25.7 相似多边形和图形的位似（第2课时） 课件 2025-2026学年冀教版九年级数学上册

25.7　相似多边形和图形的相似 第2课时 图形的位似 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 会画位似图形，能够根据位似比的大小把一个图形放大或缩小.(难点) 学 习 目 标 1 2 理解位似图形的概念，理解位似变化是特殊的相似变化. (重点) 新课导入 在日常生活中，经常遇到一些把图形放大或缩小，但是图形的形状不改变的情形. 观察下面的图形，它们有哪些相似点？ 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 如图所示,已知△ABC及△ABC外的一点O. 请按如下步骤画出△A'B'C'. (1)画射线OA,OB,OC. (2)分别在OA,OB,OC上截取点A',B',C',使OA'=2OA,OB'=2OB,OC'=2OC. (3)连接A'B',A'C',B'C',得△A'B'C'. A' c' B' 知识讲解 ★ 位似图形的概念 【思考】 1.请你判断AB与A'B',AC与A'C',BC与B'C'的位置关系,并说明理由. 2.△ABC与△A'B'C'相似吗?为什么? 解:AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'. 理由:∵OA=AA',OB=BB', ∴AB∥A'B',同理可得AC∥A'C',BC∥B'C'. 知识讲解 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 如图所示,点O在四边形ABCD的内部,请按“一起探究”中的步骤画一个四边形A'B'C'D',使得四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似, =2,对应边互相平行,且经过每对对应点的直线相交于点O. 知识讲解 1.“一起探究”中， 的值是多少？它与点O到点A与点A′的距离的比有什么关系？ （1:2，相等.) 2.“一起探究”中的画图步骤有哪些? （画射线；确定点的位置；画出图形) 3.若使四边形的对应边 =2，那么四边形内部点O到各顶点的距离比是多少？ （2:1） 4.你能在四边形内部画出符合条件的四边形吗？ 知识讲解 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 作法:(1)连接OA,OB,OC,OD; (2)分别在OA,OB,OC,OD上取点A',B',C',D'; 使得 (3)顺次连接A',B',C',D',得四边形A'B'C'D'. A' B' C' D' 知识讲解 两个相似多边形的每对对应顶点的直线相交于一点,对应边互相平行(或在同一条直线上).我们把这样的两个图形称为位似图形,对应顶点所在直线的交点称为位似中心,这时的相似比又称位似比. 归纳： （位似图形一定是相似图形,相似图形不一定是位似图形,位似图形是特殊的相似图形) 知识讲解 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 在上面图形中，△ABC 与△A′ B′ C′是以点O 为位似中心的位似图形，且；四边形ABCD 与四边形A′ B′ C′ D′是以点O 为位似中心的位似图形，且；五边形ABCDE 与五边形A′ B′ C′ D′ E′是以点O 为位似中心的位似图形，且. 知识讲解 例1 请指出下列图形那些是位似图形？并指出位似图形图的位似中心? o P 方法技巧： 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 知识讲解 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 ★ 位似图形的性质 从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′， 则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得到了什么？ A B E C D O A′ B′ C′ D′ E′ A B C O A′ B′ C′ 知识讲解 归纳： 4. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 1. 位似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 2. 位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心； 3. 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上； 知识讲解 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 例2 如图所示，四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，相似比，四边形A′ B′ C′D′和四边形A″ B″ C″D″位似，相似比 ＝ 1. 则四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 是位似图形吗？如果是，请说明理由并求出相似比. 知识讲解 解：∵ 四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似， ∴ 四边形ABCD ∽四边形A′ B′ C′ D′ . ∵ 四边形A′ B′ C′ D′和四边形A″ B″ C″ D″位似， ∴ 四边形A′ B′ C′ D′∽四边形A″ B″ C″ D″ . ∴ 四边形A″ B″ C″ D″∽四边形ABCD. ∵ 对应顶点的连线过同一点， ∴ 四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 是位似图形. ∵ 四边形ABCD 和四边形A′ B′ C′ D′位似，相似比 ＝ 2， 四边形A′ B′ C′ D′和四边形A″ B″ C″ D″位似，相似比 ＝ 1， ∴ 四边形A″ B″ C″ D″和四边形ABCD 的相似比为 . 知识讲解 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 ★ 位似图形的画法 例3 如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2. 解：画射线OA、OB、OC； 在射线OA、OB、OC上分别取点D、E、F，使OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC； 顺次连结D、E、F,使△DEF与△ABC位似，相似比为2. 想一想：你还有其他的画法吗？ A B C F E D O 知识讲解 思考：上面点 O取在两个三角形的同侧，如果点 O在两个三角形之间呢？能不能画出这时的图形? 知识讲解 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 解：画射线OA、OB、OC; 沿着射线OA、OB、OC反方向上分别取点D、E、F,OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC; 顺次连结D、E、F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2. A B C O E F D 知识讲解 画位似图形的一般步骤： 归纳： （1）确定位似中心； （2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长； （3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点； （4）按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 知识讲解 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 随堂训练 2.位似图形上某一对对应点到位似中心的距离分别为5和10，则它们的位似比为__ _. 1:2 1.△ABC和△A‘B’C‘是位似图形,且位似之比为1∶3,则△ABC和△A'B'C'的对应边AB和A'B'的比为 (　　) A.3∶1 B.1:3 C.1 :9 D.1 : 27 B 随堂训练 3.已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2且与它位似的正方形. A B C D E H G F O 解：画射线OA、OB、OC、OD;在射线OA、OB、OC、OD上分别取点D、E、F,使OE = 2OA , OF = 2OB , OG = 2OC , OH = 2OD;顺次连结E、F、G、H,使正方形ABCD与正方形EFGH位似,位似比为1：2 随堂训练 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 4.如图所示，四边形ABCD的一个位似图形是四边形A′ B′ C′ D′ ，且A,B,C,D的对应点分别是A′ ,B′ ,C′ ,D′. 图中给出了AB的对应边A′ B′所在的位置，请把四边形A′ B′ C′ D′其余部分补画上. 解：（1）连接AA′，BB′，相交于点O，则点O 为位似中心； （2）作射线CO，DO ； （3）分别过点A′，B′作A′ D′∥AD 交射线DO 于点D′，B′ C′∥ BC 交射线CO 于点C′ ； （4）连接C′D′，四边形A′ B′ C′D′即为所要画的图形（如图所示）. 随堂训练 5.如图所示,在8×8的网格中建立直角坐标系,每个小方格的顶点叫做格点.△ABC的顶点都在格点上,坐标分别A(1,1),B(4,1),C(3,2),以原点O为位似中心,在网格中作出△ABC的位似图形△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC的位似比是2∶1. 解:所画图形如图所示, 其中△A'B'C'即为所求. A' B' C' 随堂训练 在三角形中线的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如连续化等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在棱锥表面积中体现为能够灵活地绘制。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。对角线数量的教学重点应该放在如何模拟化上。 课堂小结 位似图形的概念 及画法 定义 性质 作位似图形：关键是确定位似中心、相似比和找关键点的对应点. ① 两个图形相似. ②对应点的连线相交于一点，对应边互相 平行或在同一直线上. ③任意一对对应点到位似中心的距离之比 等于相似比. 画法 两个相似多边形的每对对应顶点的直线相交于一点,对应边互相平行(或在同一条直线上).我们把这样的两个图形称为位似图形,对应顶点所在直线的交点称为位似中心,这时的相似比又称位似比. $