菱形的定义与性质，结合充分条件与必要条件的定义判断即可. 【解析】若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直， 反之,若四边形的两条对角线互相垂直，四边形不一定是菱形， 所以“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 3．（2025高三·江苏·期末）设；，若p是q的充分不必要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简，根据充分不必要的定义列不等式求的范围. 【解析】由已知可得， 因为是的充分不必要条件， 所以， 所以， 故选：A． 4．（2025高一·福建福州·期末）“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由菱形和平行四边形的定义可判断. 【解析】解：四边形是菱形则四边形是平行四边形，反之，若四边形是平行四边形则四边形不一定是菱形，所以“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2025高一·广东云浮·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【解析】由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（2025高一·重庆云阳·阶段练习）在人类中，双眼皮由显性基因控制，单眼皮由隐性基因控制．当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．随机从父母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可. 【解析】若父母均为单眼皮， 则父母的基因一定为和， 孩子就一定是单眼皮． 若孩子为单眼皮， 则父母的基因可能是和，即父母均为双眼皮， 故“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件． 故选：A 7．（2025高一·北京海淀·期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件． 【解析】解：不等式， ，解得， 故不等式的解集为：， 则其一个充分不必要条件可以是， 故选：． 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 8．（2025高一·全国·课后作业）设，则“”的充要条件是（    ） A．都为1 B．都不为1 C．中至少有一个为1 D．都不为0 【答案】C 【分析】由，求得或，结合选项，即可求解. 【解析】由，可得，解得或， 故“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”． 故选：C. 9．（2025高一·河南洛阳·期中）设，是两个集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解析】由得即“”是“”的充要条件， 故选：C 10．（2025高一·山东泰安·阶段练习）使成立的一个必要条件是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，作为充分条件，即作为所求条件对应集合的子集，即可得出选项. 【解析】由题：寻找使成立的一个必要条件， 即作为充分条件，作为所求条件对应集合的子集， 结合四个选项，只有满足条件. 故选：A 【点睛】此题考查充分条件和必要条件，关键在于准确转化为通过集合的关系分析认识充分条件和必要条件，根据集合包含关系，充分条件所对应的集合为子集. 二、多选题 11．（2025高二·浙江·期中）已知p：，，q：x＋y≥t，若p是q的充分不必要条件，则t的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】根据充分不必要条件的定义求解． 【解析】，所以，但反过来，不能推出且， 选项AB满足题意，CD不满足题意， 若，则不是的充分条件，如，满足条件，但不满足，同理D也不合题意． 故选：AB． 12．（2025高一·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，若，则成立，所以A符合题意； 对于B中，若，则成立，所以是的充分条件，所以B符合题意； 对于C中，若，当，则不成立，反之：若，则成立，所以是的必要不充分条件，所以C不符合题意； 对于D中，例如：，满足，此时，反之：也不成立， 所以是的既不充分也不必要条件，所以D不符合题意. 故选：AB. 13．（2025高一·河北邯郸·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，，则“”是“a，b不全为0”的充要条件 D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】根据充分条件，必要条件的定义判断． 【解析】，但或，不一定有.故A正确. 为直角三角形，反之，若为直角三角形，当B，C为直角时，不能推出，故B错误. ，b不全为0，反之，由a，b不全为，故C正确. 当为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分条件与必要条件的定义是解题关键． 三、填空题 14．（2025高一·全国·课后作业）“方程没有实数根”的充要条件是 . 【答案】 【解析】利用判别式求出条件，再由充要条件的定义说明． 【解析】解析因为方程没有实数根，所以有，解得，因此“方程没有实数根”的必要条件是.反之，若，则，方程无实根，从而充分性成立.故“方程没有实数根”的充要条件是“”. 故答案为： 【点睛】本题考查充要条件，掌握充要条件的定义是解题关键． 15．（2025高三·山东日照·阶段练习）函数的图像关于直线对称的充要条件是 ； 【答案】m=-2 【解析】由于二次函数的对称轴方程为,所以函数的图像关于直线对称的充要条件. 16．（2025高一·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解. 【解析】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 17．（2025高一·全国·课后作业）从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.（1）“”是“”的 ；（2）“”是“”的 . 【答案】 充要条件 必要不充分条件 【分析】（1）求得方程的两根以及的根，即可根据集合关系判断关系； （2）从充分性和必要性的角度即可容易判断. 【解析】（1）设，， 所以， 即“”是“”的充要条件. （2）因为由“”不能推出“”；由“”能推出“”； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：充要条件；必要不充分条件. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断和证明，属基础题. 18．（2025高一·全国·课后作业）若，或，且A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】依题意有AB，根据集合的包含关系，列不等式求实数a的取值范围. 【解析】因为A是B的充分不必要条件，所以AB， 又，或， 因此或，解得或 所以实数a的取值范围是或． 故答案为：或 19．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，则“”是的 条件． 【答案】充分 【分析】根据集合间的关系以及元素与集合的关系，可得结论. 【解析】由，又可得且， ∴或， 即可得“”是“”的充分条件． 故答案为：充分 20．（2025高一·北京·期末）若“”的必要不充分条件是“”，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解. 【解析】由于“”的必要不充分条件是“”，所以 则且两个等号不同时取得，解得，经检验和均符合要求， 故a的取值范围是． 故答案为： 21．（2025高一·全国·课后作业）下列说法不正确的是 ．（只填序号） ①是的必要条件； ②是的充分不必要条件； ③是且的充分条件； ④是的充分不必要条件． 【答案】①③ 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解析】①中，命题：若是的必要条件的逆否命题为若是的必要条件， 由，可得或，所以是的充分条件，所以①不正确； ②中，若，则成立，即充分性成立；反之：若，则不一定成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，所以②正确； ③中，由，可得或，所以是且的必要条件，所以③不正确； ④中，由，可得，所以是的充分不必要条件，所以④正确. 故选：①③ 四、解答题 22．（2025高一·全国·课后作业）求证：一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是. 【答案】证明见解析 【解析】根据充要条件的定义证明．证明必要性和充分性． 【解析】证明①充分性：如果，那么.当时，， 所以一次函数的图象经过坐标原点. ②必要性：因为一次函数的图象经过坐标原点， 所以当时，，即，所以. 综上，一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是. 【点睛】本题考查充要条件，掌握充要条件的定义是解题关键．证明时需证充分性和必要性． 23．（2025高一·全国·课后作业）（1）是否存在实数，使是或的充分条件？ （2）是否存在实数，使是或的必要条件？ 【答案】（1）存在，；（2）不存在 【分析】（1）利用集合间的包含关系来处理，即若，则A是B的充分条件，即可求出答案； （2）利用集合间的包含关系来处理，即若，则B是A的必要条件，即可求出答案. 【解析】（1）欲使是或的充分条件， 则只要⊆或，即只需，所以. 故存在实数，使是或的充分条件. （2）欲使是或的必要条件，则只要或⊆，这是不可能的. 故不存在实数m，使是或的必要条件. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 24．（2025高三·河北·学业考试）已知命题：实数满足，其中，命题：实数满足． (1)若，则是的什么条件？ (2)若是的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)是的必要不充分条件 (2) 【分析】（1）找到命题、所表示的实数对应的取值集合之间的包含关系，进而得到两个命题之间的关系. （2）由命题是的必要条件，得到命题、所表示的实数对应的取值集合之间的包含关系，进而求出参数的范围. 【解析】（1）由，得，记集合， ，记集合． 因为B是A的真子集，所以是的必要不充分条件．（注：必要条件也正确） 故是的必要不充分条件． （2），记集合， ，记集合， 因为是的必要条件， 所以，即    所以． 所以a的取值范围为. 25．（2025高一·全国·专题练习）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【分析】为锐角三角形的充要条件为.作出图形，根据勾股定理计算化简分别证明充分性和必要性即可. 【解析】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为.    26．（2025高一·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【解析】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $