25.6 第1课时 利用相似三角形测高度-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

∴.梯形ABCD是等腰梯形，∴.∠ABC=∠BCD. 又，∠BCE=∠ABD,.∠DBC=∠DCE ÷Ce:∠AcB-∠BCD. ∠BDC=∠CDE,△DEC∽△DCB, ∴.△ABC∽△EDC,∴.∠A=∠E, DE DC ∴.AB∥DE. CD-BDCD=DE·DB. 4.解：(1)证明：BD是∠ABC的平分线， 11.解：(1)，DE∥BC, ∴∠ABD=∠CBD. 0C脚营授 AB=AE,.∠ABD=∠E. 6=12 ∴.∠E=∠CBD. 解得AE=10. ∠EDA=∠BDC,∴.△ADE∽△CDB. (2)DE∥BC, (2).AE=AB,AB=4,AE=4. 品能后是 ,△ADE∽△CDB, 解得AC=15, ÷8e-RG-日BC-AE-2 ∴.EC=AC-AE=9. 5.解：，∠A十∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， 12.解：(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形， ∠A=∠BCD. ∴.AD∥BC, ∠ADC=∠CDB=90°， ∴.∠ADM=∠NBM,∠DAM=∠BNM, AM DM △ADM∽△NBM,MN-BM △cBD△Acn,小800 AD=9,BD=4, ,AB∥DC,∴.∠P=∠BAM,∠MDP=∠ABM, ∴.CD=√BD·AD=√36=6. ∴.△PDMp△ABM, ÷器BY-AM=MNMP AC=√AD2+CD2=√92+62=3√13. 6.解：(1)证明：在等边三角形ACB中，∠B= (2),AD∥BC,∴.∠PCN=∠PDA,∠P=∠P, ∠C=60°. △ncN△PDA ∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B, .∠DPC=∠PAB.∴△ABP△PCD. PC NC 1 (2):△ABP∽△PCD,AB=BC=3,PC=2, DC CP=2:1,PD-AD-3 .AB_BP 又，AD=6,.NC=2,.BN=4. PC-CD.BP-BC-PC=1, 13.证明：(1)，∠ACB=90°， CD=PC·BP_2X1_2 ∴.∠ACD+∠BCD=90. AB 331 ,CD为AB边上的高， 7.证明：'∠1=∠2，∠1+∠EAC=∠BAC,∠2+ ∴.∠ADC=∠CDB=90°， ∠EAC=∠EAD,.∠BAC=∠EAD. ∴.∠A+∠ACD=90°， AB·AD=AC·AE,即AB-AC ∴.∠A=∠BCD. AE AD BE是∠ABC的平分线， .△ABCP△AED. ∴.∠ABE=∠CBE, 8.解：，∠1=∠2，.∠CAB=∠EAD. ..△AEB∽△CFB. 又.∠C=∠E,.△ABC∽△ADE, (2)由(1)，得∠ABE=∠CBE,∠A=∠BCD, .∠CFE=∠BCD+∠CBE=∠A+∠ABE, ÷S8aC-AD-2MB-5, ∴.∠CEF=∠CFE,∴.CE=CF 63 AB-3AE-12. MAFRNCPB,2器-品号-8品 9.解：(1)证明：∠A=∠DEC=90°， 专题三相似三角形的基本模型 ∴.∠DEA+∠D=90°，∠DEA+∠CEB=90°. .∠D=∠CEB.又.∠A=∠B, 1.(1)1:2(2)6 ∴.△ADE∽△BEC. 2.证明：.AB=12,AC=8,BD=8,EC=2, (2)同意.答案不唯一，选择图②.理由如下： ..AD=AB-BD=12-8=4,AE=AC-CE=8- ,∠A=∠DEC,∠DEC+∠CEB=∠A+∠D, 2=6, .∠D=∠CEB. .AD41 AE 61.AD AE 1 AC=8=2'AB12=2AC=AB=2 又∠A=∠B,.△ADE∽△BEC. 又.∠A=∠A,∴.△ADE∽△ACB. 25.6相似三角形的应用 3亚明瓷。日-- 第1课时利用相似三角形测高度 1.C2.B3.B4.3 15 5.12.86.B7.2.78.C9.610.8.5 是14，.2(8-0.8x十0.6x)=14,解得x=5, 11.解：(1)EP⊥AB,CB⊥AB, ∴.当x为5时，矩形PMCN的周长是14. ∴.∠EPA=∠CBA=90. 7.D8.57.69.150 ,∠EAP=∠CAB,.△EAPP△CAB, 10.解：如图所示，延长AF交DE于点G. .EP_AP 1.82 .AF⊥BC,BC∥DE,.AG⊥DE. ·BC=AB·9=AB' ,BC∥ED,.△ABC∽△ADE, .AB=10m,.BQ=10-2-6.5=1.5(m). .AF_BC (2)'FQ⊥AB,DA⊥AB, AG DE .∠FQB=∠DAB=90. 又BC=10米，AF=3米，FG=12米， ∠FBQ=∠DBA, .AG=AF+FG=15(米). ∴.△BFQ∽△BDA, ·FQBQ 即-00DE=50米， ·DAAB' 50÷2+1=26(棵). 培 答：DE处共有26棵树. G ∴.AD=12m. D F 12.解：如图所示，过点C作CH⊥AB于点H. 呀B 又CD⊥DB,AB⊥DB, .四边形CDBH是矩形， 11.解：(1)设正方形的边长为xmm, .CH=BD,BH=CD=0.5米，∠DCH=90° 则PN=PQ=ED=xmm, ,∠ACD=135°，.∠ACH=45°. ..AE=AD-ED=(80-x)mm. 在Rt△ACH中，∠ACH=∠CAH=45°， .PN∥BC,.△APN△ABC, ∴.AH=CH=BD, ∴.AB=AH+BH=BD+0.5. 器5即高”， 12080, EF⊥FB,AB⊥FB, 解得x=48, .∠EFG=∠ABG=90°， .加工成的正方形零件的边长是48mm. 由反射角等于人射角，得∠EGF=∠AGB, (2)设PQ=x,则PN=2x,AE=80-x. :△EFG∽△ABG,ABBG' EF FG ,PN∥BC,.△APN∽△ABC, ..PN_AE 1.6 2 “BcAD,即2-80x 12080 即BD十0.5-5+BD1 解得x= 240 480 解得BD=17.5, 7 .AB=17.5+0.5=18(米). 24 这个矩形零件的两条边长分别为 ∴.这棵古树的高AB为18米. 7mm, 480 7mm. 专题四相似三角形的应用 1.24 C 135 2.解：依题意，得BE∥CD,∴.△AEB∽△ADC, G D 第2课时利用相似三角形测距离 怨部即21-品则cn=12米即学校 21.5 1.A2.15cm 体育馆CD的高度为12米， 3.解：由题意，可得△ABC∽△ADE, 则品用年与=3解得AB=10m A解：AB=25BC,DB=2.B小B5 又，∠ABD=∠CBE,.△ABDP△CBE. 答：小河的宽度为10m. 4.B5.6 器-器六则号餐得比-4m 6.解：(1)在Rt△ABC中，AC=8,BC=6, 答：点C,点E之间的距离应该是4cm ∴.AB=√AC2+BC=√82+62=10. 4.解：根据题意，易得∠ABC=∠EDC=90°， (2)PM⊥AC,∠C=90°，.PM∥BC, ∠ACB=∠ECD,∴.△ABCC∽△EDC, ·△AMP∽△ACB,A-PM_AP AC BC AB' 部C即的-9解得A= .PM=0.6x,AM=0.8x.矩形PMCN的周长 答：建筑物AB的高度为33m. 1625.6相似三角形的应用 第1课时 利用相似三角形测高度（答案P15) 通基l>92>992999>>9>99>% 知识点3利用镜子的反射测高度 5.学科融合》如图所示，小颖在地面E处放一面 知识点1利用阳光下的影子测高度 镜子，当她垂直于地面AC站立于点C处时， 1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影 刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B,FE山 长为3m,同时同地测得一根旗杆的影长为 AC,根据光的反射定律有∠FEB=∠FED, 25m,那么这根旗杆的高度为() 此时EA=20米，CE=2.5米.已知眼睛距离 A.10mB.12m C.15m D.40m 地面的高度DC=1.6米，则教学楼的高度为 2.如图所示，小明在A时测得某树的影长为 米 8m,B时又测得该树的影长为2m,若两次日 知识点4利用相似三角形的性质测高度 照的光线互相垂直，则树的高度为( ) 6.模型观念如图所示，小林利用小孔成像原理 A.2 m B.4m C.6m D.8m 制作了一个成像装置，他在距离纸筒50cm处 A时 D 放置了一支蜡烛，其中纸筒长为10cm,蜡烛高 0 ▣ 为15cm,则这支蜡烛所成的像CD的高度 为() B 第2题图 第3题图 A.2.5 cm B.3 cm C.3.75 cm D.5 cm 知识点2利用标杆测高度 3.(2023·邢台广宗期末)如图所示，利用标杆 D 0.6m BE测量建筑物CD的高度.已知标杆BE高 B F 1.2m,测得AB=1.6m.BC=12.4m.则建 第6题图 第7题图 筑物CD的高是() 易错三在构造相似模型时，找不准对应边，出 A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m 现错解 4.数学文化《九章算术》中记载了一种测量古 7.如图所示，为了测量山坡的护坡石坝高，把一 井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井 根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出 口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆 竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为 的顶端B观察井水水岸D,视线BD与井口的 0.6m,则坝高CF为 m. 直径AC交于点E,如果测得AB=1米，AC= 通能力》》9>9%9>>>2>2>>>> 1.6米，AE=0.4米，那么CD为 米 8.学科融合》小孔成像的示意 A 图如图所示，光线经过小孔 O,物体AB在幕布上形成 B 倒立的实像CD.若物体AB的高为15cm,小 0 孔O到物体和实像的水平距离BE,CE分别 为10cm,6cm,则实像CD的高度为( ) 第4题图 第5题图 A.4 cm B.6 cm C.9 cm D.10 cm -九年级上册数学， 10 9.数学文化《周髀算经》中记载了“偃矩以望高” 通素养》99 的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺 (即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把 12.探究拓展小明利用刚学过的数学知识来测 “矩”仰立放，可测量物体的高度.如图所示，点 量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学 A,B,Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP 习小组的同学带着测量工具来到这棵古树 前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底 均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB= 部B,如图所示.于是他们先在古树周围的空 40cm,BD=20cm,AQ=12m,则树高PQ= 地上选择一点D,并在点D处安装了测量器 m CD,测得∠ACD=135°，再在BD的延长线 上确定一点G,使DG=5米，并在G处的地 面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG 方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面 第9题图 第10题图 镜内看到这棵古树的顶端A,此时，测得 10.(2023·石家庄藁城区期末)如图所示，小明 FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF= 为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平 1.6米，测量器的高度CD=0.5米.已知点 地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与 F,G,D,B在同一水平直线上，且EF,CD, 凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC= AB均垂直于FB,则这棵古树的高度AB为 0.5米，A,B,C三点共线)，把一面镜子水平 多少米？（小平面镜的大小忽略不计） 放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然 后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜 子里看到凉亭的顶端A,测得EG=3米，小明 C135 D 身高1.6米，则凉亭的高度AB约为米. 11.应用意识》如图所示，AD,BC为两路灯，身 高相同的小明、小亮站在两路灯灯杆之间，两 人相距6.5m,小明站在P处，小亮站在Q 处，小明在路灯BC下的影长为2m,已知小 明身高1.8m,路灯BC高9m.小明在路灯 BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下 方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于 路灯BC的正下方. (1)计算小亮在路灯AD下的影长. (2)计算AD的高. 71 优计学案·课时通一