25.7 相似多边形和图形的位似课件2025-2026学年 冀教版九年级数学上册

第二十五章 图形的相似 25.7 相似多边形和图形的位似 课时1 相似多边形与相似比 22002 1.通过类比相似三角形的有关知识学习相似多边形，体会类比以及由特殊到一般的数学思想方法，培养数学思维。 2.通过类比相似三角形研究相似多边形，了解相似多边形的有关概念以及判定和性质，培养抽象思维和推理能力。 学习目标 22002 请找出下图中形状相同的图形，并连线. 问题导入 这两个图形的边和角有什么关系？ 思考 22002 （1）你能类比相似三角形的概念给相似多边形下个定义吗？ 相似多边形的相似比是指什么？ （2）你能类比相似三角形说一说相似多边形的表示方法、性质和判定吗？ 学生活动一： 【一起探究】 探究新知 思考 22002 相似三角形的定义： 相似多边形的定义： 表示方法： 性质： 表示方法： 性质： 对应边成比例，对应角相等的两个三角形是相似三角形。 相似三角形对应边的比是相似比。 △ABC∽△DEF 相似三角形对应边成比例，对应角相等。 判定： 判定： 归纳总结 22002 一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。 相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等,对应边成比例. 22002 全等图形一定是相似图形吗?相似图形一定全等吗?它们之间有什么关系? 结论:全等图形是相似图形的一种特殊情况. 全等图形一定相似,相似图形不一定全等. 思考 22002 下列图形一定相似吗？为什么？ 学生活动二： 【一起探究】 探究新知 思考 22002 22002 如何判定两个多边形是否相似？ 分别观察图(1)和(2)中的两个多边形，先直观判断它们是不是相似多边形，再经过测量与计算，验证你的结论. 思考 22002 例1　如图所示，五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，求C1D1的长和∠A的度数. 学生活动三： 【一起探究】 探究新知 22002 22002 例2 如图：在AB=20m,AD=30m的矩形花坛四周修筑小路,如果四周的小路的宽均相等都是1 m,那么小路四周矩形EFGH与矩形ABCD相似吗？请说明理由。 22002 1.所谓“形状相同”,就是与图形的大小、位置无关,与摆放角度、摆放方向也无关.有些图形之间虽然只有很小的形状差异,但也不能认为是“形状相同” 2.在相似多边形中,“对应边成比例”“对应角相等”这两个条件必须同时成立时,才能说明这两个多边形是相似多边形. 归纳总结 22002 3.相似多边形的性质可以用来确定两个多边形中未知的边的长度或未知的角的度数. 4.相似比的值与两个多边形的前后顺序有关. 5.相似比为1∶1的两个相似多边形是全等多边形. 22002 1.如图过点P 的两直线EF，MN 将矩形ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P 在AC上，且AP∶PC＝AD∶AB＝4∶3，下列对于矩形是否相似的判断，正确的是(　　) A.甲、乙不相似 B.甲、丁不相似 C.丙、乙相似 D.丙、丁相似 A 练一练 22002 2.如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB＝4. (1) 求AD的长； (2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比. A B C D N M 解：（1）设AD=x，则DM= . ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似， ∴ = . ∴ = ，∴x2=32. ∴x=4或x=-4（舍去），即AD的长为4 . （2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为= . 22002 本节课我们研究了相似多边形的相关概念、性质及判定方法，请同学们带着以下问题进行总结： (1)本节课你学到了哪些知识？ (2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？ 课堂总结 22002 1. 若一个三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为(　　) A．15 B．10 C．9 D．3 C 当堂检测 22002 2.如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(　　) A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F B 22002 3.学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形作品是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形作品是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法． 22002 解：只有当矩形作品是正方形时才能做到． 理由：设原矩形作品的一边为a，另一边为b，等宽的纸边宽为c. 若要使两矩形相似，则a∶b＝(a＋2c)∶(b＋2c)， 解得a＝b，∴只有当矩形作品是正方形时才能使内外两个矩形相似． 22002 第二十五章 图形的相似 25.7 相似多边形和图形的位似 课时2 图形的位似 22002 1.通过尺规作图，了解位似图形及性质，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小，培养动手操作能力，发展几何直观. 2.通过思考作图原理，培养学生的逻辑推理能力. 3.通过作位似图形，知道位似是特殊位置下的相似，培养抽象能力. 学习目标 22002 （1）相似三角形的判定有哪些？ （2）相似图形的性质有哪些？ （3）如何做一个图形与已知图形相似？ 问题导入 思考 22002 如图所示，已知△ABC，求作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且相似比为2:1. A B C 思考 22002 A B C 做一做：如图所示，已知△ABC及△ABC外的一点O. 1.请按如下步骤画出△A'B'C'. (1)画射线OA，OB，OC. (2)分别在OA，OB，OC上截取点A'，B'，C'，使OA'=2OA，OB'=2OB，OC'=2OC. (3)连接A'B'，A'C'，B'C'，得△A'B'C'. 学生活动一： 【一起探究】 探究新知 22002 A B C 22002 1.请你判断AB与A'B'，AC与A'C'，BC与B'C'的位置关系，并说明理由. 2.△ABC与△A'B'C'相似吗？为什么？ 3.点O还可以取在哪里？试一试. 思考 22002 已知△ABC，求作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且相似比为2:1.还有其他作图方法吗？ A B C O A' B' C' 学生活动二： 【一起探究】 探究新知 22002 上述作出的相似图形，在位置上有何特殊之处呢？ 思考 22002 定义：上述图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），我们把这样的相似图形称为位似图形.对应顶点所在直线的交点叫位似中心. 这时的相似比也叫位似比. 归纳总结 22002 1.如何判断两个图形是否位似图形？ 2.如何根据位似图形寻找位似中心？ 学生活动三： 【一起探究】 探究新知 思考 22002 方法技巧：判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 位似图形有什么性质？ 思考 22002 1.位似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 2.位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心； 3.位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上； 4.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 归纳总结 22002 例：如图：点O在四边形ABCD内部，以O为位 似中心，画出四边形A'B' C'D'使四边形与四边形ABCD位似，且位似比为2. 典例精析 22002 解：画射线OA、OB、OC、OD;在射线OA、OB、OC、OD上分别取点D、E、F,使O A' = 2OA , O B' = 2OB , OC’ = 2OC , O D' = 2OD;顺次连结A' 、 B' 、 C' 、 D',则正方形ABCD与正方形A' B' C' D'位似,位似比为1：2 A' C' D' B' 22002 1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为(　　) A．(3，2)　　　B．(3，1) C．(2，2)　　　D．(4，2) A 练一练 22002 在平面直角坐标系中. 如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k. 即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)则其位似图形对应顶点的坐 标为(kx0，ky0)或 (－kx0，－ky0). 　　注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比. 22002 2.图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(　　) A．点M B．点N C．点O D．点P D 22002 本节课我们研究了位似的相关概念、性质及判断位似的方法，请同学们带着以下问题进行总结： (1)本节课你学到了哪些知识？ (2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？ 课堂总结 22002 A 1.如图，在下列四种图形变换中，该图案不包括的变换是(　　) A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 当堂检测 22002 2.如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF.若AD＝OA，则△ABC 与△DEF 的面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6 B 22002 3. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O ′是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P 的坐标为(　　) A．(0，0)　 B．(0，1)　 C．(－3，2)　 D．(3，－2) C 22002 4.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，2)，(6，4)，AC⊥x轴于点C，BG ⊥x轴于点G，分别以AC，BG为边作正方形ACDE和正方形BGMN. (1)试分别写出直线AB和直线EN对应的函数表达式； (2)求证：正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形； (3)已知点M的坐标是(10，0)，试作一个正方形，它以点M为其中一个顶点，且与已有正方形成位似图形(在下图中作出即可)． 22002 4.解：(1)设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)， 将A(3，2)，B(6，4)代入得： 解得 ∴直线AB的表达式为y＝ x ,同理求得直线EN的表达式为y＝ x .　 22002 (2)∵直线AB的表达式为y＝ x ，直线EN的表达式为 y＝ x ，它们都过原点，直线DM与直线CG都与x轴重合， ∴正方形ACDE与正方形BGMN对应顶点连线交于一点，此点为原点，且 ，因此正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形.　 (3)画图略. 22002 $