第一章特殊的平行四边形---正方形专题训练 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

参考答案 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】B 8.【答案】B 9.【答案】D 10.【答案】C 11.【答案】1：2 12.【答案】(3,10 13.【答案】3V2-4 14.【答案】2+25 15.【答案】16或4V5 16.【答案】【小题1】 在正方形ABCD中，AD⊥CD,GELCD,·∠ADE=∠GEC=90°，·AD/GE, :∠DAG=EGH. 【小题2】 AH⊥ER理由如下：连接GC交EF于点O.:BD为正方形ABCD的对角线，·∠ADG=∠CDG=45° 又：DG=DG,AD=CD,·△ADG兰·CDG(SAS),·∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中， ∠ECF=90°，又：GE⊥CD,GF⊥BC,·四边形FCEG为矩形，·OE=OC,·∠OEC=∠OCE ,·∠DAG=∠OEC(1)得∠DAG=∠EGH,·∠EGH=∠OEC, ·∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90o,·∠GHE=90°，·AH⊥EF. 第1页，共1页 G 17.【答案】证明：(1)：四边形ABCD是菱形， :AD//BC,∠BAD=2∠DAC,∠ABC=2∠DBC, ·∠BAD十∠ABC=180o, :∠CAD=∠DBC, ·∠BAD=∠ABC, 2∠BAD=180°，：∠BAD=90°， ·四边形ABCD是正方形： (②)：四边形ABCD是正方形， :AC L BD,AC=BD.CO=AC,DO=BD, ·∠C0B=∠D0C=90°，C0=D0, :DH⊥CE,垂足为H, ·∠DHE=90°，∠EDH十∠DEH=90°， :∠EC0+∠DEH=90°， ·∠ECO=∠EDH, I∠ECO=∠EDH 在△ECO和△FDO中， CO=DO ∠C0E=∠DOF=90· ·△EC0≌△FDO(ASA, .0E=OF 18.【答案】(1)证明：过0作0H⊥AB于H点， A 心 D G 第1页，共1页 :OF⊥AC于点F,OG⊥BC于点G, :∠0GC=∠0FC=90°· :∠C=90o, :四边形OGCF是矩形. :AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的角平分线，OF⊥AC,OG⊥BC, :OG=0H=0F, 又四边形OGCF是矩形， :四边形OGCF是正方形： (②)解：在Rt△ABC中， :∠BAC=60°， :∠ABC=90°-∠BAC=90°-60°=30°， AC=AB :AC=4, ·AB=2AC=2×4=8, AC2+BC2=AB2, BC=V82-4=45, 在Rt△AOH和Rt△AOF中， 10H=0F, LOA-OA :Rt△AOH≌Rt△AOF(HL) ·AH=AF, 同理BH=BG, 设正方形OGCF的边长为x, AH=AF=4-X BH=BG=4V3-x" :4-x+4y3-x=8 :x=2V5-2' 即正方形0GCF的边长为25-2 第1页，共1页 19.【答案】解：(1)BE=AG. 理由：：AF⊥BE ·∠AFE=∠0AG+∠AEF=90°. :四边形ABCD是正方形， ·AC⊥BD,AO=BO, :∠A0G=∠0AG+∠AG0=90°， ·∠AEF=∠AG0. 在△AOG和△BOE中， ∠A0G=∠B0E=90° ∠AG0=∠BEO, AO=BO, ·△AOG≌△BOE, ·AG=BE (②)：△A0B是等腰直角三角形，且AB=3V2, B0=3. :0E=1, ·AB=3+1=4,由勾股定理，得BE=V32+12=V10, :SABE=吉BE·AF=专AE·OB, 号×V10×AF=是×4×3， ·AF=厘 20.【答案】证明：(1)：四边形ABCD是正方形， ·AD=CD=BC,∠ADC=∠DCB=90°， :AF⊥DE, ·∠APD=∠DPF=90°， ·∠ADP+∠DAF=90o，∠ADP+∠EDC=90°， ·∠DAF=∠EDC, 在△ADF和△DCE中， 第1页，共1页 I∠DAF=∠EDC AD=CD 、∠ADF=∠DCE ·△ADF≌△DCE(ASA: ·DF=CE, EC=BC'BC=DC DF=DC' ·F点为DC的中点： (②)延长PE到N,使得EN=PP,连接CN, D B 由(1)可得∠AFD=∠DEC, &∠CEN=∠CFP, 又：E,F分别是BC,DC的中点， CE=CF, :在△CEN和△CFP中 CE=CF ∠CEN=∠CFP EN-PF ·△CEN≌△CFP(SAS: ·CN=CP,∠ECN=∠PCF, :∠PCF+∠BCP=90o, ·∠ECN+∠BCP=∠NCP=90o, :△NCP是等腰直角三角形， PN=PE+NE=PE+PF=V2PC' :.PF=V2PC-PE=8-6=2 第1页，共1页 21.【答案】解：(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ·BC=DC,∠B=∠ADC=∠FDC=90°. (EB=FD, ∠B=∠FDC 在△CBE和△CDF中， BC-DC ·△CBE≌△CDF(SAS,·CE=CF. (②)由(1)知△CBE兰△CDF,·∠BCE=∠DCF, ·∠BCE十∠ECD=∠DCF+∠ECD, 即∠ECF=∠BCD=90°， 又：∠GCE=45°，·∠GCF=∠GCE=45°， CE=CF ∠GCE=∠GCF 在△ECG和△FCG中， GC-GC ÷△ECG≌△FCG(SAS), .GE-GF-DG+DF-DG+BE-5+3-8. 22.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°， 在△ABP和△CBP中， (AB=BC ∠ABP=∠CBP APB-PB ·△ABP≌△CBP(SAS, ·PA=PC, PA=PE, PC=PE; (2)由(1)知，△ABP≌△CBP, ·∠BAP=∠BCP, ·∠DAP=∠DCP, PA=PE, ·∠DAP=∠E, ·∠DCP=∠E, :∠CFP=∠EFD(对顶角相等)， 第1页，共1页 .180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E, 即∠CPF=∠EDF=90°； ·∠CPE=90o, (3在菱形ABCD中，AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°， 在△ABP和△CBP中， (AB=BC ∠ABP=LCBP, APB-PB ·△ABP≌△CBP(SAS, ·PA=PC,∠BAP=∠BCP, ·∠DAP=∠DCP, PA-PE, ·PC=PE,∠DAP=∠AEP, ·∠DCP=∠AEP :∠CFP=∠EFD(对顶角相等)， ·180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP, 即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°， ·△EPC是等边三角形， 2.PC=CE, ·AP=CE. 23.【答案】解：(1)四边形EFGH是菱形 证明：如图，连接AC、BD,:∠APB=∠CPD, ·∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠APC=∠BPD, (AP=BP, ∠APC=∠BPD, 在△APC和△BPD中， PC=PD, :△APC≌△BPD(SAS,·AC=BD, :点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， :EF=AC,FG=专BD,EH=专BD,GH=克AC, ·EF=FG=GH=EH,·四边形EFGH是菱形. 第1页，共1页 D (②)四边形EFGH是正方形. 理由：如图，设AC、BD交于点O,AC与PD交于点M,AC与EH交于点N, :△APC≌△BPD,·∠ACP=∠BDP, :∠CPD=90°，÷∠PDC+∠PCD=90°，·∠ODC+∠0CD=90°， :∠C0D=90°，AC⊥BD, :EH//BD,AC//HG,÷EH⊥HG,即∠EHG=90°， :四边形EFGH是菱形，·四边形EFGH是正方形. 24.【答案】解：（1)证明：过点P作FG//DC分别交AD,BC于点F,G 、D B G 图1 易得∠PFD=∠CGP=90°， :BD为正方形ABCD的对角线， ·∠BDF=∠FPD=45°： ·PF=FD 又：FG//DC,FD/GC,∠ADC=90, :四边形FGCD为矩形. DF=CG 第1页，共1页 PF=CG :PE⊥PC, :∠FPE+∠GPC=90°： :∠FEP+∠FPE=90°， ·∠FEP=∠GPC ·在△PFE和△CGP中， I∠PFE=∠CGP, ∠FEP=∠GPC PF=CG, ·△PFE≌△CGP(AAS) ·PE=CP (②)成立理由： 如图2，过点P作FG//DC分别交AD,BC于点F,G B 图2 同理可证△PFB兰△CGP(AAS): PE=PC. 25.【答案】解：(1)BG=DE,BG⊥DE理由如下： 如图①)，因为四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， 所以BC=DC,∠BCG=∠DCE=90°，CG=CE, 所以△BCG兰△DCE,所以BG=DE,∠1=∠2， 延长BG交DE于点H. 因为∠1+∠CGB=90°，∠1=∠2，∠CGB=∠DGH, 第1页，共1页 所以∠2+∠DGH=90°，所以∠DHG=90°. 所以BH⊥DE,即BG⊥DE. 图① 图② (2)BG=DE,BG⊥DE仍然成立. 证明：如图②，设BG与DE相交于点O,DC与BG相交于点H· 因为四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形， 所以BC=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°. 所以∠BCG=∠DCE.所以△BCG兰△DCE, 所以BG=DE,∠CBG=∠CDE, 又因为∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90, 所以∠CDE+∠DH0=90°， 所以∠DOH=90所以BG⊥DE, 26.【答案】解：()55 (②)过点G作GH1AB交其延长线于点H, 2 :四边形ABCD和BEFG都是正方形 :BE=BG,∠ECB=∠GHB=90°，∠ABC=∠EBG=90°， ·∠EBC十∠CBG=∠GBH十∠CBG ·∠EBC=∠GBH 在△ECB和△GHB中 第1页，共1页 2025年北师大九年级上册第一章特殊的平行四边形---正方形专题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在正方形的外侧，作等边三角形，，相交于点，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 第3题图 第2题图 第1题图 2.如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，，，，要使四边形为正方形，则需添加的条件是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.如图，正方形的边长为，连接，，平分交于点，则的长是  (    ) A. B. C. D. 4.如图，将一边长为的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为  (    ) A. B. C. D. 第5题图 第4题图 第6题图 5.如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为(    ) A. B. C. D. 6.如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是(    ) A. B. C. D. 不能确定 7.如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为(    ) A. B. C. D. 第10题图 第9题图 第8题图 第7题图 8.如图，在边长为的正方形中，，分别是边，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，正方形的边长为，为与点不重合的动点，以为一边作正方形设，点，与点的距离分别为，，则的最小值为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在矩形中，，分别是边，的中点，，分别是边，的中点．当          时，四边形是正方形． 第14题图 第13题图 第11题图 第12题图 12.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为          ． 13.如图，在正方形中，点，分别是，上的点，与相交于点，连接交于点，若，，，则的面积为          ． 14.如图，将边长为的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点与点重合，与交于点，取的中点连接，则的周长最小值是______． 15.如图，正方形的边长是，点在边上，，点是边上不与点，重合的一个动点，把沿折叠，点落在处若恰为等腰三角形，则的长为          ． 第15题图 三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分如图，在正方形中，是对角线上的一点与点，不重合，，，，分别为垂足．连接，，并延长交于点． 求证：； 判断与是否垂直，并说明理由． 17.本小题分 已知：如图，菱形的对角线与相交于点，若． 求证：四边形是正方形． 是上一点，，垂足为，与相交于点，求证：． 18.本小题分如图，在中，两锐角的平分线，相交于，于，于． 求证：四边形是正方形． 若，，求正方形的边长． 19.本小题分如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点． 与相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． 求的长． 20.本小题分如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连． 若点为的中点，求证：点为的中点； 若点为的中点，，，求的长． 21.本小题分如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，． 求证： 若点在边上，且，，，求的长． 22.本小题分如图，在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于点，连接．    求证：； 求的度数； 如图，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 23.本小题10分我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． 如图，点是四边形内一点，且满足，，，点、、、分别为边、、、的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想 若改变中的条件，使，其他条件不变，直接写出中点四边形的形状不必证明． 【思维拓展】 24.本小题分正方形的边长为，点在对角线上，点是线段上或的延长线上的一点，且． 如图，点在线段上，求证：． 如图，点在线段的延长线上，请补全图形，并判断中的结论是否仍然成立请说明理由． 25.本小题分如图，四边形是正方形，是边上的一个动点点与点、不重合，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 猜想图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系，并说明理由 将图中的正方形绕着点按顺时针或逆时针方向旋转任意角度，得到如图、的情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断． 26.本小题分在边长为的正方形中，点在边所在直线上，连接，以为边，在的下方作正方形，并连接．      图                                                       图 如图，当点与点重合时，__________________； 如图，当点在线段上时，，求的长； 若，请直接写出此时的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025年北师大九年级上册第一章特殊的平行四边形-正方形专题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则LBFC的度数为() A.45° B.55° C.60° D.75° E 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，点E,F分别是AD,BC的中点，点M,N分别是AC,BD的中点， 连接EM,MF,FN,NE,要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是() A.AB=CD,AB⊥CD B.AB=CD,AD=BC C.AB=CD,AC L BD D.AB=CD,AD//BC 3.如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC,BD,CE平分LACD交BD于点E,则DE的长是() A.2-√2 B.22-1 c.2 D.2v2-2 4.如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E,使DE=5,折痕为PQ,则PQ 的长为() A.12 B.13 C.14 D.15 4 D E B D B 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E,F分别在边AB,CD上，∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠， 点B恰好落在AD边上，则BE的长度为() A.1 B.√2 C.V3 D.2 第1页，共7页 6.如图，正方形ABCD和正方形EFG0的边长都是1，正方形EFG0绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面 积是() A号 B号 cy D.不能确定 7.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC=8,CE=4,H是AF的中点，那么CH的长为 () A.4W10 B.2V10 C.4v7 D.2V7 A D A D E G F 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，在边长为2W2的正方形ABCD中，E,F分别是边AB,BC的中点，连接CE,DF,G,H分别是CE, DF的中点，连接GH,则GH的长为() A.V2 B.1 C.2 D号 9.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE=CF,连接BF、DE,则 BF+DE的最小值为() A.V12 B.V√20 C.V48 D.V80 10.如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F, G与点C的距离分别为d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为() A.√2 B.2 C.2W2 D.4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD,BC的中点，E,F分别是边BM,CM的中点.当AB:AD=时， 四边形MENF是正方形 D O M D G H AO B B E G 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第2页，共7页 12.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-2,0)，点E在边CD上.将△BCE 沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(O,6,则点E的坐标为 13.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD上的点，AE与BF相交于点G,连接AC交BF于点H,若CE= DF,BG=GH,AB=2,则△CFH的面积为一 14.如图，将边长为4的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF 交于点P,取GH的中点Q连接PQ,则△GPQ的周长最小值是」 15.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点， 把△EBF沿EF折叠，点B落在B'处.若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为· 第15题图 三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分)如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B,D不重合），GE1CD,GF1BC, E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H. (1求证：∠DAG=∠EGH; G (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由. 17.(本小题9分) 己知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若LCAD=LDBC, (1)求证：四边形ABCD是正方形 (2)E是OB上一点，DH⊥CE,垂足为H,DH与OC相交于点F,求证：OE=OF A D O H 第3页，共7页 18.(本小题9分)如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD,BE相交于O,OF1AC于F,OG1BC于G. (1)求证：四边形0GCF是正方形. (2)若LBAC=60°，AC=4,求正方形0GCF的边长. E 19.(本小题9分)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0，AB=3V2,E为OC上一点，OE=1, 连接BE,过点A作AF⊥BE于点F,与BD交于点G. (1BE与AG相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由. (2)求AF的长 B 20.(本小题9分)如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF1DE交DE、DC分别于P、F点，连 PC (1)若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点； (2)若点E为BC的中点，PE=6,PC=4W2,求PF的长. 21.(本小题9分)如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是AD延长线上一点，BE=DF. (1)求证：CE=CF; (2)若点G在AD边上，且∠GCE=45°，BE=3,DG=5,求GE的长. 第4页，共7页 22.(本小题10分)如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE, PE交CD于点F,连接PC. A D E D P 图1 图2 (1)求证：PC=PE: (2)求LCPE的度数： (3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当LABC=120时，连接CE,试探究线段AP 与线段CE的数量关系，并说明理由. 23.(本小题10分)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形. (1)如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E、F、G、H分别为 边AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； (2)若改变(1)中的条件，使LAPB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必 证明). 第5页，共7页 【思维拓展】 24.(本小题10分)正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点， 且PE L PC. D B B 图1 图2 (1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE=PC (2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立.请说明理由. 25.(本小题10分)如图①，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与点C、D不重合），以CG 为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连接BG、DE ③ (1)猜想图①中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，并说明理由； (2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a,得到如图②、③的情形.请 你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断. 第6页，共7页 26.(本小题10分)在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE,以BE为边，在BE的下 方作正方形BEFG,并连接AG, D(E) D B 备用图 G G 图1 图2 (1)如图1，当点E与点D重合时，AG= (2)如图2，当点E在线段CD上时，DE=2,求AG的长； (3)若AG=5五 空平，请直接写出此时DE的长. 第7页，共7页