25.5 相似三角形的性质课件2025-2026学年 冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的性质，从高、中线、角平分线到周长与面积比，层层递进，构建清晰的知识脉络。通过“宫殿模型”“蛋糕赔偿”等真实情境导入，自然衔接旧知与新知，形成有效的学习支架，引导学生从观察现象到抽象规律，逐步建立几何直观和推理意识。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以“问题驱动+探究验证”为主线，如用小明测高推算宫殿高度引发认知冲突，再通过作辅助线证明对应高的比等于相似比，体现逻辑推理能力；又如利用正方形加工问题强化应用意识，让学生在解决实际问题中理解面积比等于相似比的平方。教学设计注重从生活出发，贴近学生经验，既提升学生的数学建模能力和创新意识，也帮助教师高效落实课标要求，实现知识与素养双落地。

第二十五章 图形的相似 25.5 相似三角形的性质 25.5 课时1 相似三角形的高、中线、角平分线 22002 1.经历探索相似三角形性质的过程，了解相似三角形的性质定理，发展几何直观和推理能力. 2.通过相似三角形性质的应用，培养推理能力，发展数学核心素养. 学习目标 22002 （1）什么叫相似三角形？ 对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？ ①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例; ④直角三角形中，斜边和直角边对应成比例 新课导入 22002 A B C A' B' C' ①相似三角形的对应角_________ ②相似三角形的对应边__________ 想一想：它们还有哪些性质呢? （3）相似三角形有何性质？ （4）什么是相似三角形的相似比？ 相似比=对应边的比= 相等 成比例 22002 D' C' B' A' 小明买了一个按1:100的比例缩小的宫殿模型,宫殿的屋顶形成如图所示的三角形.其中△ABC是模型的屋顶，△A'B'C'是宫殿的屋顶.小明认为△ABC与△A'B'C'是相似的，测得BC边上的高为2cm，就推测宫殿的屋顶的高为2米.你同意小明的说法吗？ A D C B 22002 三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 如果两个三角形相似， 那么，对应的这些要素有什么关系呢？ 思考 22002 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？ A B C A' B' C' D D' 解：如图，分别作出△ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∵△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B' ， ∴△ABD ∽△A' B' D' . 表示k的比例式是什么？ 只需证明△ABD和△A'B'D' 一、相似三角形对应高的比等于相似比． 探究新知 22002 问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 22002 引导学生回顾相似三角形对应高的探究过程，体会探索数学问题的基本方法：观察、实验、猜想、证明. 8 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， AD、A′D'分别是边BC和B'C'上的中线.求证： A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想1 证明：∵△ABC∽△A'B'C' ∴∠B=∠B'， ∵AD、A'D'分别为△ABC和△A'B'C'的中线 ∴△ABD∽△A'B'D' 结论：相似三角形的对应中线的比等于相似比 22002 A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想2 证明：∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠BAC=∠B'A'C' . 又∵AE、A′E'分别是边∠ABC和∠A′B'C'的角平分线， 结论：相似三角形的对应角平分线的比等于相似比 ∴ △ABE∽△A′B′E′. 已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， AE、A′E'分别是边∠ABC和∠A′B'C'的角平分线.求证： 22002 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 相似三角形性质定理： ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴ A B C D E A' B' C' D' E' F F' 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 归纳总结 22002 例1 如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，EF//BC,分别交AB,AC,AD于点E,F,G， , AD=15.求AG的长. ① ② ③ ④ ① 三角形的高出现 ② 相似三角形 ③ 相似比 ④ A B C E F D G △ABC的高 所求AG △AEF的高 解题思路：相似三角形对应高的比等于相似比. 典型例题 22002 . A B C E F D G 解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC， ∴AD⊥BC，∴AG⊥EF 解得，AG=9 （相似三角形对应高的比等于相似比） 22002 例1.（拓展）如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC=12cm,高AD=8cm，把它加工成正方形零件PQMN,要使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长. A B C N M Q P D 分析： 1.从图形中提取与例1相同的图形 2.思路：相似三角形对应高的比等于相似比. 解:设PQ与AD交于点E ∵四边形PQMN是正方形，∴PQ//BC，∴△APQ∽△ABC 设正方形的边长为x,则PQ=x,AE=8-x 解得，x=4.8 ∴这个正方形零件的边长是4.8cm. (相似三角形对应高的比等于相似比） E 22002 1.ΔABC∽ ΔA1B1C1 ，BD和B1D1是它们的中线，已知 ,B1D1 =4cm，则BD= cm. 6 2.ΔABC∽ ΔA1B1C1, AD和A1D1是对应角平分线，已知AD=8cm， A1D1=3cm ,则 ΔABC与ΔA1B1C1的对应高之比为 . 8:3 当堂检测 22002 3.如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是 m. P A D B C 2 4 1.5 22002 解：∵ △ABC∽△DEF， 　 解得,EH＝3.2(cm). 答：EH的长为3.2cm. A G B C D E F H （相似三角形对应角平 线的比等于相似比）， 4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长. 22002 相似三角形的性质 3.对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比 1.对应角相等 2.对应边成比例 相等的角、求角的度数 证比例式（等积式） 求线段长 课堂总结 22002 第二十五章 图形的相似 25.5 课时2 相似三角形的周长与面积 22002 1.经历探索相似三角形周长、面积性质的过程，了解相似三角形的性质定理，发展几何直观和推理能力. 2.通过相似三角形性质的应用，培养学生的推理能力，发展数学核心素养. 学习目标 22002 1、相似三角形的判定 两组角对应相等、三组边对应成比例、 两组边对应成比例且夹角相等 对应角______对应边______ 对应高的比等于______ 对应角平分线的比等于______ 对应中线的比等于_____ 相等 成比例 相似比 相似比 相似比 2、相似三角形的性质 新课导入 22002 小明的妈妈过生日，小明提前预定了一个12寸的蛋糕.生日当天，小明去蛋糕店取蛋糕.（友情提示：12寸是蛋糕的直径哦）由于蛋糕店的失误，把订的12寸的蛋糕做成了6寸.蛋糕店给的赔偿建议为给两个厚度与12寸的蛋糕厚度一样的6寸的蛋糕，请问这样做，能拿到和原来一样大的蛋糕吗？谈谈你的看法. 22002 2个6寸的蛋糕面积=1个12寸蛋糕的面积吗？ 当圆的半径扩大为2倍时，面积会扩大为4倍.那么当一个三角形的各边长扩大为原来的2倍时，面积会发生怎样的变化呢？ ∴小明拿到的蛋糕比原来的小. 探究新知 22002 (1)与(2)的相似比= ______, (1)与(2)的面积比=______ (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的面积比=______ 1 2 3 1∶2 （1） （2） （3） 1∶4 1∶3 1∶9 问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，回答以下问题： 结论： 相似三角形的面积比等于____________． 相似比的平方 有什么规律吗？ 22002 证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k, 如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′. ∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′. A B C A′ B′ C′ D D′ 想一想：怎么证明这一结论呢？ ∵△ABC∽△A′B′C′. 22002 问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，它们都相似吗？ (1) (2) (3) 1 2 3 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的周长比=______， (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的周长比=______. 1∶2 结论： 相似三角形的周长比等于______． 相似比 （都相似） 1∶3 1∶2 1∶3 有什么规律吗？ 探究新知 22002 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k， 求证：相似三角形的周长比等于相似比. A B C A1 B1 C1 想一想：怎么证明这一结论呢？ 22002 相似三角形周长、面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似三角形周长的比等于相似比. 归纳总结 22002 例1 如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点. 求： (1)△DEF的周长与△ABC的周长之比. (2)△DEF的面积与△ABC的面积之比. 典型例题 22002 解：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点， ∴ DE∥AB, EF∥BC，DF∥AC, ∴△DEF∽△ABC. ∴△DEF的周长与△ABC的周长之比为1∶2， △DEF的面积与△ABC的面积之比为1∶4. 22002 本题是对本节性质的直接运用，同时也是三角形中位线的重要结论：被三角形中位线分成的小三角形与原三角形的周长之比为1：2，面积之比为1：4. 解：在△ABC和△DEF中，∵ AB=2DE，AC=2DF 又 ∵∠D=∠A ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2 A B C D E F ∴ 例2 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE ，AC=2DF，∠A=∠D. 若△ABC的边BC上的高为6，面积为 ，求△DEF的边EF上的高和面积. ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3， 面积为 22002 1.将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（ ） A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍 B 当堂检测 22002 2.两个相似三角形的最短边长分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为（ ） A.14 cm B.16 cm C.18 cm D.30 cm D 22002 3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（ ） A. B. C. D. D 22002 4.已知△ABC∽△A′B′C′,CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD=4 cm,C′D′=10 cm,AE是△ABC的一条高，AE=4.8 cm,求△A′B′C′中对应高A′E′的长. 解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高线， ∴A′E′=12 cm. 即 22002 5.已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC=5 cm,DF=4 cm，求EF和AC的长. 解：∵相似三角形周长的比等于相似比， 同理可得 22002 相似三角形的性质2 周长的比 相似三角形周长的比等于相似比． 面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 课堂总结 22002 $