专题01 三角形的认识 3大高频考点（期中真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期

专题01 三角形的认识 3大高频考点概览 考点01 三角形及边角性质 考点02 三角形“三线” 考点03 定义、命题与证明 地 城 考点01 三角形及边角性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和为求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 故选∶C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键在于掌握三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形的三边关系得，， ， 由选项可知，只有C选项符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（   ） A．2，2，5 B．2，4，6 C．3，6，7 D．4，7，13 【答案】C 【分析】此题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握．只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； B、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； C、，能组成三角形，故此选项正确，符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）一个三角形三个内角的度数之比为，这个三角形一定是（    ） A．任意三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解一元一次方程等知识点，根据三角形内角和等于计算即可，熟练掌握三角形内角和等于是解决此题的关键． 【详解】设三角形的三个内角的度数分别为、、， ∴， 解得，， ∴， ∴这个三角形一定是直角三角形， 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角，根据角的和差关系求出，根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴； 故选B． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期中）的三边长分别为，，c的值为整数，则c的取值可能是（ ） A．1 B．3 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，第三边的范围是：大于两边的差而小于两边的和．根据三角形三边关系定理可得，进而求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 解得：． 观察四个选项，可能是6， 故选：C． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等． 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，又由于折叠前后图形的形状和大小不变，，易求，从而根据三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则， ∵是的外角， ∴． 故选：B． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理．连接，设与交于点M，在中，利用三角形内角和定理，可求出，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出的度数． 【详解】解：连接，设与交于点M，如图所示． 在中，， ∴ ． 又∵，，， ∴． 故选：B． 二、填空题 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在△ABC中，如果，则 °． 【答案】40 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 先根据角的比设出各角的度数，再利用三角形的内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵， 设， ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：40． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查三角尺的角度，三角形的外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答． 【详解】解：如图，，， ∴． 故答案为： 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查三角形的外角性质，延长交于点E，由三角形外角的性质可得，，进而可得． 【详解】解：延长交于点E，如图所示： ∵是的一个外角， ∴， 又∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如果一个三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠C＝ °． 【答案】125或110/110或125 【分析】根据“准互余三角形”的定义知，或，即可求出的度数，从而得出答案． 【详解】解：是“准互余三角形”， ， ，或， ， ，或， ，或， 故答案为：125或110． 三、解答题 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点D在上，点E在上，相交于点O． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出，根据三角形内角和定理求出的度数； （2）根据三角形的外角性质证明即可． 本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）解：猜想， 理由如下：，， ． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知在中，a，b，c分别为的三边． (1)若，，求a的取值范围． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值： （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】（1）解：∵a，b，c分别为的三边，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 15．（24-25八年级上·浙江金华·期中）（1）在中，，，．求的取值范围； （2）若三角形中有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，则这个三角形叫“三倍角三角形”．已知是三倍角三角形，且，求中最小内角的度数． 【答案】（1）；（2）或 【分析】此题考查了三角形的三边关系、三角形的内角和定理、一元一次方程等知识． （1）根据三角形三边关系得到，解不等式组即可； （2）求出，设最小角为，分两种情况分别列方程并解方程即可． 【详解】（1）， 即， （2）∵， ∴， 设最小角为， ①，解得 ②，解得 即中最小内角的度数为或． 16．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 17．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）【概念学习】 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． 【概念理解】 （1）判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． （2）若，求证：为“智慧三角形”． 【概念应用】 （3）当为“智慧三角形”时，求出的度数． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）证明见解析； （3）或或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余求出，再证明即可； （2）求出的度数，得到即可求证； （3）由可得，再分，，，，，，六种情况解答即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“智慧三角形”； （2）∵，， ∴， ∴， ∴为“智慧三角形”； （3）∵， ∴， 当为“智慧三角形”时，分以下几种情况讨论： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∵， ∴此种情况不存在； ③当时， 则， ∴， ∴； ④当时， ∴， ∴， ∴； ⑤当时， ∴， ∴； ⑥当时， 则， ∴， ∴此种情况不存在； 综上，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或． 地 城 考点02 三角形“三线” 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在 中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念及三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解题的关键，根据三角形边上高的定义即可判定，从而得到答案． 【详解】解：根据高的定义：边上的高，垂足应在边上，或线段的延长线或反向延长线上，且经过顶点， 符合条件的是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，用三角板作钝角的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的作法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形作高的方法依次判断即可． 【详解】解：A、作的是边上的高，此选项符合题意； B、三角板未过A点，故作的不是高，此选项不符合题意； C、作的是边上的高，此选项不符合题意； D、作的是边上的高，此选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，和三角形中线的性质，作出正确的辅助线是解此题的关键．连接，由与等高，，可得到．又因为与等底等高，故可得，从而，又与等底等高，即可得出阴影部分的面积． 【详解】连接， ，的面积为3 ， ，的面积为， ， ， 与等底等高， ， 图中阴影部分的面积为9， 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中线的性质：平分三角形的面积． 根据三角形中线的性质得到的面积的面积，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， 的面积的面积， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江·期中）在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等，解题关键是熟练运用这些知识点． 根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断①正确；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据等角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断③，所以错误，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明平分， ∴③不正确； ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴ ∴， 即， ∴④正确； 综上，正确的结论为①②④，共3个． 故选：C． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（   ） A．10 B．9 C．8.5 D．7.5 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角形的中线求面积问题，熟练掌握和运用利用三角形的中线求面积的方法是解决本题的关键．根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解． 【详解】解：点为的中点，的面积为20， ， 点为的中点， ， 点为的中点， ，， 四边形的面积为， 故选：D 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②③④， 故选：． 二、填空题 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，于点，平分交于点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形内角和定理，利用垂直的定义得到，再根据三角形内角和计算出，接着利用角平分线的定义得到，然后计算即可． 【详解】解：， ， ， 平分， ∴， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为4，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， 是的中线， ， 的面积为 的面积是， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键； 根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可. 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：22. 11．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为：， 故答案为： ． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质、角平分线的定义；由折叠得和，由题意得和，根据，即可求得． 【详解】解：由折叠的性质得到：，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 13．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要查了三角形的面积．直接根据，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，三角形被分成7块面积相等的小三角形，其中，，则的长度为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意易得：，从而可得，进而可得；然后根据同理可得：，从而可得，再根据同理可得：，即可解答． 【详解】解：∵三角形ABC被分成7块面积相等的小三角形， ∴， ∴， ∴； 同理可得：， ∴， 同理可得： ， ∴， 故答案为：30． 三、解答题 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知，中，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角与内角的关系及角平分线的定义．利用三角形的内角和定理依次求出、、的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用三角形的外角与内角的关系得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，．求和的大小． 【答案】， 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线、高线及直角三角形的性质，熟练掌握三角形的角平分线、高线及直角三角形的性质是解题的关键． 先根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，然后根据垂直得到的度数，然后根据解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵于点D，， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，正方形网格图中，每个小方格（都为正方形）的边长为1．的三个顶点都在格点上， (1)画出的中线； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【分析】此题考查了画三角形中线以及性质，利用割补法求三角形面积， （1）根据三角形中线的定义画出图形； （2）求出的面积，然后根据三角形中线的性质可得结论． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）∵的面积 ∵是的中线， ∴的面积． 18．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分，，． (1)求的度数． (2)小明认为不需要知道，的度数，只需要知道的度数，在其他条件不变的情况下，也能得出度数．你认为可以吗?若能，请你求解当时的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质求出，最后利用垂直的定义和三角形内角和定理即可求出的度数； （2）同（1），利用三角形内角和定理、外角的性质可得，进而求出的度数． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）能，求解过程如下： ∵在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，． 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是边上的高． (1)若是的平分线，，，求的度数； (2)若是边上的中线，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形面积、三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，再由角平分线性质求出的度数，三角形外角与内角的关系可求出的度数，在直角三角形中进而求出的大小． （2）根据三角形中线平分三角形的面积，得出，再结合即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， 是边上的高， ， ． （2）解：是边上的中线，， ， ，， ． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3)为或或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角平分线得到，，最后根据，即可解答； （2）根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可解答； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 点为三条内角平分线交点， ，， （2）解：不变，理由如下： 点为三条内角平分线交点， ，， ； （3）解：设， ， ， ∵平分， ， ∵平分， ∴， ， ， ，， ， ． 在中有一个角是另一个角的2倍， ①若，则 解得： ②若，则，解得： ③若，则，解得：， ④若，则，解得： 在中有一个角是另一个角的2倍时，为或或． 地 城 考点03 定义、命题与证明 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．根据命题的定义分别进行判断即可． 【详解】解：、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； 、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； 、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； 、在线段上取点C，使为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查的知识点是命题与定理，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 说明某命题为假命题，可举反例，但反例要满足命题的条件，不符合结论．再根据选项解答即可． 【详解】解：A、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故A选项不符合题意； B、不满足条件“与互补”，也不满足结论，故B选项不符合题意； C、满足条件“与互补”，不满足结论“”， 故C选项符合题意； D、不满足条件“与互补”， 也不满足结论，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断； 利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】A． 两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B． 周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为 3、4、5 的三角形和一个边长为 4、4、4 的三角形，它们的周长都是 12，但它们不是全等三角形，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C． 若，两边同时平方可得，该命题是真命题，故该选项符合题意； D． 若，则x可以是大于 0 的数，也可以是小于 0 的数（例如时，），所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了举反例判断命题真假．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项． 【详解】解：对于命题“若 则 ”，能说明它属于假命题的反例是： ，，，但 ． 故选： B． 二、填空题 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）要说明命题“若，则，”是假命题，则 ， ． 【答案】 2（答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了真假命题，反证法，解题关键是能够运用反证法证明一些命题的真假； 可先假设命题为真命题，再举出反例，推翻假设，进而得出结论． 【详解】解：假设若，则，是真命题， 当，时，，但，， 所以假设不成立， 所以命题为假命题． 故答案为：2， (答案不唯一) 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）给出下列命题：①直角都相等；②若且，则；③一个角的补角大于这个角．其中为真命题的有 ．（填写序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据直角的定义对①进行判断；根据有理数的性质对②进行判断；根据补角的定义对③进行判断． 【详解】解：直角都相等，所以①正确； 若且，则，所以②正确； 一个角的补角不一定大于这个角，所以③错误． 故答案为①②． 三、解答题 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）【探究】如图①所示，和的平分线交于点 O，经过点O 且平行于，分别与、交于点 E、G． (1)若，，则 ， ； (2)若，求的度数． (3)如图②所示，和的平分线交于点 O，经过点O且平行于，分别与、 交于点 E、G．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)30，125 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理和平行线的性质计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解； （3）由角平分线的定义可得，，结合题意可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵和的平分线交于点 O， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵和的平分线交于点 O， ∴，， ∵ ； （3）解：∵和的平分线交于点 O， ∴，， ∵，， ∴由可得：， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的认识 3大高频考点概览 考点01 三角形及边角性质 考点02 三角形“三线” 考点03 定义、命题与证明 地 城 考点01 三角形及边角性质 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（   ） A．2，2，5 B．2，4，6 C．3，6，7 D．4，7，13 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）一个三角形三个内角的度数之比为，这个三角形一定是（    ） A．任意三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期中）的三边长分别为，，c的值为整数，则c的取值可能是（ ） A．1 B．3 C．6 D．7 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在△ABC中，如果，则 °． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为 ． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，则的度数为 ． 12．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如果一个三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝20°，则∠C＝ °． 三、解答题 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点D在上，点E在上，相交于点O． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知在中，a，b，c分别为的三边． (1)若，，求a的取值范围． (2)化简：． 15．（24-25八年级上·浙江金华·期中）（1）在中，，，．求的取值范围； （2）若三角形中有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，则这个三角形叫“三倍角三角形”．已知是三倍角三角形，且，求中最小内角的度数． 16．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 17．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）【概念学习】 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． 【概念理解】 （1）判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． （2）若，求证：为“智慧三角形”． 【概念应用】 （3）当为“智慧三角形”时，求出的度数． 地 城 考点02 三角形“三线” 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在 中，边上的高为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，用三角板作钝角的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（   ） A．7 B．8 C．9 D． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（24-25八年级上·浙江·期中）在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（   ） A．10 B．9 C．8.5 D．7.5 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，于点，平分交于点．若，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，若的面积为4，则的面积为 ． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 11．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为 ． 12．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则 ． 13．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，则长为 ． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，三角形被分成7块面积相等的小三角形，其中，，则的长度为 ． 三、解答题 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知，中，平分，，，求的度数． 16．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，．求和的大小． 17．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，正方形网格图中，每个小方格（都为正方形）的边长为1．的三个顶点都在格点上， (1)画出的中线； (2)求的面积． 18．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，平分，，． (1)求的度数． (2)小明认为不需要知道，的度数，只需要知道的度数，在其他条件不变的情况下，也能得出度数．你认为可以吗?若能，请你求解当时的度数；若不能，请说明理由． 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是边上的高． (1)若是的平分线，，，求的度数； (2)若是边上的中线，，，求． 20．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 地 城 考点03 定义、命题与证明 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（  ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）要说明命题“若，则，”是假命题，则 ， ． 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）给出下列命题：①直角都相等；②若且，则；③一个角的补角大于这个角．其中为真命题的有 ．（填写序号） 三、解答题 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）【探究】如图①所示，和的平分线交于点 O，经过点O 且平行于，分别与、交于点 E、G． (1)若，，则 ， ； (2)若，求的度数． (3)如图②所示，和的平分线交于点 O，经过点O且平行于，分别与、 交于点 E、G．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $