25.6 相似三角形的应用课件2025-2026学年 冀教版九年级数学上册

第二十五章 图形的相似 25.6 相似三角形的应用课时1 测量高度问题 22002 1.通过将实际问题转化成数学问题，培养建模能力，发展数学核心素养. 2.通过利用相似的性质解决实际问题，培养几何直观与推理能力，发展应用意识. 3.通过小组合作解决实际问题，培养动手操作能力和交流与合作的意识，积累活动经验，发展核心素养. 学习目标 22002 （1）相似三角形的判定和性质有哪些？ （2）在现实生活中可以利用判定和性质解决哪些现实问题？ 问题导入 思考 22002 例：判断下列图形是否位似图形，如果是，位似中心在哪里？并说明理由. 22002 对于学校里旗杆的高度，我们是无法直接进行测量的．但是我们可以根据相似三角形的知识，测出旗杆的高度．结合下面图形大家思考如何求出高度？ 学生活动一： 【一起探究】 探究新知 22002 测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长)来解决．常见的测量方式有四种，如图所示． 22002 利用影长测量不能直接测量的物高(可到底部)的方法： 利用同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影来计算出物高． 归纳总结 22002 如图，是“小孔成像”试验示意图.已知蜡烛与光屏之间的距离为l，具有“小孔”的纸板放在什么位置时，蜡烛火焰的高度AB是它的像A'B'的高度的一半？ 学生活动二: 【探究跨学科应用】 探究新知 A A' B B' 22002 A A' B B' O 将这个实际问题转化为一个数学问题 C D ①AB与A'B'的关系是平行 ②AB与A'B'的之间的距离是 从题中提取关键信息 ③AB是A'B'的一半 22002 已知：AB∥ A'B' ，A A'与B B'相交与点O,AB与A'B'之间的距离是 l， AB= A'B' ，求O到AB的距离. 解：过点O作OC⊥AB于点C,延长CO交A'B'于点D 则CD= l ∵AB∥A'B' ∴△OAB∽△OA'B‘ ∴= ∴ = CD=l （相似三角形的对应高的比等于相似比） A A' B B' O C D 典例精析 22002 本节课我们研究了相似三角形在实际生活中的应用，请同学们带着以下问题进行总结： (1)本节课你学到了哪些知识？目前为止利用相似三角形的知识可以解决哪些问题？ (2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？ 课堂总结 22002 1.小虎的身高为1.6米，他的影长为2米，同一时刻他测得电线杆的影长为18米，则此电线杆的高度为（　　） A．20米 B．14.4米 C．16.4米 D．15.4米 B 当堂检测 22002 2. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（　　） A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m C 22002 3. 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB =8 m和 CD=12 m，两树底部的距离 BD=5 m，一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了？ 22002 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A、C 恰在一条直线上． 　　∵　AB⊥l， CD⊥l， 　　∴　AB∥CD， 　　∴　△AEH∽△CEK， 　∴　 = ， 22002 即　== ． 解得EH=8 m． 由此可知如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C． 22002 第二十五章 图形的相似 25.6 相似三角形的应用 课时2 测量距离问题 22002 1.通过将实际问题转化成数学问题，培养建模能力，发展数学核心素养. 2.通过利用相似的性质解决实际问题，培养几何直观与推理能力，发展应用意识. 3.通过小组合作解决实际问题，培养动手操作能力和交流与合作的意识，积累活动经验，发展核心素养. 学习目标 22002 （1）相似三角形的判定和性质有哪些？ （2）在现实生活中可以利用判定和性质解决哪些现实问题？ 思考 问题导入 22002 如图：在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台，为求古塔和观景台之间的距离，请你设计测量方案，并说明方案的可行性？ 22002 小明的测量方案和数据 B E D 学生活动一： 【一起探究】 探究新知 22002 解：过C 作CF⊥DE于F B E D 40 100 48 F ∵BC∥DE ∠E=90° ∴CF=BE=40 ∴DF== ∴EF=BC=100-8 ∵BC∥DE∴△ABC∽△AED ∴= 即= ∴AC= 22002 归纳：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 归纳总结 22002 例2： 如图所示,△ABC为一块铁板余料,已知BC=120 mm,高AD=80 mm,要用这块余料裁出一个正方形材料,且使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形的边长应为多少毫米? 学生活动二： 【一起探究】 探究新知 22002 解：设裁出的正方形为EFGH,△ABC的高AD与HG交于点K,则AK为△AHG的高. ∵HG∥EF,∴∠AHG=∠B. 又∵∠BAC为公共角,∴△AHG∽△ABC. = ∵四边形EFGH是正方形 ∴AK=AD-DK 设HG=xcm,则= 解得x=48 ∴裁出的正方形边长为48cm 22002 1.为了测量一条小河的宽度，小明所在小组同学决定选取河对岸岸边某处为A点，在同侧岸边选取B，C，E三点，使B，C，E在同一直线上，且AB与BE垂直．再过点E作DE⊥BE交AC的延长线于点D，并测得BC=15m，CE=3m，DE=5.4m，则河的宽度AB约为（　　） A．21m B．24m C．27m D．8.6m C 练一练 22002 2.一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 C 22002 本节课我们研究了相似三角形在实际生活中的应用，请同学们带着以下问题进行总结： (1)本节课你学到了哪些知识？目前为止利用相似三角形的知识可以解决哪些问题？ (2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？ 课堂总结 22002 1.如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__________米． 22.5m 当堂检测 22002 2.如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是(　　) A.AB=24 m B.MN∥AB C.△CMN∽△CAB D.CM∶MA=1∶2 D 22002 3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点P．在近岸取点Q和S，使点P、Q、S、在同一条直线上且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线的交点R，如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ． 22002 解：∵PQ⊥QR，PS⊥ST，∴∠PQR=∠PST=90°. 又∠P=∠P，∴△PQR∽△PST， ∴PQ∶PS＝QR∶ST， 设PQ=x（m），由PQ∶PS＝QR∶ST 可列方程: ，解得：x=90， ∴河道宽度PQ=90m． 22002 $