精品解析：江西省赣州市南康区六中片区2020-2021学年九年级上学期 期中联考数学试题

南康六中2020--2021学年第一学期 九年级数学期中考试 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程 ，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点 C，点D是⊙O上一点，∠ADC=25°，则∠BOC的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5. 如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点、、，使得、、的面积都等于m，则m的值是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 6. 如图，在正方形中，顶点在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2020次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 若点与点关于原点成中心对称，则______． 8. 如图，是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好落在上，，则的度数是______． 9. 今年国庆和中秋正好是同一天，某班数学兴趣小组的同学用互送贺卡庆贺，已知共送出贺卡张，那么兴趣小组有学生__________名． 10. 如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，，垂足为，且，，则直径的长为__________． 11. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠COD=84°，则∠ABD＋∠CAO＝____． 12. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中： ①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b， 正确的结论是_____（只填序号） 三、解答题 13. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 14. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，，求的面积． 15. 大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克，经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题： （1）填空：每千克水产品获利_______元，月销售量减少_______千克； （2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ 16. 在中，，点在以为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中作弦，使； （2）在图2中以为边作一个45°的圆周角． 17. 好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。 （1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径； （2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由. 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 19. 有一辆宽为的货车（如图①），要通过一条抛物线形隧道（如图②）．为确保车辆安全通行，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为．已知隧道的跨度为，拱高为． （1）若隧道为单车道，货车高为，该货车能否安全通行？为什么？ （2）若隧道为双车道，且两车道之间有的隔离带，通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高． 20. 如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． 求证：≌； 当时，求的度数． 21. 如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状： ； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 22. 如图是证明勾股定理时用到的一个图形，是和的边长，显然，我们把关于的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）①方程是不是“弦系一元二次方程”： （填“是”或“否”）； ②写出一个“弦系一元二次方程”： （2）①求证：关于的“弦系一元二次方程”必有实数根； ②当时，直接写出关于的“弦系一元二次方程”的求根公式： （3）若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积． 23. 已知抛物线与x轴交于点和点B，与直线交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的解析式及点M的坐标． （2）点P为直线上方抛物线上一点，设d为点P到直线的距离，当d有最大值时，求点P的坐标． （3）若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康六中2020--2021学年第一学期 九年级数学期中考试 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A 2. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把x=1代入方程，解关于k的一元一次方程即可． 【详解】x=1代入方程1+k-3=0， k=-1+3=2． 故选择：A． 【点睛】本题考查求一元二次方程中一次项系数，关键是把给的根代入方程后转化为k的方程． 3. 用配方法解方程 ，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵x2-6x+1=0， ∴x2-6x=-1， ∴x2-6x+9=-1+9， ∴（x-3）2=8． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握一元二次方程-配方法的步骤． 4. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点 C，点D是⊙O上一点，∠ADC=25°，则∠BOC的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理，解得，在同一个圆中，同弧所对的圆心角相等，因此可知，由同弧所对的圆周角等于圆心角的两倍解题即可． 【详解】 故选：C． 【点睛】本题考查圆的性质，其中涉及垂径定理、圆周角定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点、、，使得、、的面积都等于m，则m的值是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式，先求出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标，根据抛物线上有且只有三个不同点满足以为底的三角形的面积相等，判断该三个点中有一个是抛物线的顶点，从而算出m的值． 【详解】∵抛物线与x轴相交于A、B两点， ∴点，点，该抛物线的对称轴是直线， ∴，该抛物线顶点的纵坐标是：， ∵在抛物线上有且只有三个不同的点、、，使得、、的面积都等于m， ∴m8， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及三角形的面积．解决本题的关键是找到满足使、、的面积相等的一个点． 6. 如图，在正方形中，顶点在坐标轴上，且，以为边构造菱形．将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2020次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形知识求出AB长，从而求出点F的坐标，再根据题上条件得出旋转为每8次一个循环，从而求出点的坐标. 【详解】∵点的坐标为， ∴， 由正方形的性质，得， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 由题，可知旋转为每8次一个循环，， ∴第2020次旋转结束时，点与点关于原点对称， ∴， 故选D． 【点睛】本题是对正方形性质的考查，熟练掌握正方形知识和找到规律是解决本题的关键. 二、填空题 7. 若点与点关于原点成中心对称，则______． 【答案】-3 【解析】 【分析】利用关于原点对称点的性质得出m，n的值进而得出答案． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴m＝4，n＝﹣7， ∴ 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 8. 如图，是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好落在上，，则的度数是______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换的性质，属于基础题型，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，进一步即可求得结果． 【详解】解：∵是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9. 今年国庆和中秋正好是同一天，某班数学兴趣小组的同学用互送贺卡庆贺，已知共送出贺卡张，那么兴趣小组有学生__________名． 【答案】 【解析】 【分析】先设出x名学生，利用共送出贺卡132张列方程，解方程，取正根即可． 【详解】设兴趣小组有学生x名， 根据题意得：x（x-1）=132， (x-12)(x+11)=0， x-12=0，x+11=0， x1=12，x2=-11， 又x>0， x=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查列一元二次方程解应用题问题，关键是根据共送出贺卡列出方程即可． 10. 如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，，垂足为，且，，则直径的长为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】连接OC，设圆的半径为r，则有OD=r-2，然后根据垂径定理及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接OC，如图： 设圆的半径为r，则有OD=r-2， 是⊙O的直径，，，， ∠ODC=90°， 在Rt△ODC中， ，即， 解得， AB=2OC=10； 故答案为10． 【点睛】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理的联系是解题的关键． 11. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠COD=84°，则∠ABD＋∠CAO＝____． 【答案】48° 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质，即可求得∠OCD的度数，然后由圆周角定理，即可求得∠ACD=∠ABD，继而求得答案． 【详解】在△COD中，OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， 又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°， ∴∠OCD=48°， ∵OC=OA， ∴∠CAO=∠ACO， ∵∠ABD=∠ACD， ∴∠ABD+∠CAO =∠ACD+∠ACO=∠OCD=48°． 故答案为：48°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用． 12. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中： ①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b， 正确的结论是_____（只填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】运用二次函数的图形与性质进行判断即可. 【详解】解析:①因为抛物线开口向下,所以a<0.因为抛物线的对称轴为直线x=-1＜0, b＜0,因为抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,所以c>0.所以abc>0.故①错误; ②因为由图像得当x=一3时,y＜0,所以9a-3b+c<0.故②正确; ③因为图像与z轴有两个交点,所以b2﹣4ac＞0.故③正确; ④因为抛物线的对称轴为直线x=-1,,b=2a 所以a-b=a-2a=-a＞0,所以a>b.故④正确. 故正确的有②③④， 故答案：②③④. 【点睛】本题主要二次函数的图形与性质，注意牢记公式及数形结合是解题的关键. 三、解答题 13. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 14. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）由两个函数的关系式可求出交点坐标，根据直线的关系式求出与y轴的交点C的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设与y轴交于点C， 当时，， ∴点C的坐标为， 直线与抛物线交点坐标就是方程组的解， 解得， ∴点B的坐标为， ∴ ． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的关系式，求出直线AB与抛物线的交点坐标是解决问题的前提，掌握三角形的面积的计算方法是正确解答的关键． 15. 大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克，经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题： （1）填空：每千克水产品获利_______元，月销售量减少_______千克； （2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ 【答案】（1）， （2）销售单价应涨价元． 【解析】 【分析】此题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据已知直接得出每千克水产品获利，进而利用销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，得出月减少的数量； （2）利用每千克水产品获利×月销售量=总利润，进而求出答案 【小问1详解】 由题意可得：每千克水产品获利元，月销售量减少千克； 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意可列方程：， 化为：， 解得：， 因为又要“薄利多销”， 所以不符合题意，舍去． 答：销售单价应涨价元． 16. 在中，，点在以为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中作弦，使； （2）在图2中以为边作一个45°的圆周角． 【答案】（1）如图1，线段为所求弦； （2）如图2，为所作． 【解析】 【分析】（1）分别延长、交半圆于、，利用圆周角定理和等腰三角形的性质可得到，则可判断； （2）在（1）基础上分别延长、，它们相交于，则连接交半圆于，然后证明，从而根据圆周角定理可判断． 【详解】解：（1）如图1：分别延长、交半圆于、，线段为所求弦． 理由如下：∵AB=AC, ∴∠B=∠C， 又∵， ∴∠F=∠C， ∴∠C=∠F， ∴EF∥BC， （2）如图2，（以下画法供参考）：在（1）基础上分别延长、，它们相交于，则连接交半圆于， 则为所作． 理由如下：∵EF∥BC， ∴， ∴∠EBC=∠FCB， ∴MC=MB， 又∵AB=AC， ∴MA垂直平分BC， ∴D为的中点， ∵为半圆， ∴∠CBD=45°. 【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理． 17. 好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。 （1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径； （2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由. 【答案】（1）此圆弧形拱桥的半径为10m； （2）解：此货船能顺利不能通过这座拱桥，理由： 如图， ∵EF=12 ∴FG=12÷2=6 ∴OG= ∵OD=10-4=6 ∴DG=OG-OD=8-6=2＜3 ∴此货船能顺利不能通过这座拱桥. 【解析】 【分析】（1）连接OA，利用垂径定理和勾股定理构造方程，求出拱桥的半径长； （2）如图，EF长为12米时，通过求距离水面高度DG的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过．先根据半弦FG，半径和弦心距OG构造直角三角形求出OG的长来判断． 【详解】（1）解：连接OA， 由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D， ∴, 设OA=r，则OD=r-4 ∴（r-4）2+82=r2 ， 解之：r=10 答：此圆弧形拱桥的半径为10m. （2）略 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【答案】 （1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）三角形的形状为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==， 即OB2+OA12=A1B2， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 19. 有一辆宽为的货车（如图①），要通过一条抛物线形隧道（如图②）．为确保车辆安全通行，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为．已知隧道的跨度为，拱高为． （1）若隧道为单车道，货车高为，该货车能否安全通行？为什么？ （2）若隧道为双车道，且两车道之间有的隔离带，通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高． 【答案】（1）货车能安全通行，理由见解析；（2）最大安全限高为2.29米 【解析】 【分析】（1）根据跨度求出点B的坐标，然后设抛物线顶点式形式y=ax2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）根据车的宽度为2，求出x=2.2时的函数值，再根据限高求出货车的最大限制高度即可． 【详解】（1）货车能安全通行． ∵隧道跨度为8米，隧道的顶端坐标为（O，4）， ∴A、B关于y轴对称， ∴OA=OB=AB=×8=4， ∴点B的坐标为（4，0）， 设抛物线顶点式形式y=ax2+4， 把点B坐标代入得，16a+4=0， 解得a=-， 所以，抛物线解析式为y=-x2+4（-4≤x≤4）； 由可得，． ∵， ∴货车能够安全通行． 答：货车能够安全通行． （2）当时， =2.79． ∵， ∴货车能够通行的最大安全限高为2．29米． 答：货车能够通行的最大安全限高为2．29米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要利用了二次函数的图象的对称性，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，比较简单． 20. 如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． 求证：≌； 当时，求的度数． 【答案】 （1）由题意可知：，， ， ， ， ， 在与中， ， ≌； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，，由于，从而可得，根据SAS即可证明≌； （2）由≌可知：，，从而可求出的度数． 【详解】（1）略 （2），， ， 由（1）可知：， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 21. 如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状： ； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 【答案】（1）等边三角形； （2）PA+PB=PC； 证明：如图1，在PC上截取PD=PA， 连接AD． ∵∠APC=60°． ∴△PAD是等边三角形． ∴PA=AD， ∠PAD=60°， 又∵∠BAC=60°， ∴∠PAB=∠DAC． ∵AB=AC． ∴△PAB≌△DAC． ∴PB=DC． ∵PD+DC=PC， ∴PA+PB=PC． （3）当点P为的中点时，四边形APBC面积最大值为 【解析】 【分析】（1）根据圆周角的定义可得圆周角相等，他们所对的弦也相等得出AC=BC，同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BPC=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得三角形ABC为等边三角形． （2）在PC上截取PD=PA，连接AD，得出△PAD为等边三角形，再根据已知条件得出△PAB≌△DAC，得出PC=DC，PD+DC=PC，等量代换得出结论． （3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由，如图过点P作PE⊥AB，CF⊥AB垂足分别为点E，点F，四边形APBC的面积为△APB与△ACB的和，底相同，当PE+CF最大时，四边形的面积最大，因为直径是圆中最大的弦，即PE+CP=直径，即P为的中点时，面积最大． 【详解】（1）等边三角形； 由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°， ∴△ABC是等边三角形； 故答案为等边三角形； （2）略 （3）当点P为的中点时，四边形APBC面积最大． 理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E， 过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵S△PAB=AB·PE．S△ABC=AB·CF． ∴S四边形APBC=AB（PE+CF）． 当点P为的中点时，PE+CF=PC．PC为⊙O的直径． ∴此时四边形∠PAD=60°∠PAD=60°面积最大． 又∵⊙O的半径为1， ∴其内接正三角形的边长AB=． ∴S四边形APBC=×2×=． 22. 如图是证明勾股定理时用到的一个图形，是和的边长，显然，我们把关于的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）①方程是不是“弦系一元二次方程”： （填“是”或“否”）； ②写出一个“弦系一元二次方程”： （2）①求证：关于的“弦系一元二次方程”必有实数根； ②当时，直接写出关于的“弦系一元二次方程”的求根公式： （3）若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积． 【答案】（1）①是；② ；（2）①见解析；②；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据题意，先求出c的值，再根据勾股定理逆定理即可得出答案； ②找一组勾股数代入方程即可； （2）①通过判断根的判别式的正负来证明即可； ②根据求根公式即可直接写出答案； （3）根据根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而求得面积． 【详解】是，理由如下： ， ， ， 方程是“弦系一元二次方程”． 当时，“弦系一元二次方程”为：． （答案不唯一，只要符合题意即可） 证明：根据题意，得 弦系一元二次方程必有实数根； ． 当时，有，即 ，即 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的新定义问题，涉及到勾股定理、一元二次方程的根的判别式、求根公式，能够将新定义问题转化为我们学过的知识是解题的关键． 23. 已知抛物线与x轴交于点和点B，与直线交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的解析式及点M的坐标． （2）点P为直线上方抛物线上一点，设d为点P到直线的距离，当d有最大值时，求点P的坐标． （3）若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线BC与x轴交点的坐标，再将其和代入函数解析式，求出待定系数的值即可； （2）过点P作y轴的平行线交于点H，过点P作于点D，设点，则得利用二次函数的性质可得结论； （3）利用相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质列方程解决问题． 【小问1详解】 解：∵直线过点B和点C， 令，得，令，得， ∴， 把代入，得 ， 解得， ∴ ∴抛物线的解析式为，顶点M的坐标为． 【小问2详解】 过点P作y轴的平行线交于点H，过点P作于点D，如图， ∵，则 设点，则 ∴ ∴d有最大值，此时，，则点 【小问3详解】 如图，，作轴于点G，则， 设， 则，解得， ∴； 如图4，，作轴于点G，则， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点F的坐标为或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据平行四边形、等腰直角三角形及相似三角形的性质画出图形，列出相应的等式，求出正确结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $