26.1 锐角三角函数课件2025-2026学年 冀教版九年级数学上册

第二十六章 锐角三角函数 26.1 锐角三角函数 课时1 三角形的正切 22002 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数tanA, 知道30°, 45°, 60°角的三角函数值． 2.理解正切概念并根据正切概念正确进行计算． 学习目标 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了． 1米 10米 ? 你想知道小明怎样算出的吗？在认真学习了这节课的内容之后,你就明白了. 情景导入 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 在直角三角形中,三边之间具有特殊关系(勾股定理), 两个锐角互余, 那么直角三角形的边和角之间是否也有着特殊的关系呢? 轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上,轮船向东航行5km到达C处,灯塔在轮船的正北方(图26-1),此时轮船距灯塔多少千米? A B C 35° 北 东 图26-1 ? 新课讲授 做一做 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 A B C α A' B' C' α 成立 正切 问题1：如图，△ABC和△A'B'C'都是直角三角形， 其中∠A =∠A'，∠C =∠C' = 90°，则 成立吗？为什么？ 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 A B C α A' B' C' α 由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. A'C' AC B'C' BC ＝ 即 AC BC A'C' B'C' ＝ 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 问题2：观察右图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们之间有什么关系？ Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3 所以　　 ＝_____ =_____. 可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边和邻边的比值是唯一确定的． 我们每个人画出的三角形都和图中的∆ABC相似，但对应边的长却可能不相等，那我们得到的比值相等吗？为什么？ 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent)，记作tanA，即 归纳总结 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 应该注意的几个问题: 1.tanA是在直角三角形中定义的，∠A必须是一个锐角。 2.tanA是一个完整的符号。在表示∠A的正切时，习惯省去“∠”号,但表示∠ ABC或∠1的正切，不能省略“∠” 号，应表示成tan ∠ ABC或tan ∠1。 3.tanA是一个比值无单位. 4.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边的长短无关. 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 互余的两个锐角的正切值互为倒数. A C B a b c （1）∠B的对边与邻边分别是那两条边？∠B的正切怎么表示？ （2）tanA与tanB之间有怎样的关系？ b a 想一想 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 例1 在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)如图(1)所示,∠A=30°,求tan A,tan B的值. (2)如图(2)所示,∠A=45°,求tan A的值. 解:(1)在Rt△ABC中, ∵∠A=30°, ∴∠B=60°,且 . ∴ = = . ∴tan A=tan 30° = , tan B=tan 60°= . 特殊角的正切值 典例精析 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 (2)在Rt△ABC中, ∵∠A=45°, ∴a=b. ∴tan A=tan 45°= . 30° 45° 60° tan A 锐角三角函数 锐角A 1 正切是一个比值 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 例2 求一个角的正切值. A C B D （1）如图，在△ABC中，∠C=90°,AD是BC边上的中线，BD=4，AD= ，则tan∠CAD的值是____. 2 方法①：求出角的对边和邻边的长度，直接用定义做. 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 （2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D,则tan∠BCD的值是____. D C B A 8 6 分析：直接去求∠BCD的对边与邻边的长计算量是比较大的. 这个图形是相似三角形中学过的“母子型”，有相等的角出现， 因此可把求∠BCD的正切转化为与求它相等的∠A的正切值. 方法②：转化为求与其相等的角的正切. 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 本页设计运用勾股定理和等角正切值的转化，培养学生的综合思考能力. （3）如图，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值是____. C B A 方法③求一个角的正切值应把这个角放到直角三角形中 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 dell (d) - 让学生经历能将非直角三角形转化为直角三角形，再利用锐角正切的概念解决问题，激发学生学习兴趣和培养学生的转化意识. 例3 如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是AC上一点，若tan∠DBC= ,求AD的长. D C B A 解：由题意得，BC=AC=6 在Rt△BCD中， 利用正切求边长 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 例3 如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是AC上一点，若tan∠DBC= ,求AD的长. D C B A 解：由题意得，BC=AC=6 在Rt△BCD中， 利用正切求边长 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4，BC=3，则tanA的值是____. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4，tanA= ,则BC=____. 2 当堂检测 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 A B C ┌ C 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 4.如果方程 的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为∠A,那么tanA的值是_______. 分析：解方程得，x=1或x=3. 情况一：1,3均为直角边. 情况二：3为斜边. 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 B A C c a b 对边 邻边 正切 概念 特殊角的正切值 课堂小结 行业PPT模板http://www.1ppt.com/hangye/ 22002 第二十六章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数 课时1 三角形的正切 22002 回顾旧知 22002 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数tanA, 知道30°, 45°, 60°角的三角函数值． 2.理解正切概念并根据正切概念正确进行计算． 学习重点：正确认识理解正切的概念，会根据边长求出正切值 学习难点：引导学生比较、分析并得出：在直角三角形中， 对任意锐角，它的对边与邻边的比值是固定的事实 学习目标 22002 思考 ： 1.函数的概念及表示函数的方法； 2.列举我们已经学习过的函数. 新课讲授 22002 如图,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数) 该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段? 学生活动一 【观察与思考】 合作探究 22002 (事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题) 这就是我们将要学习的直角三角形边角关系 22002 1.如图，在Rt△ABC中和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°.当 ∠A=∠A’时， 与 具有怎样的关系? 学生活动二 【观察与思考】 22002 (三角形相似) 引导思考: (1)如何证明线段成比例? (2)你能证明这两个直角三角形相似吗? (∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°, ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C') 22002 引导思考: (3)由三角形相似的性质可以得到 与 之间的关系吗? （Rt△ABC∽Rt△A'B'C', ∴ 22002 2.如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分别为C,C'. 与 具有怎样的关系? 在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的. 22002 思考：在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形有什么关系？在这些直角三角形中，锐角Ａ的对边与邻边的比值 , ，……有怎样的关系？由此你能得到什么结论？ 当直角三角形中一锐角确定时，其对边与邻边的比值也随之确定. 22002 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切, 记作tan A,即tan A=＝. 正切的定义 归纳总结 22002 在Rt△ABC中，∠C＝90° 思考： (1)∠B的对边和邻边分别是哪两条边， tanB等于什么？ (2)tanA与tan B之间有怎样的关系？ 练一练 22002 结论：tan B＝＝. tan A与tan B互为倒数，即tan A×tan B＝1. 归纳总结 22002 例1:在Rt△ABC中,∠C= 90°. (1)如图(1)所示,∠A=30°,求tanA,tanB 的值. (2)如图(2)所示,∠A=45°,求tanA的值. 典例精析 22002 解:(1)在Rt△ABC中, ∵∠A=30°, ∴∠B=60°,且a= c. ∴ b = = = c. ∴tan A=tan 30°== c÷ c= ， tan B=tan 60°== c ÷ c =. 22002 (2)在Rt△ABC中, ∵∠A=45°， ∴a=b. ∴tan B=tan 45°= = . 22002 特殊三角函数值： tan 30°= , tan 45°= 1 , tan 60°= . 归纳总结 22002 锐角三角函数 （第1课时） 1.正切函数定义：在直角三角形中，一锐角的对边与邻边的比，叫做这个角的正切. 2. 3.特殊角的正切值： ，， 课堂小结 22002 1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的 正切值(　　) A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 A 当堂检测 22002 2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C 在格点上，则∠ABC的正切值是( ) A．2 B. C. D. D 22002 $