3.2.1双曲线及其标准方程练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1　双曲线及其标准方程 班级： 姓名： 1.双曲线-=1的焦点坐标是 (　 ) A.(±,0) B.(0,±) C.(±5,0) D.(0,±5) 2.方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数k的取值范围为 (　 ) A.(-∞,1) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 3.M是双曲线-=1上一点, F1,F2是双曲线的左、右焦点,若|MF1|=5,则|MF2|= A.9或1 B.1 C.9 D.9或2 4.以椭圆+=1的长轴的两个端点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为 (　 ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 5.若F1,F2分别是双曲线8x2-y2=8的左、右焦点,点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,则△PF1F2的周长为 (　 ) A.17 B.16或12 C.20 D.16或20 6.(多选题)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(1,0),点M是平面内的一个动点,则下列说法正确的是 (　 ) A.若|||-|||=1,轨迹是双曲线 B.若||+||=2,轨迹是椭圆 C.若||=||,轨迹是一条直线 D.若·=2,轨迹是圆 7.方程=4的化简结果为　　　　　.   8.分别求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为(0,-6),(0,6),且过点A(-5,6); (2)经过点M,N,且焦点在坐标轴上; (3)与双曲线-=1有相同的焦点,且过点(3,2). 9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,动点P与点在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=12,|PF1|·|PF2|=32,则该双曲线的标准方程为　　　　　　.  10.已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,若|AB|=2,则△ABF1的周长为 (　 ) A.12 B.14 C.10 D.8 11.已知F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,点A是双曲线C上一点,且F1A⊥F2A,则点A到x轴的距离为 (　 ) A. B. C. D. 12.已知P是双曲线-=1上的一点,M,N分别是圆(x-5)2+y2=和圆(x+5)2+y2=上的点,则|PM|-|PN|的最大值为　　　　.  13.已知曲线C:-=1(m≠-3且m≠1). (1)若曲线C表示双曲线,求m的取值范围; (2)若m=0,点P在曲线C上,且点P在第一象限,F1(-2,0),F2(2,0),PF1⊥PF2,求点P的横坐标. 3.2.1　双曲线及其标准方程参考答案 1.C　[解析] 由-=1,可得a=4,b=3,∴c==5,故双曲线-=1的焦点坐标是(±5,0).故选C. 2.A　[解析] 由于方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则解得k<1,故选A. 3.C　[解析] 由-=1,得所以 由双曲线的定义可知||MF1|-|MF2||=2a=4,所以|MF2|=1或9,又|MF2|≥c-a=2,所以|MF2|=9.故选C. 4.C　[解析] 椭圆+=1的长轴的两个端点为(5,0),(-5,0),焦点为(4,0),(-4,0),所以双曲线的焦点坐标为(5,0),(-5,0),顶点坐标为(4,0),(-4,0),则双曲线的焦点在x轴上,且c=5,a=4,所以b2=c2-a2=9,所以双曲线的方程为-=1.故选C. 5.D　[解析] 双曲线8x2-y2=8的标准方程为x2-=1,所以a=1,c=3,|F1F2|=2c=6.因为点P在该双曲线上,且△PF1F2是等腰三角形,所以|PF1|=|F1F2|=6或|PF2|=|F1F2|=6.不妨设点P在双曲线的右支上,当|PF1|=6时,根据双曲线的定义有|PF2|=|PF1|-2a=6-2=4,所以△PF1F2的周长为6+6+4=16;当|PF2|=6时,根据双曲线的定义有|PF1|=|PF2|+2a=6+2=8,所以△PF1F2的周长为6+6+8=20.故选D. 6.ACD　[解析] 因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.对于A,因为|||-|||=1<|AB|,所以点M是以A,B为焦点的双曲线,故A正确;对于B,因为||+||=2=|AB|,所以点M的轨迹为线段AB,故B错误;对于C,设M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),因为||=||,所以=,整理得x=0,所以点M的轨迹是一条直线,故C正确;对于D,因为·=(-1-x)(1-x)+(-y)2=2,即x2+y2=3,所以点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,故D正确.故选ACD. 7.-=1　[解析] 根据|-|=4,可得点(x,y)到点F1(-,0),F2(,0)的距离之差的绝对值为4,又4<2,所以由双曲线的定义知,点(x,y)的轨迹是以F1(-,0),F2(,0)为焦点的双曲线,且2a=4,所以a=2,c=,所以b2=c2-a2=2,其方程为-=1. 8.解:(1)由已知得c=6,且双曲线的焦点在y轴上.因为点A(-5,6)在双曲线上,所以2a=|-|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20, 所以所求双曲线的标准方程是-=1. (2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0. 因为点M,N在双曲线上,所以解得 故双曲线的标准方程为-=1. (3)设双曲线的方程为-=1(-4<λ<16), 因为双曲线过点(3,2),所以-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去), 所以双曲线的标准方程为-=1. 9.-=1　[解析] 因为(|PF1|-|PF2|)2=(|PF1|+|PF2|)2-4|PF1|·|PF2|=16,所以||PF1|-|PF2||=4=2a,所以a=2.因为点在双曲线上,所以-=1,解得b2=5,故双曲线的标准方程为-=1. 10.A　[解析] 由题可得2a=4,由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=4,因为|AF2|+|BF2|=|AB|=2,所以|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|-|AF2|+|BF1|-|BF2|+2|AB|=4+4+4=12,所以△ABF1的周长为12.故选A. 11.C　[解析] 由双曲线的方程可知a=3,b=,c==4.不妨设A(x0,y0)位于第一象限,如图所示.∵F1A⊥F2A,∴|F1A|2+|F2A|2=|F1F2|2,即(|F1A|-|F2A|)2+2|F1A|·|F2A|=|F1F2|2,由双曲线的定义知|F1A|-|F2A|=2a=6,又|F1F2|=2c=8,∴|F1A|·|F2A|=14,∴=|F1A|·|F2A|=|F1F2|·y0=4y0=7,解得y0=,即点A到x轴的距离为.故选C. 12.8　[解析] 圆(x+5)2+y2=的圆心为F1(-5,0),半径r1=,圆(x-5)2+y2=的圆心为F2(5,0),半径r2=.在双曲线-=1中,a=3,b=4,则c=5,则F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,如图,易知|PM|max=|PF2|+r2,|PN|min=|PF1|-r1,所以(|PM|-|PN|)max=|PF2|+r2-(|PF1|-r1)=2a+r1+r2=8. 13.解:(1)若曲线C:-=1表示双曲线, 则(3+m)(1-m)>0,解得-3<m<1,故m的取值范围是-3<m<1. (2)当m=0时,曲线C:-y2=1为双曲线,设P(s,t),s>0,t>0,则-t2=1, 因为PF1⊥PF2,所以·=(-2-s,-t)·(2-s,-t)=s2-4+t2=s2-4+-1=0,可得s=, 所以点P的横坐标为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $